Kuis Latihan Residu & Integrasi Kontur dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kumpulan soal di bagian bawah halaman untuk berlatih residu dan integrasi kontur: membaca koefisien dari \((z-a)^{-1}\), menghitung residu pada kutub sederhana dan orde lebih tinggi, menentukan kutub mana yang berada di dalam kontur, menerapkan \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\), menangani pembatalan dan singularitas dapat dihapus, serta memakai kontur setengah lingkaran untuk integral real. Jika Anda perlu penyegaran, buka pelajaran untuk contoh yang jelas dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan residu dan integrasi kontur ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal tentang residu, kutub, integral kontur, dan hipotesis teorema.
2. Buka pelajaran: tinjau teorema residu, pintasan residu, orientasi kontur, dan contoh integral real.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan pertama-tama daftar singularitas yang dilingkupi kontur.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran residu dan integrasi kontur
Residu dan kutub
Residu: koefisien dari \((z-a)^{-1}\) dalam ekspansi Laurent di \(a\).
Kutub sederhana: untuk \(g(z)/(z-a)\), residunya adalah \(g(a)\).
Pintasan nol: jika \(q(a)=0\) dan \(q'(a)≠0\), maka \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\).
Teorema kontur
Teorema residu: integralkan dengan menjumlahkan residu yang dilingkupi lalu mengalikannya dengan \(2\pi i\).
Hanya bagian dalam: kutub di luar kontur tidak berkontribusi.
Orientasi: membalik orientasi mengubah tanda integral.
Deret dan integral real
Pintasan deret: kembangkan hanya sejauh yang diperlukan untuk menemukan koefisien \(1/(z-a)\).
Kutub orde lebih tinggi: gunakan rumus turunan atau ekspansi Taylor singkat.
Integral real: gunakan kontur hanya setelah kontribusi busur terkendali.
Kesalahan umum
Kutub pada kontur: teorema residu dasar tidak dapat langsung diterapkan.
Residu bukan orde kutub: \(1/(z-a)^2\) memiliki residu \(0\).
Pembatalan: beberapa residu yang dilingkupi dapat berjumlah \(0\).
Tujuan: Bangun rutin integrasi kontur yang andal: temukan singularitas, klasifikasikan kutub, hitung residu dari koefisien Laurent atau pintasan, terapkan teorema residu dengan orientasi yang benar, kenali kapan residu saling membatalkan, dan gunakan estimasi kontur sederhana untuk integral real.
Kriteria keberhasilan
Definisikan residu sebagai koefisien dari \((z-a)^{-1}\) dalam ekspansi Laurent.
Hitung residu pada kutub sederhana menggunakan \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
Gunakan \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\) ketika \(q\) memiliki nol sederhana di \(a\).
Hitung residu pada kutub orde lebih tinggi dengan ekspansi Taylor singkat atau rumus turunan.
Terapkan teorema residu hanya ketika kontur menghindari singularitas.
Abaikan kutub luar dan sertakan semua kutub dalam, bahkan ketika residunya saling membatalkan.
Lacak orientasi positif dan ketahui bahwa membalik kontur mengubah tanda.
Gunakan kontur setengah lingkaran untuk integral real rasional ketika busur besar menghilang.
Kenali kesalahan yang melibatkan singularitas dapat dihapus, kutub orde dua dengan residu nol, dan kutub pada kontur.
Kosakata kunci
Ekspansi Laurent: deret \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n\) yang berlaku dalam anulus di sekitar \(a\).
Residu: \(c_{-1}\), koefisien dari \((z-a)^{-1}\).
Kutub sederhana: kutub yang bagian utamanya mulai dan berakhir dengan \((z-a)^{-1}\).
Singularitas dapat dihapus: tidak ada pangkat Laurent negatif setelah penyederhanaan.
Kontur: lintasan tertutup berorientasi; orientasi positif berlawanan arah jarum jam untuk kontur tertutup sederhana.
Teorema residu: integral kontur tertutup sama dengan \(2\pi i\) kali jumlah residu yang dilingkupi.
Cek awal cepat
Cek awal: Jika \(g\) holomorfik di \(a\), berapakah \(\operatorname{Res}(g(z)/(z-a),a)\)?
Petunjuk: Di sekitar \(a\), pembilangnya adalah \(g(a)+g'(a)(z-a)+\cdots\). Hanya koefisien yang mengalikan \((z-a)^{-1}\) yang penting.
Residu adalah koefisien \(1/(z-a)\)
Tujuan pembelajaran: Hitung residu sederhana tanpa mengembangkan lebih dari yang diperlukan.
Ide utama
Jika \(f\) memiliki singularitas terisolasi di \(a\), tulis ekspansi Laurentnya sebagai \(f(z)=\cdots+c_{-2}(z-a)^{-2}+c_{-1}(z-a)^{-1}+c_0+\cdots\). Residunya adalah \(c_{-1}\). Untuk kutub sederhana, \[\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).\]
Contoh
\(\operatorname{Res}(1/(z-a),a)=1\).
\(\operatorname{Res}(2/(z-3),3)=2\).
\(\operatorname{Res}(1/(z-a)^2,a)=0\) karena tidak ada suku \((z-a)^{-1}\).
Jika \(f(z)=p(z)/q(z)\), \(q(a)=0\), dan \(q'(a)≠0\), maka \(\operatorname{Res}(f,a)=p(a)/q'(a)\).
Pintasan kutub sederhana
Pintasan kutub sederhana yang berguna adalah membatalkan faktor penyebab kutub, lalu mengevaluasi sisanya. Untuk \(1/((z-1)(z-2))\) di \(z=1\), hilangkan \(z-1\) dan evaluasi \(1/(z-2)\) di \(1\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari residu dari \(1/(z^2+1)\) di \(z=i\).
Petunjuk: Hilangkan faktor \(z-1\), lalu evaluasi faktor yang tersisa di \(z=1\).
Integral kontur tertutup adalah jumlah residu
Tujuan pembelajaran: Ubah integral kontur menjadi jumlah berhingga atas singularitas yang dilingkupi.
Ide utama
Misalkan \(\Gamma\) adalah kontur tertutup berorientasi positif, dan \(f\) holomorfik pada dan di dalam \(\Gamma\) kecuali pada sejumlah berhingga singularitas terisolasi \(a_1,\dots,a_n\) di dalamnya. Maka \[\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,a_k).\] Tidak boleh ada kutub yang terletak pada kontur untuk bentuk standar ini.
Rutin perhitungan
Daftarkan semua singularitas dari integran.
Tentukan mana yang berada di dalam kontur.
Hitung residu pada setiap singularitas yang dilingkupi.
Jumlahkan residu yang dilingkupi.
Kalikan dengan \(2\pi i\), dengan perubahan tanda untuk orientasi negatif.
Petunjuk: Kutub \(1\) berada di dalam lingkaran dan residunya \(3\).
Untuk kutub orde lebih tinggi, ekstrak koefisien dengan cermat
Tujuan pembelajaran: Hitung residu ketika kutubnya tidak sederhana, memakai rumus turunan atau deret singkat.
Ide utama
Jika \(f(z)=h(z)/(z-a)^m\) dengan \(h\) holomorfik di \(a\), maka \[\operatorname{Res}(f,a)=\frac{h^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}.\] Untuk \(m=2\), residunya adalah \(h'(a)\). Secara ekuivalen, kembangkan \(h\) hanya sejauh yang diperlukan untuk menemukan koefisien dari \((z-a)^{m-1}\).
Rumus yang perlu diingat
Kutub orde dua dapat memiliki residu \(0\).
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^2,a)=h'(a)\).
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^3,a)=h''(a)/2\).
Jangan samakan residu dengan koefisien dari pangkat negatif tertinggi.
Jika pembilang memiliki nol, sederhanakan dahulu; orde kutub dapat turun atau hilang.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari \(\operatorname{Res}(e^z/z^3,0)\).
Gunakan \(e^z=1+z+z^2/2+\cdots\). Maka \(e^z/z^3=z^{-3}+z^{-2}+\frac{1}{2}z^{-1}+\cdots\). Residunya adalah \(\frac{1}{2}\).
Petunjuk: \(e^z=1+z+\cdots\), dan pembagian dengan \(z^2\) mengubah suku \(z\) menjadi \(1/z\).
Kembangkan hanya sebanyak yang dibutuhkan residu
Tujuan pembelajaran: Gunakan deret Taylor yang familier untuk membaca residu dengan cepat.
Ide utama
Banyak residu di dekat \(0\) adalah soal koefisien. Misalnya, \(\sin z=z-z^3/6+\cdots\), sehingga \(\sin z/z^2=1/z-z/6+\cdots\). Residunya adalah \(1\). Anda tidak perlu seluruh deret Laurent; berhentilah setelah koefisien \(1/z\) jelas.
Daftar cek teorema
Pindahkan singularitas ke \(0\) jika substitusi membuat ekspansi lebih jelas.
Gunakan deret Taylor standar untuk \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), dan deret geometri.
Setelah pembagian dengan \((z-a)^m\), cari hanya suku yang menjadi \((z-a)^{-1}\).
Jika pangkat negatif hilang setelah penyederhanaan, singularitasnya dapat dihapus.
Jika tak hingga banyaknya pangkat negatif tersisa, singularitasnya esensial, tetapi residunya tetap koefisien \(1/(z-a)\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari \(\operatorname{Res}(\cos z/z,0)\).
Karena \(\cos z=1-z^2/2+\cdots\), membagi dengan \(z\) memberi \(1/z-z/2+\cdots\). Residunya adalah \(1\).
Petunjuk: Suku pertama dari \(\sin z\) adalah \(z\).
Residu dapat menghitung integral real setelah busur dikendalikan
Tujuan pembelajaran: Lihat metode standar setengah bidang atas untuk integral real rasional.
Ide utama
Untuk fungsi rasional tanpa kutub pada sumbu real dan peluruhan yang cukup, tutup interval real \([-R,R]\) dengan setengah lingkaran besar di setengah bidang atas. Jika integral busur menuju \(0\), integral real sama dengan \(2\pi i\) kali jumlah residu dari kutub di setengah bidang atas.
Apa yang dibuktikan kontur
Gunakan kutub setengah bidang atas ketika menutup ke atas.
Periksa bahwa tidak ada kutub pada sumbu real.
Buktikan atau ketahui bahwa kontribusi busur besar menuju \(0\).
Setelah mengambil \(R\to\infty\), integral kontur menjadi integral real.
Hasil integral real harus real; ini adalah cek tanda yang berguna.
Tutup ke atas. Satu-satunya kutub di setengah bidang atas adalah \(i\), dan \(\operatorname{Res}(1/(z^2+1),i)=1/(2i)\). Busur besar menghilang, sehingga integralnya \(2\pi i\cdot1/(2i)=\pi\).
Petunjuk: Kutub yang dilingkupi di setengah bidang atas adalah \(i\), dengan residu \(1/(2i)\).
Kontur harus cocok dengan singularitas dan estimasi
Tujuan pembelajaran: Pilih kontur hanya setelah memeriksa kutub, orientasi, dan apakah bagian tambahan menghilang atau terkendali.
Ide utama
Teorema residu menangani kontur tertutup. Ketika integral yang diinginkan hanya bagian dari suatu kontur, setiap segmen atau busur tambahan harus dipahami. Untuk fungsi rasional \(P(z)/Q(z)\), setengah lingkaran besar sering bekerja ketika derajat \(Q\) setidaknya dua lebih besar daripada derajat \(P\), sehingga panjang busur \(O(R)\) kalah oleh peluruhan \(O(R^{-2})\) atau lebih baik.
Daftar cek teorema
Gambar atau bayangkan kontur dan orientasi positifnya.
Tandai kutub di dalam, di luar, dan pada kontur.
Hindari kontur yang melalui singularitas kecuali argumen nilai utama terpisah memang dimaksudkan.
Estimasi setiap busur atau segmen yang ditambahkan.
Gunakan simetri hanya setelah memastikan integran dan lintasan mendukungnya.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa setengah lingkaran besar bekerja untuk \(1/(z^2+4)\)?
Pada \(|z|=R\), integrannya kira-kira \(1/R^2\), sedangkan panjang busurnya \(\pi R\). Produknya \(O(1/R)\), sehingga kontribusi busur menuju \(0\). Kutub atasnya adalah \(2i\).
Coba
Coba: Sebelum mengganti integral kontur tertutup setengah bidang atas dengan integral garis real, apa yang harus terjadi pada kontribusi busur besar?
Petunjuk: Integral kontur tertutup mencakup segmen real ditambah busur yang ditambahkan.
Kebanyakan kesalahan berasal dari menghitung kutub yang salah
Tujuan pembelajaran: Akhiri dengan pemeriksaan yang mencegah kesalahan umum teorema residu.
Kesalahan umum
Kutub luar: kutub itu tidak berkontribusi pada integral kontur.
Kutub pada kontur: teorema residu dasar tidak dapat langsung diterapkan.
Orientasi: orientasi searah jarum jam memberi negatif dari hasil biasa.
Residu nol: suatu fungsi dapat memiliki kutub tetapi residunya \(0\).
Pembatalan: residu yang dilingkupi dapat berjumlah \(0\), sehingga integralnya \(0\).
Singularitas dapat dihapus: sederhanakan sebelum mengklasifikasikan.
Estimasi busur: metode kontur belum lengkap sampai bagian kontur tambahan terkendali.
Tipe jawaban: integral real seharusnya tidak berakhir dengan faktor imajiner yang tidak berpasangan.
Kedua kutub \(i\) dan \(-i\) berada di dalam. Residunya adalah \(1/(2i)\) dan \(-1/(2i)\), yang saling membatalkan. Jumlah residu yang dilingkupi adalah \(0\), sehingga integralnya \(0\).
Coba
Coba: Jika sebuah kutub tepat berada pada kontur, apa yang harus Anda katakan tentang teorema residu dasar?
Petunjuk: Teorema standar mengasumsikan fungsi holomorfik pada kontur itu sendiri.
Rekap akhir
Residu adalah koefisien dari \((z-a)^{-1}\).
Untuk kutub sederhana, kalikan dengan \(z-a\) dan ambil limit.
Untuk \(p/q\) dengan nol sederhana \(q(a)=0\), gunakan \(p(a)/q'(a)\).
Teorema residu menjumlahkan hanya residu di dalam kontur.
Orientasi positif memberi \(2\pi i\) kali jumlah residu; orientasi negatif mengubah tanda.
Kutub orde dua dapat memiliki residu \(0\).
Ekspansi deret hanya memerlukan koefisien yang menjadi \(1/(z-a)\).
Kutub pada kontur memerlukan kehati-hatian tambahan di luar teorema dasar.
Metode kontur untuk integral real memerlukan estimasi busur.
Residu dapat saling membatalkan, jadi integral dengan kutub yang dilingkupi tetap dapat bernilai \(0\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Untuk setiap soal, identifikasi singularitas, pertahankan hanya yang dilingkupi, hitung koefisien \(1/(z-a)\), lalu periksa orientasi dan hipotesis teorema.
Set latihan
Soal latihan Residues & Contour Integration dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Apa residu dari \(1/(z-a)\) pada \(z=a\)?
Jawaban benar: B. \(1\)
Penjelasan: Koefisien dari \((z-a)^{-1}\) adalah \(1\).
Soal 2Belum dijawab
Apa residu dari \(2/(z-3)\) pada \(z=3\)?
Jawaban benar: A. \(2\)
Penjelasan: Koefisien dari \((z-3)^{-1}\) adalah \(2\).
