चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ विविक्त और सतत वितरण II अभ्यास क्विज़

प्वासों, ज्यामितीय और हाइपरज्यामितीय (और एक मुख्य सन्निकटन)

मुख्य विचार

विविक्त यादृच्छिक चरों के लिए प्रायिकताएँ PMF \(P(X=k)\) से आती हैं। तीन बहुत आम मॉडल:

• प्वासों \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\): किसी अंतराल में घटनाओं की गिनती (स्थिर औसत दर के साथ)।
  • समर्थन: \(k=0,1,2,\dots\)
  • PMF: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\)
  • माध्य/प्रसरण: \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)
  • पैरामीटर नियम: \(\lambda\ge 0\) (व्यवहार में अक्सर \(\lambda>0\))
• ज्यामितीय \(\mathrm{Geom}(p)\) (पहली सफलता तक प्रयास):
  • समर्थन: \(k=1,2,3,\dots\)
  • PMF: \(0<p\le 1\) के लिए \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)
  • माध्य/प्रसरण: \(E[X]=\dfrac{1}{p}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\)
  • नोट: हर वैध \(p>0\) के लिए \(E[X]\) सीमित है, लेकिन छोटा \(p\) होने पर यह बहुत बड़ा हो सकता है।
• हाइपरज्यामितीय \(\mathrm{Hypergeometric}(N,K,n)\): कुल \(N\) वस्तुओं में \(K\) सफलताएँ हों और \(n\) वस्तुएँ प्रतिस्थापन के बिना चुनी जाएँ।
  • माध्य: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)

जरूरी सन्निकटन

यदि \(X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)\) में \(n\) बड़ा और \(p\) छोटा हो तथा \(\lambda=np\) मध्यम हो, तो \[\mathrm{Binomial}(n,p)\ \approx\ \mathrm{Poisson}(\lambda=np).\] यह क्विज़ और परीक्षाओं में सबसे आम तेज-सन्निकटन तथ्यों में से एक है।

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• प्वासों गिनतियाँ: \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)।
• ज्यामितीय (पहली सफलता तक प्रयास): \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)।
• हाइपरज्यामितीय माध्य: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)।
• सन्निकटन: बड़े \(n\), छोटे \(p\) के लिए \(\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{Poisson}(\lambda=np)\)।

एक्सपोनेंशियल वितरण: दर, माप, CDF और प्रतीक्षा समय

मुख्य विचार

एक्सपोनेंशियल वितरण अगली घटना तक प्रतीक्षा समय का मॉडल करता है, जब घटनाएँ स्थिर औसत दर से आती हैं। यदि \(X\sim\mathrm{Exponential}(\lambda)\), तो:

• समर्थन: \(x\ge 0\)
• PDF: \(x\ge 0\) के लिए \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)
• CDF: \(x\ge 0\) के लिए \(F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\)
• उत्तरजीविता: \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\)
• माध्य/प्रसरण: \(E[X]=\dfrac{1}{\lambda}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\)
• माप-पैरामीटर: \(\theta=\dfrac{1}{\lambda}\)
• पैरामीटर नियम: \(\lambda>0\)

एक्सपोनेंशियल वितरण स्मृतिहीन भी है: \[P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).\]

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• एक्सपोनेंशियल CDF: \(x\ge 0\) के लिए \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\); विशेष रूप से \(F(0)=0\)।
• दर/माप: \(\lambda>0\), माप \(=1/\lambda\), माध्य \(=1/\lambda\), प्रसरण \(=1/\lambda^2\)।
• प्रतीक्षा-समय मॉडल: \(P(X>t)=e^{-\lambda t}\)।

गामा और काई-वर्ग: स्वतंत्रता-डिग्री, आकार और मुख्य तथ्य

मुख्य विचार

\(k\) स्वतंत्रता-डिग्री वाला काई-वर्ग वितरण \(\chi^2_k\) लिखा जाता है। यह वर्गों के योग के रूप में स्वाभाविक रूप से आता है: \[Z_1^2+\cdots+Z_k^2 \sim \chi^2_k \quad \text{when } Z_i\sim N(0,1)\text{ independently.}\]

• समर्थन: \(x\ge 0\), इसलिए यह कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता।
• आकार: छोटे \(k\) के लिए दाहिने झुका; \(k\) बढ़ने पर अधिक सममित।
• माध्य/प्रसरण: \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\)
• आकार नियंत्रित करने वाला पैरामीटर: \(k\) (स्वतंत्रता-डिग्री)

गामा वितरण से संबंध

काई-वर्ग गामा वितरण का विशेष मामला है: \[\chi^2_k \sim \mathrm{Gamma}\!\left(\alpha=\frac{k}{2},\ \theta=2\right),\] जहाँ \(\alpha\) आकार और \(\theta\) माप है।

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• \(\chi^2_k\) हमेशा \(\ge 0\) होता है और छोटे \(k\) के लिए सामान्यतः दाहिने झुका होता है।
• \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\)।
• स्वतंत्रता-डिग्री \(k\) आकार नियंत्रित करती है।

F वितरण: प्रसरणों के अनुपात और माध्य का अस्तित्व

मुख्य विचार

F वितरण दो स्वतंत्र काई-वर्ग चरों को उनकी स्वतंत्रता-डिग्री से भाग देकर बने अनुपात से आता है: \[F=\frac{(\chi^2_{d_1}/d_1)}{(\chi^2_{d_2}/d_2)} \sim F(d_1,d_2).\] इसका उपयोग ANOVA और प्रसरणों के अनुपातों की जाँच/अनुमान में व्यापक रूप से होता है।

• समर्थन: \(x>0\) (कभी ऋणात्मक नहीं)
• पैरामीटर: \(d_1>0\), \(d_2>0\) (स्वतंत्रता-डिग्री)
• माध्य: यदि \(d_2>2\) तो \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\), अन्यथा माध्य मौजूद नहीं होता।

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• \(F(d_1,d_2)\) धनात्मक है: समर्थन \(x>0\)।
• \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) केवल \(d_2>2\) होने पर मौजूद है।
• F वितरण प्रसरण अनुपातों और ANOVA में आते हैं।

लॉजिस्टिक प्रसरण और कौशी के अपरिभाषित माध्य वाला जाल

लॉजिस्टिक वितरण

लॉजिस्टिक यादृच्छिक चर \(X\sim \mathrm{Logistic}(\mu,s)\) का CDF चिकना एस-आकार (सिग्मॉइड) होता है: \[F(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}},\] जहाँ \(\mu\) स्थान पैरामीटर और \(s>0\) माप पैरामीटर है।

• माध्य: \(E[X]=\mu\)
• प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)
• महत्व: लॉजिस्टिक CDF, लॉजिस्टिक प्रतिगमन और चिकनी दहलीज़ वाली प्रायिकता मॉडलिंग में दिखते हैं।

कौशी वितरण

कौशी वितरण एक क्लासिक भारी-पूँछ वितरण है। \(X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,\gamma)\) के लिए पूँछें इतनी भारी होती हैं कि माध्य और प्रसरण अपरिभाषित होते हैं। एक आम विशेष मामला मानक कौशी \(\mathrm{Cauchy}(0,1)\) है, जिसका PDF है: \[f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.\]

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• लॉजिस्टिक: \(E[X]=\mu\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)।
• कौशी: माध्य और प्रसरण अपरिभाषित हैं (मौजूद नहीं)।

सही वितरण जल्दी कैसे चुनें

कहानी से वितरण पहचानने के संकेत

• समय/क्षेत्र अंतराल में गिनतियाँ (आगमन, दोष, कॉल, ईमेल): प्वासों \((\lambda)\)।
• अगली घटना तक प्रतीक्षा समय: एक्सपोनेंशियल \((\lambda)\)।
• पहली सफलता तक प्रयास (प्रयास \(k\) पर पहली सफलता): ज्यामितीय \((p)\)।
• प्रतिस्थापन के बिना नमूना-चयन सीमित जनसंख्या से: हाइपरज्यामितीय \((N,K,n)\)।
• मानक सामान्य चरों के वर्गों का योग: \(\chi^2_k\)।
• प्रसरणों का अनुपात (मापित काई-वर्ग अनुपात): \(F(d_1,d_2)\)।

पैरामीटर जाँचें (त्वरित समझ जाँच)

• प्वासों: \(\lambda\ge 0\) और परिणाम \(0,1,2,\dots\)।
• एक्सपोनेंशियल: \(\lambda>0\) और परिणाम \(x\ge 0\)।
• ज्यामितीय: \(0<p\le 1\) और परिणाम \(1,2,3,\dots\) (पहली सफलता तक प्रयास वाला रूप)।
• \(\chi^2\), F: स्वतंत्रता-डिग्री धनात्मक हैं; मान अऋणात्मक होते हैं, और F सख्त धनात्मक होता है।

हल किया गया उदाहरण (प्वासों और एक्सपोनेंशियल संबंध)

खुद कोशिश करें

सारांश

• एक्सपोनेंशियल प्रतीक्षा समय का मॉडल करता है; प्वासों गिनतियों का।
• समर्थन हमेशा जाँचें: प्वासों \(0,1,2,\dots\); एक्सपोनेंशियल \(x\ge 0\); \(\chi^2\) \(x\ge 0\); F \(x>0\)।
• पैरामीटर का अर्थ मायने रखता है: एक्सपोनेंशियल \(\lambda\) दर है; प्वासों \(\lambda\) प्रति अंतराल माध्य गिनती है।

ये वितरण क्यों मायने रखते हैं (और अंतिम जाँच)

वितरण II कहाँ उपयोगी होता है

• कतार और भरोसेमंदी: प्वासों गिनतियाँ और एक्सपोनेंशियल प्रतीक्षा समय (कॉल, आगमन, विफलताएँ)।
• गुणवत्ता नियंत्रण: प्रति इकाई दोष (प्वासों), पास/फेल प्रयास (ज्यामितीय)।
• नमूना-चयन और आनुवंशिकी: प्रतिस्थापन के बिना हाइपरज्यामितीय नमूना-चयन।
• परिकल्पना परीक्षण: काई-वर्ग परीक्षण (सुगुणता-अनुकूलन, स्वतंत्रता) और F परीक्षण (प्रसरण अनुपात, ANOVA)।
• डेटा मॉडलिंग: एस-आकार प्रायिकता वक्रों के लिए लॉजिस्टिक; कौशी याद दिलाता है कि हर वितरण का माध्य नहीं होता।

हल किया गया उदाहरण: ज्यामितीय में पहली कोशिश में सफलता

खुद कोशिश करें

अंतिम सारांश

• प्वासों: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\), समर्थन \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)।
• ज्यामितीय (पहली सफलता तक प्रयास): समर्थन \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\), \(E[X]=1/p\)।
• हाइपरज्यामितीय: प्रतिस्थापन के बिना नमूना-चयन, \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)।
• एक्सपोनेंशियल: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\), \(x\ge 0\) के लिए \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\), माध्य \(1/\lambda\), प्रसरण \(1/\lambda^2\)।
• \(\chi^2_k\): अऋणात्मक, \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\), आकार \(k\) से नियंत्रित।
• \(F(d_1,d_2)\): धनात्मक, \(d_2>2\) होने पर \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\)।
• लॉजिस्टिक: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)। कौशी: माध्य और प्रसरण अपरिभाषित हैं।