Übungsquiz zur Konvergenz von Folgen & Reihen mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion
Nutze das Quiz weiter unten auf der Seite, um Konvergenz von Folgen und Reihen mit den wichtigsten Werkzeugen und Mustern zu üben, die dir in Prüfungen begegnen: Grenzwerte von Folgen \(\lim_{n\to\infty} a_n\) (rationale Grenzwerte, exponentielle Grenzwerte und grundlegende Wachstumsraten), den Divergenztest über das n-te Glied für Reihen, geometrische Reihen und die zentrale Bedingung \(|r|<1\), alternierende geometrische Reihen und schnelle Summen, Teleskopreihen mit Partialbrüchen, den p-Reihen-Test (einschließlich der harmonischen Reihe), das Vergleichskriterium und das Grenzwertvergleichskriterium, das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium (besonders für Fakultäten und Exponentialterme), absolute und bedingte Konvergenz sowie Themen zu Potenzreihen wie Konvergenzradius und Konvergenzintervall. Wenn du etwas auffrischen möchtest, klicke auf Lektion starten, um eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit durchgerechneten Beispielen und kurzen Kontrollfragen zu öffnen.
Beantworte die Fragensammlung und prüfe deine Fehler am Ende.
So funktioniert diese Übung zur Konvergenz von Folgen und Reihen
1. Bearbeite das Übungsset: Beantworte die Fragen zur Konvergenz von Folgen und Reihen weiter unten auf der Seite.
2. Öffne die Lektion (optional): Wiederhole Konvergenzkriterien, schnelles Erkennen von Mustern und häufige Summen mit klaren Beispielen.
3. Erneut versuchen: Kehre zum Fragenset zurück und wende die Konvergenzregeln sofort an.
Was du in der Lektion zur Konvergenz von Folgen & Reihen lernst
Grenzwerte von Folgen & Divergenztest
Grenzwerte von Folgen: rationale Funktionen, Polynomgrade und Exponentialterme wie \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\)
Divergenztest über das n-te Glied: Wenn \(\lim a_n ≠ 0\), dann divergiert \(\sum a_n\)
Häufige Falle: \(\lim a_n=0\) ist notwendig, aber nicht hinreichend für Konvergenz
Geometrische Reihen & Teleskopsummen
Unendliche geometrische Reihe: \(\sum ar^{n}\) konvergiert, wenn \(|r|<1\)
Schnelle Summen: \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\dfrac{1}{1-r}\) und \(\sum_{n=1}^{\infty} r^n=\dfrac{r}{1-r}\)
Teleskopreihen: Schreibe Glieder so um, dass sie sich kürzen, und bilde den Grenzwert der Partialsummen
p-Reihen, Vergleichskriterien und Wachstum
p-Reihen-Test: \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) konvergiert, wenn \(p>1\), und divergiert, wenn \(p\le 1\)
Vergleich und Grenzwertvergleich, um schwierige Reihen passenden bekannten Vergleichsreihen zuzuordnen
Zentrale Intuition: Exponentialterme schlagen Polynome, daher konvergieren Terme wie \(\dfrac{1}{n2^n}\) meist
Ziel: Baue ein klares Verständnis von Konvergenz von Folgen und Reihen auf, damit du Grenzwerte von Folgen berechnen, den Divergenztest über das n-te Glied anwenden, geometrische und teleskopierende Reihen erkennen und summieren sowie das passende Konvergenzkriterium wählen kannst (p-Reihen, Vergleich/Grenzwertvergleich, Quotient/Wurzel und Test für alternierende Reihen). Außerdem lernst du, wie du für Potenzreihen den Konvergenzradius findest (und Randpunkte für das Intervall prüfst).
Erfolgskriterien
Berechne Grenzwerte von Folgen, etwa rationale und exponentielle Folgen.
Nutze den Divergenztest über das n-te Glied: Wenn \(\lim_{n\to\infty} a_n≠ 0\), dann divergiert \(\sum a_n\).
Erkenne geometrische Reihen und nutze \(|r|<1\), um Konvergenz zu entscheiden.
Berechne unendliche geometrische Summen schnell.
Erkenne eine Teleskopreihe und berechne ihre Summe mit Partialsummen.
Klassifiziere \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) mit dem p-Reihen-Test und erkenne die harmonische Reihe.
Nutze Vergleich und Grenzwertvergleich, um eine schwierige Reihe einer bekannten Vergleichsreihe zuzuordnen.
Nutze das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium (besonders für Fakultäten und Potenzreihen).
Entscheide zwischen absoluter und bedingter Konvergenz bei alternierenden Reihen.
Finde den Konvergenzradius \(R\) einer Potenzreihe und prüfe die Randpunkte für das Konvergenzintervall.
Wichtige Begriffe
Folge: eine geordnete Liste \((a_n)\). Sie konvergiert, wenn \(\lim a_n\) existiert und endlich ist.
Reihe: eine Summe \(\sum a_n\). Ihre Partialsummen sind \(S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k\).
Konvergieren / divergieren: Eine Reihe konvergiert, wenn \((S_n)\) sich einem endlichen Grenzwert nähert; andernfalls divergiert sie.
Divergenztest über das n-te Glied: Wenn \(\lim a_n≠ 0\) (oder nicht existiert), divergiert die Reihe \(\sum a_n\).
Geometrische Reihe: Die Glieder haben einen konstanten Quotienten \(r\). Sie konvergiert, wenn \(|r|<1\).
p-Reihe: \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) konvergiert, wenn \(p>1\), und divergiert, wenn \(p\le 1\).
Potenzreihe: \(\sum c_n (x-a)^n\). Der Radius \(R\) wird mit Quotienten-/Wurzelkriterien gefunden.
Schnelle Vorabprüfung
Vorabprüfung 1: Was ist \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{5n}{5n+1}\)?
Hinweis: Teile Zähler und Nenner durch \(n\).
Vorabprüfung 2: Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^\infty \left(\tfrac12\right)^n\)?
Hinweis: Sie ist geometrisch mit Quotient \(r=\tfrac12\).
Grenzwerte von Folgen
Grenzwerte von Folgen und Divergenztest über das n-te Glied für Reihen
Lernziel: Berechne häufige Grenzwerte von Folgen und nutze den Divergenztest über das n-te Glied, um Reihen, die divergieren müssen, schnell zu erkennen.
Grundidee
Eine Folge \((a_n)\) konvergiert, wenn \(\lim_{n\to\infty} a_n\) existiert und endlich ist. Diese verlässlichen Muster solltest du kennen:
Rationale Folgen: Wenn die Grade gleich sind, ist der Grenzwert das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Zum Beispiel: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}\quad (c≠ 0). \]
Polynomielles Wachstum: Wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners, ist der Grenzwert \(0\). Wenn er größer ist, wächst die Folge typischerweise unbeschränkt.
Exponentialfolgen: Für \(r^n\):
Wenn \(|r|<1\), dann \(r^n\to 0\).
Wenn \(r>1\), dann \(r^n\to \infty\).
Beispiel: \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\to 0\), aber \(\left(\tfrac{7}{4}\right)^n\to \infty\).
Für Reihenkonvergenz ist der erste schnelle Filter der Divergenztest über das n-te Glied: \[ \text{Wenn }\lim_{n\to\infty} a_n ≠ 0\text{ (oder nicht existiert), dann divergiert }\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{.} \] Wichtig: \(\lim a_n = 0\) ist notwendig für Konvergenz, aber es garantiert keine Konvergenz.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Berechne \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\). Was folgt daraus für \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\)?
Teile durch \(n\): \[ \frac{3n+5}{3n+2}=\frac{3+\frac{5}{n}}{3+\frac{2}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{3}{3}=1. \] Da die Glieder nicht gegen \(0\) gehen, divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\) nach dem Divergenztest über das n-te Glied.
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+1}{3n^2+4n}\)?
Hinweis: Teile Zähler und Nenner durch \(n^2\).
Aufgabe 2: Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5n}{5n+1}\)?
Hinweis: \(\frac{5n}{5n+1}\to 1\). Eine Reihe kann nicht konvergieren, wenn ihre Glieder nicht gegen \(0\) gehen.
Zusammenfassung
Berechne Folgengrenzwerte mit führenden Termen (besonders bei rationalen Ausdrücken in \(n\)).
Prüfe bei Reihen immer zuerst \(\lim a_n\): Wenn er nicht \(0\) ist, divergiert die Reihe.
Geometrisch & Teleskopierend
Summen geometrischer Reihen und Teleskopreihen
Lernziel: Erkenne geometrische Reihen, berechne ihre Summen und beherrsche Teleskopreihen mit Partialbrüchen.
Grundidee
Eine geometrische Reihe hat die Form \(\sum ar^n\) (oder eine verschobene Version). Sie konvergiert genau dann, wenn \(|r|<1\). Diese Summen musst du kennen:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} r^n=\frac{1}{1-r}\) für \(|r|<1\).
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^n=\frac{r}{1-r}\) für \(|r|<1\).
Eine Teleskopreihe ist eine Reihe, bei der sich nach dem Umschreiben viele Glieder kürzen: \[ a_n = b_n - b_{n+1}\quad \Rightarrow\quad \sum_{n=1}^{N} a_n = b_1 - b_{N+1}. \] Das passiert oft nach einer Partialbruchzerlegung.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Was ist \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}\)?
Das ist geometrisch mit \(r=\tfrac12\) und erstem Glied \(\tfrac12\): \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^n=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1. \]
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac13\right)^n\)?
Hinweis: Nutze \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\dfrac{1}{1-r}\) mit \(r=\tfrac13\).
Aufgabe 2: Was ist \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+3)}\)?
Geometrische Reihen konvergieren, wenn \(|r|<1\), und dann kannst du sie exakt summieren.
Teleskopreihen werden leicht, nachdem du die Glieder so umgeschrieben hast, dass sie sich in der Partialsumme kürzen.
p-Reihen
p-Reihen, die harmonische Reihe und schnelle Klassifikation
Lernziel: Erkenne \(\sum \frac{1}{n^p}\) sofort und vermeide die häufigen Fehler bei p-Reihen.
Grundidee
Der p-Reihen-Test ist eine der schnellsten Konvergenzprüfungen:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) konvergiert, wenn \(p>1\).
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) divergiert, wenn \(p\le 1\).
Die harmonische Reihe \(\sum \frac{1}{n}\) ist der Fall \(p=1\), also divergiert sie.
Du nutzt p-Reihen auch als Vergleichsreihen im Vergleichskriterium. Wenn sich deine Glieder wie \(\frac{1}{n^p}\) für großes \(n\) verhalten, sagt dir der p-Reihen-Test oft, was passiert.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{0.9}}\)?
Das ist eine p-Reihe mit \(p=0.9\). Da \(p\le 1\), divergiert die Reihe.
Übe selbst
Aufgabe 1: Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}}\)?
Hinweis: \(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergiert nur, wenn \(p>1\).
Aufgabe 2: Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\)?
Hinweis: Für p-Reihen gilt: \(p>1\Rightarrow\) konvergiert.
Zusammenfassung
\(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergiert, wenn \(p>1\), und divergiert, wenn \(p\le 1\).
Die harmonische Reihe \(\sum \frac{1}{n}\) divergiert (sie hat \(p=1\)).
Vergleich & schnelle Summen
Vergleichskriterien und exponentiell schlägt polynomiell
Lernziel: Nutze Vergleich und Grenzwertvergleich effektiv und berechne häufige konvergente Summen wie \(\sum n r^n\).
Grundidee
Das Vergleichskriterium ist eine schnelle Strategie, wenn die Glieder positiv sind:
Wenn \(0\le a_n \le b_n\) und \(\sum b_n\) konvergiert, dann konvergiert \(\sum a_n\).
Wenn \(0\le b_n \le a_n\) und \(\sum b_n\) divergiert, dann divergiert \(\sum a_n\).
Eine starke Intuition: Exponentialterme schlagen Polynome. Deshalb konvergieren Terme wie \(\dfrac{1}{n2^n}\) oft: Das \(2^n\) im Nenner lässt die Glieder sehr schnell klein werden.
Außerdem ist diese Identität für Summen extrem nützlich: \[ \sum_{n=1}^{\infty} n r^n=\frac{r}{(1-r)^2}\quad (|r|<1). \] (Du kannst sie durch Ableiten der geometrischen Reihe herleiten.)
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Konvergiert oder divergiert \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n2^n}\)?
Für \(n\ge 1\) gilt \(n\ge 1\), also \(\dfrac{1}{n2^n}\le \dfrac{1}{2^n}\). Die Reihe \(\sum \dfrac{1}{2^n}\) ist geometrisch mit Quotient \(\tfrac12\), also konvergiert sie. Daher konvergiert \(\sum \dfrac{1}{n2^n}\) nach dem Vergleichskriterium.
Übe selbst
Aufgabe 1: Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n2^n}\)?
Hinweis: Vergleiche mit \(\sum \frac{1}{2^n}\).
Aufgabe 2: Was ist \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{5^n}\)?
Hinweis: Nutze \(\sum_{n=1}^{\infty} n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2}\) mit \(r=\tfrac15\).
Zusammenfassung
Vergleich funktioniert am besten, wenn du deine Reihe zwischen einfache Vergleichsreihen einschließen kannst.
Kenne \(\sum n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2}\) für \(|r|<1\), um häufige konvergente Summen schnell zu berechnen.
Quotienten- & Wurzelkriterium
Quotientenkriterium, Wurzelkriterium und Fakultäts-/Exponentialreihen
Lernziel: Nutze das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium sicher, besonders bei Fakultäten, Exponentialtermen und potenzreihenartigen Gliedern.
Grundidee
Das Quotientenkriterium betrachtet \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \] Dann gilt:
Wenn \(L<1\), dann konvergiert die Reihe \(\sum a_n\) absolut.
Wenn \(L>1\) (oder \(L=\infty\)), dann divergiert die Reihe.
Wenn \(L=1\), ist das Kriterium nicht entscheidend.
Das Wurzelkriterium nutzt \[ L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \] Es hat dieselben Entscheidungsregeln wie das Quotientenkriterium und ist besonders angenehm für Glieder wie \((\text{Ausdruck})^n\).
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\)?
Sei \(a_n=\dfrac{1}{n!}\). Dann \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{}0. \] Also ist \(L=0<1\), und die Reihe konvergiert absolut (tatsächlich hat sie die Summe \(e\)).
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) für \(a_n=\left(\tfrac14\right)^n\)?
Aufgabe 2: Was ist \(\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{7}{4}\right)^n\)?
Hinweis: Wenn \(r>1\), dann \(r^n\to\infty\).
Zusammenfassung
Quotienten-/Wurzelkriterium sind perfekt für Fakultäten und Exponential-/Potenzreihenterme.
Bei geometrischen Folgen ist \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) der konstante Quotient \(r\).
Alternierende Reihen
Test für alternierende Reihen sowie absolute und bedingte Konvergenz
Lernziel: Entscheide Konvergenz bei alternierenden Reihen und erkenne, wann eine konvergente Reihe absolut oder bedingt ist.
Grundidee
Eine alternierende Reihe sieht oft so aus: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \quad \text{oder} \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n, \] wobei \(b_n \ge 0\). Der Test für alternierende Reihen besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn:
\(b_n\) ab einem gewissen Punkt fallend ist, und
\(\lim_{n\to\infty} b_n=0\).
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn \(\sum |a_n|\) konvergiert. Wenn \(\sum a_n\) konvergiert, aber \(\sum |a_n|\) divergiert, dann konvergiert \(\sum a_n\) bedingt.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Konvergiert \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{0.9}}\) absolut, bedingt oder divergiert sie?
Sei \(b_n=\dfrac{1}{n^{0.9}}\). Dann ist \(b_n\) fallend und \(b_n\to 0\). Also konvergiert \(\sum (-1)^{n+1} b_n\) nach dem Test für alternierende Reihen. Aber \(\sum |(-1)^{n+1}b_n|=\sum \dfrac{1}{n^{0.9}}\) ist eine p-Reihe mit \(p=0.9\le 1\), also divergiert sie. Daher konvergiert die alternierende Reihe bedingt.
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\tfrac12\right)^n\)?
Hinweis: Sie ist geometrisch mit erstem Glied \(\tfrac12\) und Quotient \(r=-\tfrac12\). Nutze \(S=\dfrac{a_1}{1-r}\).
Aufgabe 2: Die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{0.9}}\) wird am besten beschrieben als:
Hinweis: Der Test für alternierende Reihen liefert Konvergenz, aber \(\sum \frac{1}{n^{0.9}}\) divergiert.
Zusammenfassung
Test für alternierende Reihen: fallendes \(b_n\to 0\) \(\Rightarrow\) \(\sum (-1)^n b_n\) konvergiert.
Absolute Konvergenz bedeutet, dass \(\sum |a_n|\) konvergiert; bedingt bedeutet, dass \(\sum a_n\) konvergiert, aber \(\sum |a_n|\) divergiert.
Potenzreihen
Konvergenz von Potenzreihen: Radius und Konvergenzintervall
Lernziel: Finde den Konvergenzradius \(R\) mit Quotienten-/Wurzelkriterien und denke daran, die Randpunkte für das Konvergenzintervall zu prüfen.
Grundidee
Eine um \(a\) entwickelte Potenzreihe sieht so aus: \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n. \] Normalerweise gibt es einen Radius \(R\), sodass gilt:
Die Reihe konvergiert für \(|x-a|<R\).
Die Reihe divergiert für \(|x-a|>R\).
Bei \(|x-a|=R\) musst du Randpunkte separat prüfen.
Das Quotientenkriterium liefert oft eine Bedingung wie \(|x-a|<R\), und dann ist \(R\) der Konvergenzradius.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde den Konvergenzradius von \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt{n}}\).
Nutze das Wurzelkriterium (oder Quotientenkriterium): \[ \sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{\sqrt{n}}\right|} = |x|\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}. \] Aber \(\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}=n^{-1/(2n)}\to 1\). Also ist der Grenzwert \(|x|\). Die Reihe konvergiert, wenn \(|x|<1\), und divergiert, wenn \(|x|>1\). Daher ist der Konvergenzradius \(R=1\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist der Konvergenzradius von \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt n}\)?
Hinweis: Wurzel-/Quotientenkriterien führen zu \(|x|<1\).
Aufgabe 2: Was ist der Konvergenzradius von \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\)?
Hinweis: \(\sum x^n\) ist geometrisch mit Quotient \(x\). Sie konvergiert, wenn \(|x|<1\).
Abschluss-Wiederholung
Divergenztest über das n-te Glied: Wenn \(\lim a_n≠ 0\), dann divergiert \(\sum a_n\).
Geometrische Reihen: konvergieren, wenn \(|r|<1\), Summe mit \(\frac{1}{1-r}\) (oder \(\frac{r}{1-r}\), wenn der Start bei \(n=1\) liegt).
Teleskopreihen: Umschreiben, sodass sich Glieder in Partialsummen kürzen; dann den Grenzwert bilden.
p-Reihen: \(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergiert, wenn \(p>1\), und divergiert, wenn \(p\le 1\).
Vergleich/Grenzwertvergleich: Ordne die Reihe einer bekannten Vergleichsreihe zu.
Quotienten-/Wurzelkriterium: am besten für Fakultäten, Exponentialterme und Potenzreihen.
Alternierende Reihen: fallendes \(b_n\to 0\) impliziert Konvergenz; entscheide zwischen absoluter und bedingter Konvergenz, indem du \(\sum |a_n|\) prüfst.
Potenzreihen: Finde den Radius \(R\) und prüfe dann Randpunkte, um das Konvergenzintervall zu erhalten.
Als Nächstes: Schließe diese Lektion und versuche dein Quiz erneut. Wenn du eine Frage verfehlst, öffne die Lektion erneut und wiederhole die Seite, die zu der Konvergenzidee passt, die du brauchst.
Übungsset
Übungsfragen zu Konvergenz von Folgen und Reihen mit sofortiger Punktzahl
Beantworte alle 10 Fragen unten und erhalte danach deine Punktzahl sowie eine Fehlerübersicht, damit du genau weißt, was du verbessern kannst.
0/10beantwortet
Frage 1Nicht beantwortet
Was ist \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\)?
Richtige Antwort: C. \(0\)
Erklärung: Die Folge \(1/n\) nähert sich für \(n\to\infty\) dem Wert \(0\) an.
Frage 2Nicht beantwortet
Was ist \(\sum_{n=0}^\infty \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^n\)?
Richtige Antwort: A. \(2\)
Erklärung: Verwende die Formel \(\sum_{n=0}^\infty r^n = \tfrac{1}{1-r}\) mit \(r=\tfrac{1}{2}\).
Frage 3Nicht beantwortet
Was ist \(\lim_{n\to\infty}(\tfrac12)^n\)?
Richtige Antwort: B. \(0\)
Erklärung: Die Potenzen von \(\tfrac12\) werden beliebig klein und nähern sich \(0\) an.
Frage 4Nicht beantwortet
Was ist \(\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{n}\)?
Richtige Antwort: B. \(1\)
Erklärung: Teile Zähler und Nenner durch \(n\); der Bruch nähert sich \(1\) an.
Frage 5Nicht beantwortet
Wenn \(a_n=5\) für alle \(n\) gilt, was ist dann \(\lim_{n\to\infty}a_n\)?
Richtige Antwort: B. \(5\)
Erklärung: Eine konstante Folge bleibt bei ihrem Wert, also ist der Grenzwert \(5\).
Frage 6Nicht beantwortet
Was ist \(\lim_{n\to\infty}n\)?
Richtige Antwort: A. \(\infty\)
Erklärung: Die Folge wächst unbegrenzt, also konvergiert sie nicht.
Frage 7Nicht beantwortet
Was ist \(\sum_{n=0}^\infty (\tfrac13)^n\)?
Richtige Antwort: C. \(\tfrac32\)
Erklärung: Die Summe der geometrischen Reihe ist \(1/(1-\tfrac13)=\tfrac32\).
Frage 8Nicht beantwortet
Was ist \(\sum_{n=1}^\infty \frac1{2^n}\)?
Richtige Antwort: B. \(1\)
Erklärung: Dies ist dieselbe geometrische Reihe ohne den Term für \(n=0\): \(1/(1-\tfrac12)-1 =1\).
Frage 9Nicht beantwortet
Konvergiert oder divergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\)?
Richtige Antwort: A. Divergiert
Erklärung: Die Folgenglieder nähern sich nicht \(0\) an, also divergiert die Reihe.
Frage 10Nicht beantwortet
Was ist \(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}\)?
Richtige Antwort: B. \(1\)
Erklärung: Telescopische Summe: \(1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)\), insgesamt ergibt sich \(1\).
