Quiz d’entraînement sur les résidus et l’intégration de contour avec une leçon interactive pas à pas
Utilisez la série de questions plus bas sur la page pour vous entraîner aux résidus et à l’intégration de contour : lire le coefficient de \((z-a)^{-1}\), calculer des résidus aux pôles simples et d’ordre supérieur, déterminer quels pôles se trouvent à l’intérieur d’un contour, appliquer \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\), gérer les annulations, reconnaître les singularités amovibles et essentielles, et repérer les cas où un pôle sur le contour empêche d’appliquer le théorème de base. Pour réviser, ouvrez la leçon : vous y trouverez des exemples et des vérifications rapides, faciles à suivre.
Répondez à la série de questions et révisez vos erreurs à la fin.
Comment fonctionne cet entraînement sur les résidus et l’intégration de contour
1. Faites la série de questions : répondez aux questions sur les résidus, les pôles, les intégrales de contour et les hypothèses des théorèmes.
2. Ouvrez la leçon : revoyez le théorème des résidus, les raccourcis de résidus, l’orientation des contours et la distinction entre pôles intérieurs et extérieurs.
3. Réessayez : revenez à la série de questions et dressez d’abord la liste des singularités enfermées par le contour.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les résidus et l’intégration de contour
Résidus et pôles
Résidu : le coefficient de \((z-a)^{-1}\) dans le développement de Laurent en \(a\).
Pôle simple : pour \(g(z)/(z-a)\), le résidu est \(g(a)\).
Raccourci du zéro simple : si \(q(a)=0\) et \(q'(a)≠0\), alors \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\).
Théorème des résidus
Théorème des résidus : intégrez en sommant les résidus enfermés et en multipliant par \(2\pi i\).
Seulement à l’intérieur : les pôles extérieurs au contour ne contribuent pas.
Orientation : inverser l’orientation change le signe de l’intégrale.
Séries et singularités
Raccourci par série : développez seulement assez loin pour trouver le coefficient de \(1/(z-a)\).
Pôle d’ordre supérieur : utilisez la formule avec dérivée ou un court développement de Taylor.
Classification : aucune puissance négative de Laurent signifie que la singularité est amovible ; une infinité de puissances négatives signifie qu’elle est essentielle.
Pièges courants
Pôle sur le contour : le théorème des résidus de base ne s’applique pas directement.
Le résidu n’est pas l’ordre du pôle : \(1/(z-a)^2\) a un résidu \(0\).
Annulations : plusieurs résidus enfermés peuvent avoir une somme égale à \(0\).
Objectif : Construire une routine fiable d’intégration de contour : repérer les singularités, classer les pôles, calculer les résidus à partir de coefficients de Laurent ou de raccourcis, appliquer le théorème des résidus avec la bonne orientation, reconnaître les cas où les résidus s’annulent et savoir quand le théorème de base ne s’applique pas.
Critères de réussite
Définir le résidu comme le coefficient de \((z-a)^{-1}\) dans un développement de Laurent.
Calculer les résidus aux pôles simples avec \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
Utiliser \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\) lorsque \(q\) a un zéro simple en \(a\).
Calculer les résidus aux pôles d’ordre supérieur avec un court développement de Taylor ou une formule avec dérivée.
Appliquer le théorème des résidus seulement lorsque le contour évite les singularités.
Ignorer les pôles extérieurs et inclure tous les pôles intérieurs, même lorsque leurs résidus s’annulent.
Suivre l’orientation positive et savoir qu’inverser un contour change le signe.
Classer les singularités amovibles, les pôles d’un ordre donné et les singularités essentielles à partir du développement de Laurent.
Repérer les pièges liés aux pôles du second ordre de résidu nul, aux intégrandes holomorphes et aux pôles sur le contour.
Vocabulaire clé
Développement de Laurent : une série \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n\) valable dans un anneau autour de \(a\).
Résidu : \(c_{-1}\), le coefficient de \((z-a)^{-1}\).
Pôle simple : un pôle dont la partie principale se réduit à un terme en \((z-a)^{-1}\).
Singularité amovible : aucune puissance négative de Laurent après simplification.
Contour : un chemin fermé orienté ; l’orientation positive est le sens antihoraire pour un contour simple fermé.
Théorème des résidus : une intégrale sur un contour fermé vaut \(2\pi i\) fois la somme des résidus enfermés.
Vérification rapide initiale
Vérification initiale : Si \(g\) est holomorphe en \(a\), que vaut \(\operatorname{Res}(g(z)/(z-a),a)\) ?
Indice : autour de \(a\), le numérateur est \(g(a)+g'(a)(z-a)+\cdots\). Seul le coefficient qui multiplie \((z-a)^{-1}\) compte.
Les résidus sont les coefficients de \(1/(z-a)\)
Objectif d’apprentissage : calculer des résidus simples sans développer plus que nécessaire.
Idée clé
Si \(f\) a une singularité isolée en \(a\), écrivez son développement de Laurent sous la forme \(f(z)=\cdots+c_{-2}(z-a)^{-2}+c_{-1}(z-a)^{-1}+c_0+\cdots\). Le résidu est \(c_{-1}\). Pour un pôle simple, \[\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).\]
Exemples
\(\operatorname{Res}(1/(z-a),a)=1\).
\(\operatorname{Res}(2/(z-3),3)=2\).
\(\operatorname{Res}(1/(z-a)^2,a)=0\), car il n’y a pas de terme en \((z-a)^{-1}\).
Si \(f(z)=p(z)/q(z)\), \(q(a)=0\), et \(q'(a)≠0\), alors \(\operatorname{Res}(f,a)=p(a)/q'(a)\).
Raccourci du pôle simple
Un raccourci utile pour un pôle simple consiste à annuler le facteur qui cause le pôle, puis à évaluer ce qui reste. Pour \(1/((z-1)(z-2))\) en \(z=1\), retirez \(z-1\) et évaluez \(1/(z-2)\) en \(1\).
Exemple corrigé
Exemple : Trouvez le résidu de \(1/(z^2+1)\) en \(z=i\).
Factorisez \(z^2+1=(z-i)(z+i)\). Retirer le facteur simple \(z-i\) laisse \(1/(z+i)\). En \(z=i\), cela vaut \(1/(2i)\).
À vous
À vous : Que vaut \(\operatorname{Res}(1/((z-1)(z-2)),1)\) ?
Indice : retirez le facteur \(z-1\), puis évaluez le facteur restant en \(z=1\).
Une intégrale sur un contour fermé est une somme de résidus
Objectif d’apprentissage : transformer des intégrales de contour en une somme finie sur les singularités enfermées.
Idée clé
Soit \(\Gamma\) un contour fermé orienté positivement, et supposons que \(f\) est holomorphe sur \(\Gamma\) et à l’intérieur de \(\Gamma\), sauf en un nombre fini de singularités isolées \(a_1,\dots,a_n\) à l’intérieur. Alors \[\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,a_k).\] Aucun pôle ne doit se trouver sur le contour dans cette forme standard.
Routine de calcul
Listez toutes les singularités de l’intégrande.
Déterminez lesquelles sont à l’intérieur du contour.
Calculez le résidu en chaque singularité enfermée.
Additionnez les résidus enfermés.
Multipliez par \(2\pi i\), avec un changement de signe en orientation négative.
Exemple corrigé
Exemple : Évaluez \(\oint_{|z|=3}\frac{dz}{(z-1)(z-2)}\).
Les deux pôles sont à l’intérieur. Les résidus sont \(-1\) en \(1\) et \(1\) en \(2\). Leur somme vaut \(0\), donc l’intégrale de contour vaut \(2\pi i\cdot0=0\).
À vous
À vous : Que vaut \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{3\,dz}{z-1}\) ?
Indice : le pôle \(1\) est à l’intérieur du cercle et le résidu vaut \(3\).
Pour les pôles d’ordre supérieur, extrayez le coefficient avec soin
Objectif d’apprentissage : calculer des résidus lorsque le pôle n’est pas simple, avec une formule à dérivée ou une courte série.
Idée clé
Si \(f(z)=h(z)/(z-a)^m\) avec \(h\) holomorphe en \(a\), alors \[\operatorname{Res}(f,a)=\frac{h^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}.\] Pour \(m=2\), le résidu est \(h'(a)\). De façon équivalente, développez \(h\) juste assez loin pour trouver le coefficient de \((z-a)^{m-1}\).
Formules à retenir
Un pôle du second ordre peut avoir un résidu \(0\).
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^2,a)=h'(a)\).
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^3,a)=h''(a)/2\).
Ne confondez pas le résidu avec le coefficient de la plus grande puissance négative.
Si un numérateur a un zéro, simplifiez d’abord ; l’ordre du pôle peut diminuer ou disparaître.
Exemple corrigé
Exemple : Trouvez \(\operatorname{Res}(e^z/z^3,0)\).
Utilisez \(e^z=1+z+z^2/2+\cdots\). Alors \(e^z/z^3=z^{-3}+z^{-2}+\frac{1}{2}z^{-1}+\cdots\). Le résidu vaut \(\frac{1}{2}\).
À vous
À vous : Que vaut \(\operatorname{Res}(e^z/z^2,0)\) ?
Indice : \(e^z=1+z+\cdots\), et la division par \(z^2\) transforme le terme en \(z\) en \(1/z\).
Développez seulement autant que le résidu l’exige
Objectif d’apprentissage : utiliser des séries de Taylor familières pour lire rapidement les résidus.
Idée clé
Beaucoup de résidus près de \(0\) sont des questions de coefficient. Par exemple, \(\sin z=z-z^3/6+\cdots\), donc \(\sin z/z^2=1/z-z/6+\cdots\). Le résidu vaut \(1\). Vous n’avez pas besoin de toute la série de Laurent ; arrêtez-vous dès que le coefficient de \(1/z\) est clair.
Liste de vérification du théorème
Déplacez la singularité en \(0\) si un changement de variable rend le développement plus clair.
Utilisez les séries de Taylor usuelles de \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\) et les séries géométriques.
Après division par \((z-a)^m\), cherchez seulement le terme qui devient \((z-a)^{-1}\).
Si les puissances négatives disparaissent après simplification, la singularité est amovible.
S’il reste une infinité de puissances négatives, la singularité est essentielle, mais le résidu reste le coefficient de \(1/(z-a)\).
Exemple corrigé
Exemple : Trouvez \(\operatorname{Res}(\cos z/z,0)\).
Comme \(\cos z=1-z^2/2+\cdots\), diviser par \(z\) donne \(1/z-z/2+\cdots\). Le résidu vaut \(1\).
À vous
À vous : Que vaut \(\operatorname{Res}(\sin z/z^2,0)\) ?
Indice : le premier terme de \(\sin z\) est \(z\).
Comptez les résidus enfermés et gardez le signe
Objectif d’apprentissage : déterminer quelles singularités contribuent et comment l’orientation modifie l’intégrale de contour.
Idée clé
Pour un contour simple fermé orienté positivement, \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\), où la somme porte sur les singularités à l’intérieur de \(\Gamma\). Un parcours horaire inverse le signe, et les pôles extérieurs au contour ne contribuent pas.
Ce que prouve le contour
Les pôles intérieurs contribuent par leurs résidus.
Les pôles extérieurs ne contribuent pas.
Si l’intégrande est holomorphe à l’intérieur et sur le contour, l’intégrale vaut \(0\).
Une orientation horaire transforme \(2\pi i\) en \(-2\pi i\) pour un seul résidu \(1\).
Un pôle sur le contour empêche d’appliquer directement le théorème des résidus de base.
Exemple corrigé
Exemple : Évaluez \(\displaystyle\oint_{|z|=1}^{\mathrm{horaire}}\frac{dz}{z}\).
Le seul pôle intérieur est \(0\), de résidu \(1\). L’orientation horaire inverse le résultat positif, donc l’intégrale vaut \(-2\pi i\).
À vous
À vous : Que vaut \(\displaystyle\oint_{|z|=1}^{\mathrm{horaire}}\frac{dz}{z}\) ?
Indice : le résidu vaut \(1\), mais le contour est parcouru dans le sens horaire.
Certains résidus sont ignorés, d’autres s’annulent
Objectif d’apprentissage : combiner plusieurs faits sur les résidus dans une même intégrale de contour.
Idée clé
Une intégrale de contour peut comporter plusieurs singularités, mais seules les singularités enfermées entrent dans la somme. Séparez les sommes simples quand c’est utile, factorisez les dénominateurs pour trouver les pôles, et souvenez-vous que deux résidus non nuls enfermés peuvent quand même s’additionner en \(0\).
Liste de vérification du théorème
Séparez les termes comme \(1/z+1/(z-3)\) en vérifications de résidus distinctes.
Factorisez les dénominateurs comme \(z^2+1=(z-i)(z+i)\).
Ignorez les pôles extérieurs au contour.
Additionnez tous les résidus enfermés avant de multiplier par \(2\pi i\).
Surveillez les annulations, les résidus nuls et les singularités amovibles.
Exemple corrigé
Exemple : Pourquoi \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1}=0\) ?
Les deux pôles \(i\) et \(-i\) se trouvent à l’intérieur. Leurs résidus sont \(1/(2i)\) et \(-1/(2i)\), qui s’annulent. La somme des résidus enfermés vaut \(0\), donc l’intégrale vaut \(0\).
À vous
À vous : Que vaut \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\left(\frac1z+\frac1{z-3}\right)\,dz\) ?
Indice : le pôle en \(0\) est à l’intérieur de \(|z|=2\), tandis que le pôle en \(3\) est à l’extérieur.
La plupart des erreurs viennent du comptage des mauvais pôles
Objectif d’apprentissage : terminer avec les vérifications qui évitent les erreurs courantes du théorème des résidus.
Pièges courants
Pôles extérieurs : ils ne contribuent pas à une intégrale de contour.
Pôles sur le contour : le théorème des résidus de base ne s’applique pas directement.
Orientation : une orientation horaire donne l’opposé du résultat usuel.
Résidu nul : une fonction peut avoir un pôle mais un résidu \(0\).
Annulation : les résidus enfermés peuvent s’additionner en \(0\), ce qui rend l’intégrale nulle.
Singularités amovibles : simplifiez avant de classer.
Cas holomorphe : s’il n’y a aucune singularité à l’intérieur ni sur le contour, l’intégrale vaut \(0\).
Classe de singularité : un pôle simple a pour plus basse puissance de Laurent \(-1\), tandis qu’une singularité essentielle possède une infinité de puissances négatives.
Exemple corrigé
Exemple : Pourquoi \(\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1}=0\) ?
Les deux pôles \(i\) et \(-i\) sont à l’intérieur. Leurs résidus sont \(1/(2i)\) et \(-1/(2i)\), qui s’annulent. La somme des résidus enfermés vaut \(0\), donc l’intégrale vaut \(0\).
À vous
À vous : Si un pôle se trouve exactement sur le contour, que faut-il dire du théorème des résidus de base ?
Indice : le théorème standard suppose que la fonction est holomorphe sur le contour lui-même.
Récapitulatif final
Le résidu est le coefficient de \((z-a)^{-1}\).
Pour un pôle simple, multipliez par \(z-a\) et prenez la limite.
Pour \(p/q\) avec un zéro simple \(q(a)=0\), utilisez \(p(a)/q'(a)\).
Le théorème des résidus somme seulement les résidus à l’intérieur du contour.
L’orientation positive donne \(2\pi i\) fois la somme des résidus ; l’orientation négative change le signe.
Un pôle du second ordre peut avoir un résidu \(0\).
Les développements en série n’ont besoin que du coefficient qui devient \(1/(z-a)\).
Aucune puissance négative de Laurent signifie que la singularité est amovible ; une infinité de puissances négatives signifie qu’elle est essentielle.
Les pôles sur le contour exigent des précautions supplémentaires au-delà du théorème de base.
Les résidus peuvent s’annuler, donc une intégrale avec des pôles enfermés peut quand même valoir \(0\).
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Pour chaque problème, identifiez les singularités, gardez seulement celles qui sont enfermées, calculez les coefficients de \(1/(z-a)\), puis vérifiez l’orientation et les hypothèses du théorème.
Série de pratique
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Répondez aux 10 questions ci-dessous, puis obtenez votre score final et une revue des erreurs pour savoir exactement quoi améliorer.
0/10répondues
Question 1Non répondu
Quel est le résidu de \(1/(z-a)\) en \(z=a\) ?
Bonne réponse : B. \(1\)
Explication : Le coefficient de \((z-a)^{-1}\) est \(1\).
Question 2Non répondu
Quel est le résidu de \(2/(z-3)\) en \(z=3\) ?
Bonne réponse : A. \(2\)
Explication : Le coefficient de \((z-3)^{-1}\) est \(2\).
Question 3Non répondu
Que vaut \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}\) ?
Bonne réponse : A. \(2\pi i\)
Explication : Le résidu en \(0\) vaut \(1\), donc l'intégrale vaut \(2\pi i\).
Question 4Non répondu
Que vaut \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z-2}\) ?
Bonne réponse : C. \(0\)
Explication : Le pôle \(z=2\) est en dehors du cercle unité, donc l'intégrale vaut \(0\).
Question 5Non répondu
Si \(f\) est holomorphe à l'intérieur et sur un contour fermé, que vaut \(\oint f(z)\,dz\) ?
Bonne réponse : D. \(0\)
Explication : Le théorème de Cauchy donne zéro lorsqu'il n'y a pas de singularités à l'intérieur.
Question 6Non répondu
Pour \(g\) holomorphe, le résidu de \(g(z)/(z-a)\) en \(a\) est :
Bonne réponse : C. \(g(a)\)
Explication : Le coefficient de \((z-a)^{-1}\) est \(g(a)\).
Question 7Non répondu
Quel est le résidu de \(1/z^2\) en \(0\) ?
Bonne réponse : A. \(0\)
Explication : Le résidu est le coefficient de \(1/z\), et ici ce coefficient vaut \(0\).
Question 8Non répondu
Un pôle simple signifie que le plus petit exposant dans le développement de Laurent est :
Bonne réponse : C. \(-1\)
Explication : Un pôle simple a une seule puissance négative, à savoir \((z-a)^{-1}\).
Question 9Non répondu
Le théorème des résidus dit qu'une intégrale de contour vaut \(2\pi i\) fois :
Bonne réponse : D. La somme des résidus à l'intérieur
Explication : C'est \(2\pi i\) fois la somme des résidus à l'intérieur du contour.
Question 10Non répondu
Que vaut \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{3\,dz}{z-1}\) ?
Bonne réponse : C. \(6\pi i\)
Explication : Le pôle \(1\) est à l'intérieur et le résidu vaut \(3\), donc l'intégrale vaut \(6\pi i\).
