Kuis Latihan Distribusi Diskret & Kontinu II dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah

Poisson, geometrik, dan hipergeometrik (serta pendekatan penting)

Ide utama

Untuk variabel acak diskret, probabilitas berasal dari PMF \(P(X=k)\). Tiga model yang sering muncul:

• Poisson \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\): hitungan kejadian dalam interval (dengan laju rata-rata konstan).
  • Support: \(k=0,1,2,\dots\)
  • PMF: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\)
  • Nilai harapan/varians: \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)
  • Aturan parameter: \(\lambda\ge 0\) (biasanya \(\lambda>0\) dalam praktik)
• Geometrik \(\mathrm{Geom}(p)\) (percobaan sampai keberhasilan pertama):
  • Support: \(k=1,2,3,\dots\)
  • PMF: \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\) untuk \(0<p\le 1\)
  • Nilai harapan/varians: \(E[X]=\dfrac{1}{p}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\)
  • Catatan: \(E[X]\) terbatas untuk setiap \(p>0\) yang valid, tetapi bisa sangat besar jika \(p\) kecil.
• Hipergeometrik \(\mathrm{Hypergeom}(N,K,n)\): pengambilan tanpa pengembalian dari total \(N\) item dengan \(K\) "keberhasilan", mengambil \(n\) item.
  • Nilai harapan: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)

Pendekatan yang wajib diketahui

Jika \(X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)\) dengan \(n\) besar dan \(p\) kecil sehingga \(\lambda=np\) sedang, maka \[\mathrm{Binomial}(n,p)\ \approx\ \mathrm{Poisson}(\lambda=np).\] Ini salah satu fakta "pendekatan cepat" yang paling umum di kuis dan ujian.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Poisson menghitung kejadian: \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\).
• Geometrik (percobaan sampai keberhasilan pertama): \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\).
• Nilai harapan hipergeometrik: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\).
• Pendekatan: \(\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{Poisson}(\lambda=np)\) untuk \(n\) besar, \(p\) kecil.

Distribusi eksponensial: laju, skala, CDF, dan waktu tunggu

Ide utama

Distribusi eksponensial memodelkan waktu tunggu sampai kejadian berikutnya saat kejadian datang dengan laju rata-rata konstan. Jika \(X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)\), maka:

• Support: \(x\ge 0\)
• PDF: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) untuk \(x\ge 0\)
• CDF: \(F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\) untuk \(x\ge 0\)
• Survival: \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\)
• Nilai harapan/varians: \(E[X]=\dfrac{1}{\lambda}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\)
• Parameter skala: \(\theta=\dfrac{1}{\lambda}\)
• Aturan parameter: \(\lambda>0\)

Distribusi eksponensial juga tanpa memori: \[P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).\]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• CDF eksponensial: \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) untuk \(x\ge 0\); khususnya \(F(0)=0\).
• Laju/skala: \(\lambda>0\), skala \(=1/\lambda\), nilai harapan \(=1/\lambda\), varians \(=1/\lambda^2\).
• Model waktu tunggu: \(P(X>t)=e^{-\lambda t}\).

Gamma dan chi-square: derajat kebebasan, bentuk, dan fakta utama

Ide utama

Distribusi chi-square dengan \(k\) derajat kebebasan ditulis \(\chi^2_k\). Distribusi ini muncul secara alami sebagai jumlah kuadrat: \[Z_1^2+\cdots+Z_k^2 \sim \chi^2_k \quad \text{jika } Z_i\sim N(0,1)\text{ independen.}\]

• Support: \(x\ge 0\) (jadi tidak pernah negatif)
• Bentuk: miring ke kanan untuk \(k\) kecil; makin simetris saat \(k\) meningkat
• Nilai harapan/varians: \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\)
• Parameter yang mengontrol bentuk: \(k\) (derajat kebebasan)

Koneksi dengan distribusi gamma

Chi-square adalah kasus khusus dari distribusi gamma: \[\chi^2_k \sim \mathrm{Gamma}\!\left(\alpha=\frac{k}{2},\ \theta=2\right),\] dengan \(\alpha\) sebagai bentuk dan \(\theta\) sebagai skala.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(\chi^2_k\) selalu \(\ge 0\) dan biasanya miring ke kanan untuk \(k\) kecil.
• \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\).
• Derajat kebebasan \(k\) mengontrol bentuk.

Distribusi F: rasio varians dan keberadaan mean

Ide utama

Distribusi F muncul dari rasio dua variabel chi-square independen yang dibagi derajat kebebasannya: \[F=\frac{(\chi^2_{d_1}/d_1)}{(\chi^2_{d_2}/d_2)} \sim F(d_1,d_2).\] Distribusi ini banyak dipakai dalam ANOVA dan dalam pengujian/estimasi rasio varians.

• Support: \(x>0\) (tidak pernah negatif)
• Parameter: \(d_1>0\), \(d_2>0\) (derajat kebebasan)
• Nilai harapan: \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) jika \(d_2>2\) (jika tidak, nilai harapan tidak ada)

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(F(d_1,d_2)\) positif: support \(x>0\).
• \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) ada hanya saat \(d_2>2\).
• Distribusi F muncul dalam rasio varians dan ANOVA.

Varians logistik dan kesalahan "nilai harapan tidak terdefinisi" pada Cauchy

Distribusi logistik

Variabel acak logistik \(X\sim \mathrm{Logistik}(\mu,s)\) memiliki CDF berbentuk S (sigmoid) yang halus: \[F(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}},\] dengan \(\mu\) sebagai parameter lokasi dan \(s>0\) sebagai parameter skala.

• Nilai harapan: \(E[X]=\mu\)
• Varians: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)
• Mengapa penting: CDF logistik muncul dalam regresi logistik dan pemodelan "probabilitas sebagai ambang halus".

Distribusi Cauchy

Distribusi Cauchy adalah distribusi berekor berat klasik. Untuk \(X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,\gamma)\), ekornya sangat berat sehingga nilai harapan dan varians tidak terdefinisi. Kasus khusus umum adalah Cauchy standar \(\mathrm{Cauchy}(0,1)\) dengan PDF: \[f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.\]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Logistik: \(E[X]=\mu\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\).
• Cauchy: nilai harapan dan varians tidak terdefinisi (tidak ada).

Cara memilih distribusi yang tepat (identifikasi cepat)

Cerita -> pintasan distribusi

• Hitungan dalam interval waktu/luas (kedatangan, cacat, panggilan, email): Poisson\((\lambda)\).
• Waktu tunggu sampai kejadian berikutnya: eksponensial\((\lambda)\).
• Percobaan sampai keberhasilan pertama (keberhasilan pertama pada percobaan \(k\)): geometrik\((p)\).
• Pengambilan tanpa pengembalian dari populasi terbatas: hipergeometrik\((N,K,n)\).
• Jumlah kuadrat normal standar: \(\chi^2_k\).
• Rasio varians (rasio chi-square terskala): \(F(d_1,d_2)\).

Cek parameter (kewarasan cepat)

• Poisson: \(\lambda\ge 0\) dan hasilnya \(0,1,2,\dots\).
• Eksponensial: \(\lambda>0\) dan hasilnya memenuhi \(x\ge 0\).
• Geometrik: \(0<p\le 1\) dan hasilnya \(1,2,3,\dots\) (versi percobaan-sampai-berhasil).
• \(\chi^2\), F: derajat kebebasan positif; nilainya tak negatif (dan F positif ketat).

Contoh dikerjakan (koneksi Poisson -> eksponensial)

Coba

Ringkasan

• Eksponensial memodelkan waktu tunggu; Poisson memodelkan hitungan.
• Selalu cek support: Poisson \(0,1,2,\dots\); eksponensial \(x\ge 0\); \(\chi^2\) \(x\ge 0\); F \(x>0\).
• Makna parameter penting: \(\lambda\) eksponensial adalah laju; \(\lambda\) Poisson adalah nilai harapan hitungan per interval.

Mengapa distribusi ini penting (dan cek akhir)

Di mana Distribusi II muncul

• Antrean & keandalan: hitungan Poisson dan waktu tunggu eksponensial (panggilan, kedatangan, kegagalan).
• Kontrol kualitas: cacat per satuan (Poisson), percobaan lulus/gagal (geometrik).
• Sampling & genetika: pengambilan hipergeometrik tanpa pengembalian.
• Pengujian hipotesis: uji chi-square (goodness-of-fit, independensi) dan uji F (rasio varians, ANOVA).
• Pemodelan data: logistik untuk kurva probabilitas berbentuk S; Cauchy sebagai pengingat bahwa tidak semua distribusi memiliki mean.

Contoh dikerjakan: geometrik "keberhasilan percobaan pertama"

Coba

Rekap akhir

• Poisson: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\), support \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\).
• Geometrik (percobaan sampai keberhasilan pertama): support \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\), \(E[X]=1/p\).
• Hipergeometrik: pengambilan tanpa pengembalian, \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\).
• Eksponensial: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\), \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) untuk \(x\ge 0\), nilai harapan \(1/\lambda\), varians \(1/\lambda^2\).
• \(\chi^2_k\): tak negatif, \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\), bentuk dikontrol oleh \(k\).
• F(d\(_1\),d\(_2\)): positif, \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) untuk \(d_2>2\).
• Logistik: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\). Cauchy: nilai harapan dan varians tidak terdefinisi.