Übungsquiz zu Residuen & Konturintegration mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion
Nutze das Quiz weiter unten auf der Seite, um Residuen und Konturintegration zu üben: den Koeffizienten von \((z-a)^{-1}\) ablesen, Residuen an einfachen Polen und Polen höherer Ordnung berechnen, entscheiden, welche Pole innerhalb einer Kontur liegen, \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\) anwenden, Kürzungen behandeln, hebbare und wesentliche Singularitäten erkennen und bemerken, wann ein Pol auf der Kontur die direkte Anwendung des grundlegenden Satzes verhindert. Wenn du etwas auffrischen möchtest, öffne die Lektion. Dort findest du gut nachvollziehbare Beispiele und kurze Kontrollfragen.
Beantworte die Fragensammlung und prüfe deine Fehler am Ende.
So funktioniert diese Übung zu Residuen und Konturintegration
1. Bearbeite das Übungsset: Beantworte Fragen zu Residuen, Polen, Konturintegralen und Satzvoraussetzungen.
2. Öffne die Lektion: Wiederhole den Residuensatz, Residuen-Abkürzungen, Konturorientierung und Entscheidungen, ob Pole innen oder außen liegen.
3. Erneut versuchen: Kehre zum Fragenset zurück und liste zuerst die von der Kontur eingeschlossenen Singularitäten auf.
Was du in der Lektion zu Residuen und Konturintegration lernst
Residuen und Pole
Residuum: der Koeffizient von \((z-a)^{-1}\) in der Laurent-Entwicklung bei \(a\).
Einfacher Pol: Für \(g(z)/(z-a)\) ist das Residuum \(g(a)\).
Nullstellen-Abkürzung: Wenn \(q(a)=0\) und \(q'(a)≠0\), dann gilt \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\).
Residuensatz
Residuensatz: Integriere, indem du eingeschlossene Residuen summierst und mit \(2\pi i\) multiplizierst.
Nur innen: Pole außerhalb der Kontur tragen nichts bei.
Orientierung: Das Umkehren der Orientierung ändert das Vorzeichen des Integrale.
Reihen und Singularitäten
Reihen-Abkürzung: Entwickle nur weit genug, um den \(1/(z-a)\)-Koeffizienten zu finden.
Pol höherer Ordnung: Nutze die Ableitungsformel oder eine kurze Taylor-Entwicklung.
Klassifikation: Keine negativen Laurent-Potenzen bedeutet hebbar; unendlich viele negative Potenzen bedeutet wesentlich.
Häufige Fallen
Pol auf der Kontur: Der grundlegende Residuensatz ist nicht direkt anwendbar.
Residuum ist nicht Polordnung: \(1/(z-a)^2\) hat Residuum \(0\).
Aufhebungen: Mehrere eingeschlossene Residuen können sich zu \(0\) summieren.
Ziel: Baue eine verlässliche Routine für Konturintegration auf: Singularitäten lokalisieren, Pole klassifizieren, Residuen aus Laurent-Koeffizienten oder Abkürzungen berechnen, den Residuensatz mit der richtigen Orientierung anwenden, erkennen, wann Residuen sich auslöschen, und wissen, wann der grundlegende Satz nicht anwendbar ist.
Erfolgskriterien
Definiere das Residuum als den Koeffizienten von \((z-a)^{-1}\) in einer Laurent-Entwicklung.
Berechne Residuen an einfachen Polen mit \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
Nutze \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\), wenn \(q\) bei \(a\) eine einfache Nullstelle hat.
Berechne Residuen an Polen höherer Ordnung mit einer kurzen Taylor-Entwicklung oder der Ableitungsformel.
Wende den Residuensatz nur an, wenn die Kontur die Singularitäten vermeidet.
Ignoriere äußere Pole und nimm alle inneren Pole auf, auch wenn sich ihre Residuen auslöschen.
Verfolge die positive Orientierung und wisse, dass das Umkehren einer Kontur das Vorzeichen ändert.
Klassifiziere hebbare Singularitäten, Pole gegebener Ordnung und wesentliche Singularitäten anhand der Laurent-Entwicklung.
Erkenne Fallen mit Polen zweiter Ordnung mit Residuum null, holomorphen Integranden und Polen auf der Kontur.
Wichtige Begriffe
Laurent-Entwicklung: eine Reihe \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n\), die in einem Kreisring um \(a\) gilt.
Residuum: \(c_{-1}\), der Koeffizient von \((z-a)^{-1}\).
Einfacher Pol: ein Pol, dessen Hauptteil mit \((z-a)^{-1}\) beginnt und endet.
Hebbare Singularität: nach Vereinfachung keine negativen Laurent-Potenzen.
Kontur: ein orientierter geschlossener Weg; positive Orientierung ist bei einer einfachen geschlossenen Kontur gegen den Uhrzeigersinn.
Residuensatz: Ein geschlossenes Konturintegral ist \(2\pi i\) mal die Summe der eingeschlossenen Residuen.
Kurze Vorabprüfung
Vorabprüfung: Wenn \(g\) bei \(a\) holomorph ist, was ist \(\operatorname{Res}(g(z)/(z-a),a)\)?
Hinweis: Um \(a\) gilt für den Zähler \(g(a)+g'(a)(z-a)+\cdots\). Nur der Koeffizient, der \((z-a)^{-1}\) multipliziert, zählt.
Residuen sind die \(1/(z-a)\)-Koeffizienten
Lernziel: Berechne einfache Residuen, ohne mehr als nötig zu entwickeln.
Kernidee
Wenn \(f\) bei \(a\) eine isolierte Singularität hat, schreibe ihre Laurent-Entwicklung als \(f(z)=\cdots+c_{-2}(z-a)^{-2}+c_{-1}(z-a)^{-1}+c_0+\cdots\). Das Residuum ist \(c_{-1}\). Für einen einfachen Pol gilt \[\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).\]
Beispiele
\(\operatorname{Res}(1/(z-a),a)=1\).
\(\operatorname{Res}(2/(z-3),3)=2\).
\(\operatorname{Res}(1/(z-a)^2,a)=0\), weil es keinen \((z-a)^{-1}\)-Term gibt.
Wenn \(f(z)=p(z)/q(z)\), \(q(a)=0\) und \(q'(a)≠0\), dann gilt \(\operatorname{Res}(f,a)=p(a)/q'(a)\).
Abkürzung für einfache Pole
Eine nützliche Abkürzung für einfache Pole ist: Kürze den Faktor, der den Pol verursacht, und werte dann den Rest aus. Für \(1/((z-1)(z-2))\) bei \(z=1\) entferne \(z-1\) und werte \(1/(z-2)\) bei \(1\) aus.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde das Residuum von \(1/(z^2+1)\) bei \(z=i\).
Faktorisiere \(z^2+1=(z-i)(z+i)\). Entfernt man den einfachen Faktor \(z-i\), bleibt \(1/(z+i)\). Bei \(z=i\) ist das \(1/(2i)\).
Übe selbst
Aufgabe: Was ist \(\operatorname{Res}(1/((z-1)(z-2)),1)\)?
Hinweis: Entferne den Faktor \(z-1\) und werte dann den übrigen Faktor bei \(z=1\) aus.
Ein geschlossenes Konturintegral ist eine Residuensumme
Lernziel: Verwandle Konturintegrale in eine endliche Summe über eingeschlossene Singularitäten.
Kernidee
Sei \(\Gamma\) eine positiv orientierte geschlossene Kontur, und sei \(f\) auf und innerhalb von \(\Gamma\) holomorph, außer in endlich vielen isolierten Singularitäten \(a_1,\dots,a_n\) im Inneren. Dann gilt \[\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,a_k).\] In dieser Standardform darf kein Pol auf der Kontur liegen.
Rechenroutine
Liste alle Singularitäten des Integranden auf.
Entscheide, welche davon innerhalb der Kontur liegen.
Berechne das Residuum an jeder eingeschlossenen Singularität.
Addiere die eingeschlossenen Residuen.
Multipliziere mit \(2\pi i\), mit Vorzeichenwechsel bei negativer Orientierung.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Werte \(\oint_{|z|=3}\frac{dz}{(z-1)(z-2)}\) aus.
Beide Pole liegen innen. Die Residuen sind \(-1\) bei \(1\) und \(1\) bei \(2\). Ihre Summe ist \(0\), also ist das Konturintegral \(2\pi i\cdot0=0\).
Übe selbst
Aufgabe: Was ist \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{3\,dz}{z-1}\)?
Hinweis: Der Pol \(1\) liegt innerhalb des Kreises und das Residuum ist \(3\).
Bei Polen höherer Ordnung musst du den Koeffizienten sorgfältig extrahieren
Lernziel: Berechne Residuen, wenn der Pol nicht einfach ist, mit einer Ableitungsformel oder einer kurzen Reihe.
Kernidee
Wenn \(f(z)=h(z)/(z-a)^m\) mit \(h\) holomorph bei \(a\) ist, dann gilt \[\operatorname{Res}(f,a)=\frac{h^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}.\] Für \(m=2\) ist das Residuum \(h'(a)\). Gleichwertig kannst du \(h\) nur weit genug entwickeln, um den Koeffizienten von \((z-a)^{m-1}\) zu finden.
Formeln zum Merken
Ein Pol zweiter Ordnung kann Residuum \(0\) haben.
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^2,a)=h'(a)\).
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^3,a)=h''(a)/2\).
Verwechsle das Residuum nicht mit dem Koeffizienten der höchsten negativen Potenz.
Wenn der Zähler eine Nullstelle hat, vereinfache zuerst; die Polordnung kann fallen oder verschwinden.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde \(\operatorname{Res}(e^z/z^3,0)\).
Nutze \(e^z=1+z+z^2/2+\cdots\). Dann gilt \(e^z/z^3=z^{-3}+z^{-2}+\frac{1}{2}z^{-1}+\cdots\). Das Residuum ist \(\frac{1}{2}\).
Übe selbst
Aufgabe: Was ist \(\operatorname{Res}(e^z/z^2,0)\)?
Hinweis: \(e^z=1+z+\cdots\), und Division durch \(z^2\) macht aus dem \(z\)-Term einen \(1/z\)-Term.
Entwickle nur so weit, wie das Residuum es braucht
Lernziel: Nutze vertraute Taylor-Reihen, um Residuen schnell abzulesen.
Kernidee
Viele Residuen in der Nähe von \(0\) sind Koeffizientenfragen. Zum Beispiel gilt \(\sin z=z-z^3/6+\cdots\), also \(\sin z/z^2=1/z-z/6+\cdots\). Das Residuum ist \(1\). Du brauchst nicht die ganze Laurent-Reihe; höre auf, sobald der \(1/z\)-Koeffizient klar ist.
Prüfliste zum Satz
Verschiebe die Singularität nach \(0\), wenn eine Substitution die Entwicklung klarer macht.
Nutze Standard-Taylor-Reihen für \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\) und geometrische Reihen.
Suche nach Division durch \((z-a)^m\) nur den Term, der zu \((z-a)^{-1}\) wird.
Wenn die negativen Potenzen nach Vereinfachung verschwinden, ist die Singularität hebbar.
Wenn unendlich viele negative Potenzen bleiben, ist die Singularität wesentlich, aber das Residuum ist weiterhin der \(1/(z-a)\)-Koeffizient.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde \(\operatorname{Res}(\cos z/z,0)\).
Da \(\cos z=1-z^2/2+\cdots\), ergibt Division durch \(z\): \(1/z-z/2+\cdots\). Das Residuum ist \(1\).
Übe selbst
Aufgabe: Was ist \(\operatorname{Res}(\sin z/z^2,0)\)?
Hinweis: Der erste Term von \(\sin z\) ist \(z\).
Zähle eingeschlossene Residuen und behalte das Vorzeichen im Blick
Lernziel: Entscheide, welche Singularitäten beitragen und wie die Orientierung das Konturintegral verändert.
Kernidee
Für eine positiv orientierte einfache geschlossene Kontur gilt \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\), wobei über die Singularitäten innerhalb von \(\Gamma\) summiert wird. Eine Durchlaufung im Uhrzeigersinn kehrt das Vorzeichen um, und Pole außerhalb der Kontur tragen nichts bei.
Was die Kontur beweist
Innere Pole tragen ihre Residuen bei.
Äußere Pole tragen nichts bei.
Wenn der Integrand innerhalb und auf der Kontur holomorph ist, ist das Integral \(0\).
Orientierung im Uhrzeigersinn macht aus \(2\pi i\) für ein einzelnes Residuum \(1\) den Wert \(-2\pi i\).
Ein Pol auf der Kontur verhindert die direkte Anwendung des grundlegenden Residuensatzes.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Werte \(\displaystyle\oint_{|z|=1}^{\mathrm{clockwise}}\frac{dz}{z}\) aus.
Der einzige innere Pol ist \(0\), mit Residuum \(1\). Orientierung im Uhrzeigersinn kehrt das positive Ergebnis um, also ist das Integral \(-2\pi i\).
Übe selbst
Aufgabe: Was ist \(\displaystyle\oint_{|z|=1}^{\mathrm{clockwise}}\frac{dz}{z}\)?
Hinweis: Das Residuum ist \(1\), aber die Konturorientierung ist im Uhrzeigersinn.
Manche Residuen werden ignoriert, andere heben sich auf
Lernziel: Kombiniere mehrere Residuenfakten in einem Konturintegral.
Kernidee
Ein Konturintegral kann mehrere Singularitäten enthalten, aber nur eingeschlossene Singularitäten gehen in die Summe ein. Zerlege einfache Summen, wenn es hilft, faktorisiere Nenner, um Pole zu finden, und denke daran, dass zwei eingeschlossene nichtverschwindende Residuen sich trotzdem zu \(0\) addieren können.
Prüfliste zum Satz
Zerlege Terme wie \(1/z+1/(z-3)\) in einzelne Residuenprüfungen.
Faktorisiere Nenner wie \(z^2+1=(z-i)(z+i)\).
Ignoriere Pole außerhalb der Kontur.
Addiere alle eingeschlossenen Residuen, bevor du mit \(2\pi i\) multiplizierst.
Achte auf Auslöschung, Nullresiduen und hebbare Singularitäten.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Warum ist \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1}=0\)?
Beide Pole \(i\) und \(-i\) liegen innen. Ihre Residuen sind \(1/(2i)\) und \(-1/(2i)\), die sich aufheben. Die Summe der eingeschlossenen Residuen ist \(0\), also ist das Integral \(0\).
Übe selbst
Aufgabe: Was ist \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\left(\frac1z+\frac1{z-3}\right)\,dz\)?
Hinweis: Der Pol bei \(0\) liegt innerhalb von \(|z|=2\), während der Pol bei \(3\) außerhalb liegt.
Die meisten Fehler entstehen durch das Zählen der falschen Pole
Lernziel: Schließe mit den Prüfungen ab, die typische Fehler beim Residuensatz verhindern.
Häufige Fallen
Äußere Pole: Sie tragen nichts zu einem Konturintegral bei.
Pole auf der Kontur: Der grundlegende Residuensatz ist nicht direkt anwendbar.
Orientierung: Orientierung im Uhrzeigersinn gibt das Negative des üblichen Ergebnisses.
Residuum null: Eine Funktion kann einen Pol, aber Residuum \(0\) haben.
Auslöschung: Eingeschlossene Residuen können sich zu \(0\) addieren, sodass das Integral \(0\) wird.
Hebbare Singularitäten: Vereinfache vor der Klassifikation.
Holomorpher Fall: Keine Singularitäten innerhalb und auf der Kontur ergeben Integral \(0\).
Singularitätstyp: Ein einfacher Pol hat niedrigste Laurent-Potenz \(-1\), während eine wesentliche Singularität unendlich viele negative Potenzen hat.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Warum ist \(\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1}=0\)?
Beide Pole \(i\) und \(-i\) liegen innen. Ihre Residuen sind \(1/(2i)\) und \(-1/(2i)\), die sich aufheben. Die Summe der eingeschlossenen Residuen ist \(0\), also ist das Integral \(0\).
Übe selbst
Aufgabe: Wenn ein Pol genau auf der Kontur liegt, was solltest du über den grundlegenden Residuensatz sagen?
Hinweis: Der Standardsatz setzt voraus, dass die Funktion auf der Kontur selbst holomorph ist.
Abschluss-Wiederholung
Das Residuum ist der Koeffizient von \((z-a)^{-1}\).
Bei einem einfachen Pol multiplizierst du mit \(z-a\) und bildest den Grenzwert.
Für \(p/q\) mit einer einfachen Nullstelle \(q(a)=0\) nutze \(p(a)/q'(a)\).
Der Residuensatz summiert nur Residuen innerhalb der Kontur.
Positive Orientierung liefert \(2\pi i\) mal die Residuensumme; negative Orientierung ändert das Vorzeichen.
Ein Pol zweiter Ordnung kann Residuum \(0\) haben.
Reihenentwicklungen brauchen nur den Koeffizienten, der zu \(1/(z-a)\) wird.
Keine negativen Laurent-Potenzen bedeutet hebbar; unendlich viele negative Potenzen bedeutet wesentlich.
Pole auf der Kontur erfordern zusätzliche Vorsicht über den grundlegenden Satz hinaus.
Residuen können sich aufheben, also kann ein Integral mit eingeschlossenen Polen trotzdem \(0\) sein.
Nächster Schritt: Schließe diese Lektion und versuche das Quiz erneut. Identifiziere bei jeder Aufgabe die Singularitäten, behalte nur die eingeschlossenen, berechne die \(1/(z-a)\)-Koeffizienten und prüfe dann Orientierung und Satzvoraussetzungen.
Übungsset
Übungsfragen zu Residues & Contour Integration mit sofortiger Punktzahl
Beantworte alle 10 Fragen unten und erhalte danach deine Punktzahl sowie eine Fehlerübersicht, damit du genau weißt, was du verbessern kannst.
0/10beantwortet
Frage 1Nicht beantwortet
Was ist das Residuum von \(1/(z-a)\) bei \(z=a\)?
Richtige Antwort: B. \(1\)
Erklärung: Der Koeffizient von \((z-a)^{-1}\) ist \(1\).
Frage 2Nicht beantwortet
Was ist das Residuum von \(2/(z-3)\) bei \(z=3\)?
Richtige Antwort: A. \(2\)
Erklärung: Der Koeffizient von \((z-3)^{-1}\) ist \(2\).
Frage 3Nicht beantwortet
Was ist \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}\)?
Richtige Antwort: A. \(2\pi i\)
Erklärung: Das Residuum bei \(0\) ist \(1\), daher ist das Integral \(2\pi i\).
Frage 4Nicht beantwortet
Was ist \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z-2}\)?
Richtige Antwort: C. \(0\)
Erklärung: Der Pol \(z=2\) liegt außerhalb des Einheitskreises, daher ist das Integral \(0\).
Frage 5Nicht beantwortet
Wenn \(f\) im Inneren und auf einer geschlossenen Kontur holomorph ist, was ist \(\oint f(z)\,dz\)?
Richtige Antwort: D. \(0\)
Erklärung: Der Satz von Cauchy liefert null, wenn im Inneren keine Singularitäten liegen.
Frage 6Nicht beantwortet
Für holomorphes \(g\) ist das Residuum von \(g(z)/(z-a)\) bei \(a\):
Richtige Antwort: C. \(g(a)\)
Erklärung: Der Koeffizient von \((z-a)^{-1}\) ist \(g(a)\).
Frage 7Nicht beantwortet
Was ist das Residuum von \(1/z^2\) bei \(0\)?
Richtige Antwort: A. \(0\)
Erklärung: Das Residuum ist der Koeffizient von \(1/z\), und dieser Koeffizient ist hier \(0\).
Frage 8Nicht beantwortet
Ein einfacher Pol bedeutet, dass die Laurent-Entwicklung als niedrigste Potenz hat:
Richtige Antwort: C. \(-1\)
Erklärung: Ein einfacher Pol hat genau eine negative Potenz, nämlich \((z-a)^{-1}\).
Frage 9Nicht beantwortet
Der Residuensatz sagt, dass ein Konturintegral gleich \(2\pi i\) mal was ist?
Richtige Antwort: D. Die Summe der Residuen innen
Erklärung: Es ist \(2\pi i\) mal die Summe der Residuen innerhalb der Kontur.
Frage 10Nicht beantwortet
Was ist \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{3\,dz}{z-1}\)?
Richtige Antwort: C. \(6\pi i\)
Erklärung: Der Pol \(1\) liegt innen und das Residuum ist \(3\), daher ist das Integral \(6\pi i\).
