Тренировочный тест по сходимости последовательностей и рядов с пошаговым интерактивным уроком
Используйте тест ниже на странице, чтобы отрабатывать сходимость последовательностей и рядов с самыми важными инструментами и шаблонами, которые встречаются на экзаменах: пределы последовательностей \(\lim_{n\to\infty} a_n\) (рациональные пределы, экспоненциальные пределы и базовые скорости роста), признак n-го члена (расходимости) для рядов, геометрические ряды и ключевое условие \(|r|<1\), знакопеременные геометрические ряды и быстрые суммы, телескопические ряды с разложением на простые дроби, признак p-ряда (включая гармонический ряд), признак сравнения и признак предельного сравнения, признак Даламбера и признак Коши (особенно для факториалов и экспонент), абсолютную и условную сходимость и темы степенных рядов, такие как радиус сходимости и интервал сходимости. Если нужно освежить материал, нажмите Начать урок, чтобы открыть пошаговое руководство с разобранными примерами и быстрыми проверками.
Ответьте на набор вопросов и разберите ошибки в конце.
Как устроена тренировка по сходимости последовательностей и рядов
1. Выполните набор практики: ответьте на вопросы по сходимости последовательностей и рядов ниже на странице.
2. Откройте урок (необязательно): повторите признаки сходимости, быстрое распознавание шаблонов и типичные суммы на понятных примерах.
3. Повторите: вернитесь к набору вопросов и сразу примените правила сходимости.
Что вы изучите в уроке по сходимости последовательностей и рядов
Пределы последовательностей и признак расходимости
Пределы последовательностей: рациональные функции, степени многочленов и экспоненты вроде \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\)
Признак n-го члена: если \(\lim a_n ≠ 0\), то \(\sum a_n\) расходится
Типичная ловушка: \(\lim a_n=0\) необходимо, но недостаточно для сходимости
Геометрические ряды и телескопические суммы
Бесконечный геометрический ряд: \(\sum ar^{n}\) сходится при \(|r|<1\)
Быстрые суммы: \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\dfrac{1}{1-r}\) и \(\sum_{n=1}^{\infty} r^n=\dfrac{r}{1-r}\)
Телескопические ряды: перепишите члены так, чтобы они сокращались, и возьмите предел частичных сумм
p-ряды, признаки сравнения и рост
Признак p-ряда: \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) сходится при \(p>1\) и расходится при \(p\le 1\)
Сравнение и предельное сравнение для сопоставления сложных рядов с известными эталонами
Ключевая интуиция: экспоненты сильнее многочленов, поэтому члены вроде \(\dfrac{1}{n2^n}\) обычно дают сходящийся ряд
Признаки Даламбера/Коши и сходимость степенных рядов
Признак Даламбера и признак Коши: идеально подходят для факториалов, экспонент и степенных рядов
Абсолютная и условная сходимость, особенно для знакопеременных рядов
Степенные ряды: найдите радиус сходимости \(R\) (и проверьте концы интервала)
Цель: Сформировать ясное понимание сходимости последовательностей и рядов, чтобы вы могли вычислять пределы последовательностей, применять признак n-го члена (расходимости), распознавать и суммировать геометрические и телескопические ряды и выбирать правильный признак сходимости (p-ряды, сравнение/предельное сравнение, Даламбер/Коши и признак знакопеременного ряда). Вы также научитесь находить радиус сходимости (и проверять концы интервала) для степенных рядов.
Критерии успеха
Вычислять пределы последовательностей, например рациональных и экспоненциальных.
Использовать признак n-го члена: если \(\lim_{n\to\infty} a_n≠ 0\), то \(\sum a_n\) расходится.
Распознавать геометрические ряды и использовать \(|r|<1\) для решения о сходимости.
Быстро вычислять бесконечные геометрические суммы.
Распознавать телескопический ряд и вычислять его сумму через частичные суммы.
Классифицировать \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) с помощью признака p-ряда и узнавать гармонический ряд.
Использовать сравнение и предельное сравнение, чтобы сопоставить трудный ряд с известным эталоном.
Использовать признак Даламбера и признак Коши (особенно для факториалов и степенных рядов).
Различать абсолютную и условную сходимость знакопеременных рядов.
Находить радиус сходимости \(R\) степенного ряда и проверять концы интервала сходимости.
Ключевые термины
Последовательность: упорядоченный список \((a_n)\). Она сходится, если \(\lim a_n\) существует и конечен.
Ряд: сумма \(\sum a_n\). Его частичные суммы: \(S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k\).
Сходится / расходится: ряд сходится, если \((S_n)\) стремится к конечному пределу; иначе расходится.
Признак n-го члена (расходимости): если \(\lim a_n≠ 0\) (или не существует), ряд \(\sum a_n\) расходится.
Геометрический ряд: члены имеют постоянный множитель \(r\). Сходится при \(|r|<1\).
p-ряд: \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) сходится при \(p>1\), расходится при \(p\le 1\).
Степенной ряд: \(\sum c_n (x-a)^n\). Радиус \(R\) находят признаками Даламбера/Коши.
Быстрая предварительная проверка
Проверка 1: Чему равен \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{5n}{5n+1}\)?
Подсказка: разделите числитель и знаменатель на \(n\).
Проверка 2: Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=1}^\infty \left(\tfrac12\right)^n\)?
Подсказка: это геометрический ряд с множителем \(r=\tfrac12\).
Пределы последовательностей
Пределы последовательностей и признак n-го члена (расходимости) для рядов
Цель обучения: Вычислять типичные пределы последовательностей и использовать признак n-го члена, чтобы быстро замечать ряды, которые обязаны расходиться.
Главная идея
Последовательность \((a_n)\) сходится, если \(\lim_{n\to\infty} a_n\) существует и конечен. Вот надежные шаблоны, которые стоит знать:
Рациональные последовательности: если степени совпадают, предел равен отношению старших коэффициентов. Например, \[ \lim_{n\to\infty}\frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}\quad (c≠ 0). \]
Рост многочленов: если степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен \(0\). Если больше, последовательность обычно неограниченно растет.
Экспоненциальные последовательности: для \(r^n\):
Если \(|r|<1\), то \(r^n\to 0\).
Если \(r>1\), то \(r^n\to \infty\).
Пример: \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\to 0\), но \(\left(\tfrac{7}{4}\right)^n\to \infty\).
Для сходимости рядов первый быстрый фильтр - признак n-го члена (расходимости): \[ \text{Если }\lim_{n\to\infty} a_n ≠ 0\text{ (или не существует), то }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ расходится.} \] Важно: \(\lim a_n = 0\) необходимо для сходимости, но не гарантирует ее.
Разобранный пример
Пример: Вычислите \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\). Что это означает для \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\)?
Разделим на \(n\): \[ \frac{3n+5}{3n+2}=\frac{3+\frac{5}{n}}{3+\frac{2}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{3}{3}=1. \] Так как члены ряда не стремятся к \(0\), ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\) расходится по признаку n-го члена.
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равен \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+1}{3n^2+4n}\)?
Подсказка: разделите числитель и знаменатель на \(n^2\).
Попробуйте 2: Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5n}{5n+1}\)?
Подсказка: \(\frac{5n}{5n+1}\to 1\). Ряд не может сходиться, если его члены не стремятся к \(0\).
Итоги
Вычисляйте пределы последовательностей по старшим членам (особенно для рациональных выражений от \(n\)).
Для рядов всегда сначала проверяйте \(\lim a_n\): если он не равен \(0\), ряд расходится.
Геометрические и телескопические
Суммы геометрических рядов и телескопические ряды
Цель обучения: Распознавать геометрические ряды, вычислять их суммы и работать с телескопическими рядами через простые дроби.
Главная идея
Геометрический ряд имеет вид \(\sum ar^n\) (или сдвинутую версию). Он сходится ровно при \(|r|<1\). Суммы, которые нужно знать:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} r^n=\frac{1}{1-r}\) при \(|r|<1\).
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^n=\frac{r}{1-r}\) при \(|r|<1\).
Телескопический ряд - это ряд, в котором многие члены сокращаются после переписывания: \[ a_n = b_n - b_{n+1}\quad \Rightarrow\quad \sum_{n=1}^{N} a_n = b_1 - b_{N+1}. \] Это часто происходит после разложения на простые дроби.
Разобранный пример
Пример: Чему равна \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}\)?
Это геометрический ряд с \(r=\tfrac12\) и первым членом \(\tfrac12\): \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^n=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1. \]
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равна \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac13\right)^n\)?
Подсказка: используйте \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\dfrac{1}{1-r}\) при \(r=\tfrac13\).
Попробуйте 2: Чему равна \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+3)}\)?
Геометрические ряды сходятся при \(|r|<1\), и тогда их можно точно суммировать.
Телескопические ряды становятся простыми после переписывания членов так, чтобы они сокращались в частичной сумме.
p-ряды
p-ряды, гармонический ряд и быстрая классификация
Цель обучения: Мгновенно распознавать \(\sum \frac{1}{n^p}\) и избегать типичных ошибок с p-рядами.
Главная идея
Признак p-ряда - одна из самых быстрых проверок сходимости:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) сходится, если \(p>1\).
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) расходится, если \(p\le 1\).
Гармонический ряд \(\sum \frac{1}{n}\) - это случай \(p=1\), поэтому он расходится.
Вы также будете использовать p-ряды как эталоны в признаке сравнения. Если ваши члены при больших \(n\) ведут себя как \(\frac{1}{n^p}\), то признак p-ряда часто подсказывает результат.
Разобранный пример
Пример: Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{0.9}}\)?
Это p-ряд с \(p=0.9\). Так как \(p\le 1\), ряд расходится.
Попробуйте
Попробуйте 1: Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}}\)?
Подсказка: \(\sum \frac{1}{n^p}\) сходится только при \(p>1\).
Попробуйте 2: Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\)?
Подсказка: для p-ряда \(p>1\Rightarrow\) сходится.
Итоги
\(\sum \frac{1}{n^p}\) сходится при \(p>1\), расходится при \(p\le 1\).
Гармонический ряд \(\sum \frac{1}{n}\) расходится (это \(p=1\)).
Сравнение и быстрые суммы
Признаки сравнения и идея "экспонента сильнее многочлена"
Цель обучения: Эффективно использовать сравнение и предельное сравнение, а также вычислять типичные сходящиеся суммы вроде \(\sum n r^n\).
Главная идея
Признак сравнения - быстрая стратегия для положительных членов:
Если \(0\le a_n \le b_n\) и \(\sum b_n\) сходится, то \(\sum a_n\) сходится.
Если \(0\le b_n \le a_n\) и \(\sum b_n\) расходится, то \(\sum a_n\) расходится.
Сильная интуиция: экспоненты сильнее многочленов. Поэтому члены вроде \(\dfrac{1}{n2^n}\) часто дают сходящийся ряд: \(2^n\) в знаменателе очень быстро уменьшает члены.
Еще одно очень полезное тождество для сумм: \[ \sum_{n=1}^{\infty} n r^n=\frac{r}{(1-r)^2}\quad (|r|<1). \] (Его можно вывести дифференцированием геометрического ряда.)
Разобранный пример
Пример: Сходится или расходится \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n2^n}\)?
При \(n\ge 1\) имеем \(n\ge 1\), поэтому \(\dfrac{1}{n2^n}\le \dfrac{1}{2^n}\). Ряд \(\sum \dfrac{1}{2^n}\) геометрический с множителем \(\tfrac12\), значит он сходится. Следовательно, \(\sum \dfrac{1}{n2^n}\) сходится по сравнению.
Попробуйте
Попробуйте 1: Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n2^n}\)?
Подсказка: сравните с \(\sum \frac{1}{2^n}\).
Попробуйте 2: Чему равна \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{5^n}\)?
Подсказка: используйте \(\sum_{n=1}^{\infty} n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2}\) при \(r=\tfrac15\).
Итоги
Сравнение работает лучше всего, когда можно зажать ряд между простыми эталонными рядами.
Знайте \(\sum n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2}\) для \(|r|<1\), чтобы быстро вычислять типичные сходящиеся суммы.
Признаки Даламбера и Коши
Признак Даламбера, признак Коши и факториальные/экспоненциальные ряды
Цель обучения: Уверенно использовать признак Даламбера и признак Коши, особенно для факториалов, экспонент и выражений, похожих на степенные ряды.
Если \(L<1\), ряд \(\sum a_n\) сходится абсолютно.
Если \(L>1\) (или \(L=\infty\)), ряд расходится.
Если \(L=1\), признак не дает ответа.
Признак Коши использует \[ L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \] Правила вывода такие же, как у признака Даламбера, и он особенно удобен для членов вида \((\text{что-то})^n\).
Разобранный пример
Пример: Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\)?
Пусть \(a_n=\dfrac{1}{n!}\). Тогда \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{}0. \] Значит \(L=0<1\), и ряд сходится абсолютно (на самом деле его сумма равна \(e\)).
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равен \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) для \(a_n=\left(\tfrac14\right)^n\)?
Попробуйте 2: Чему равен \(\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{7}{4}\right)^n\)?
Подсказка: если \(r>1\), то \(r^n\to\infty\).
Итоги
Признаки Даламбера/Коши идеально подходят для факториалов, экспонент и степенных рядов.
Для геометрических последовательностей \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) - это постоянный множитель \(r\).
Знакопеременные ряды
Признак знакопеременного ряда и абсолютная/условная сходимость
Цель обучения: Определять сходимость знакопеременных рядов и понимать, когда сходящийся ряд является абсолютно или условно сходящимся.
Главная идея
Знакопеременный ряд часто выглядит так: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \quad \text{или} \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n, \] где \(b_n \ge 0\). Признак знакопеременного ряда говорит, что ряд сходится, если:
\(b_n\) начиная с некоторого места убывает, и
\(\lim_{n\to\infty} b_n=0\).
Ряд сходится абсолютно, если сходится \(\sum |a_n|\). Если \(\sum a_n\) сходится, но \(\sum |a_n|\) расходится, то \(\sum a_n\) сходится условно.
Разобранный пример
Пример: Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{0.9}}\) сходится абсолютно, сходится условно или расходится?
Пусть \(b_n=\dfrac{1}{n^{0.9}}\). Тогда \(b_n\) убывает и \(b_n\to 0\). Поэтому \(\sum (-1)^{n+1} b_n\) сходится по признаку знакопеременного ряда. Но \(\sum |(-1)^{n+1}b_n|=\sum \dfrac{1}{n^{0.9}}\) - p-ряд с \(p=0.9\le 1\), значит он расходится. Следовательно, знакопеременный ряд сходится условно.
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равна \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\tfrac12\right)^n\)?
Подсказка: это геометрический ряд с первым членом \(\tfrac12\) и множителем \(r=-\tfrac12\). Используйте \(S=\dfrac{a_1}{1-r}\).
Попробуйте 2: Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{0.9}}\) лучше всего описать как:
Подсказка: признак знакопеременного ряда дает сходимость, но \(\sum \frac{1}{n^{0.9}}\) расходится.
Используйте признак Коши (или Даламбера): \[ \sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{\sqrt{n}}\right|} = |x|\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}. \] Но \(\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}=n^{-1/(2n)}\to 1\). Значит предел равен \(|x|\). Ряд сходится при \(|x|<1\) и расходится при \(|x|>1\). Поэтому радиус сходимости равен \(R=1\).
Подсказка: \(\sum x^n\) - геометрический ряд с множителем \(x\). Он сходится при \(|x|<1\).
Итоговое повторение
Признак n-го члена: если \(\lim a_n≠ 0\), то \(\sum a_n\) расходится.
Геометрические ряды: сходятся при \(|r|<1\), сумма через \(\frac{1}{1-r}\) (или \(\frac{r}{1-r}\), если начало с \(n=1\)).
Телескопические: перепишите для сокращения в частичных суммах; возьмите предел.
p-ряды: \(\sum \frac{1}{n^p}\) сходится при \(p>1\), расходится при \(p\le 1\).
Сравнение/предельное сравнение: сопоставьте с известным эталонным рядом.
Признаки Даламбера/Коши: лучше всего подходят для факториалов, экспонент и степенных рядов.
Знакопеременные ряды: убывание \(b_n\to 0\) означает сходимость; абсолютную или условную сходимость определяют по \(\sum |a_n|\).
Степенные ряды: найдите радиус \(R\), затем проверьте концы, чтобы получить интервал сходимости.
Следующий шаг: Закройте этот урок и попробуйте тест снова. Если ошибетесь в вопросе, откройте книгу заново и повторите страницу, которая соответствует нужной идее сходимости.
Набор практики
Практические вопросы по теме Сходимость последовательностей и рядов с мгновенным результатом
Ответьте на все 10 вопросов ниже, затем получите итоговый результат и разбор ошибок, чтобы точно понять, что улучшить.
0/10отвечено
Вопрос 1Нет ответа
Чему равен \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\)?
Правильный ответ: C. \(0\)
Объяснение: Последовательность \(1/n\) стремится к \(0\) при \(n\to\infty\).
Вопрос 2Нет ответа
Чему равна \(\sum_{n=0}^\infty \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^n\)?
Правильный ответ: A. \(2\)
Объяснение: Используйте формулу \(\sum_{n=0}^\infty r^n = \tfrac{1}{1-r}\) при \(r=\tfrac{1}{2}\).
Вопрос 3Нет ответа
Чему равен \(\lim_{n\to\infty}(\tfrac12)^n\)?
Правильный ответ: B. \(0\)
Объяснение: Степени \(\tfrac12\) становятся сколь угодно малыми, стремясь к \(0\).
Вопрос 4Нет ответа
Чему равен \(\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{n}\)?
Правильный ответ: B. \(1\)
Объяснение: Разделите числитель и знаменатель на \(n\); дробь стремится к \(1\).
Вопрос 5Нет ответа
Если \(a_n=5\) для всех \(n\), чему равен \(\lim_{n\to\infty}a_n\)?
Правильный ответ: B. \(5\)
Объяснение: Постоянная последовательность сохраняет своё значение, значит, предел равен \(5\).
Вопрос 6Нет ответа
Чему равен \(\lim_{n\to\infty}n\)?
Правильный ответ: A. \(\infty\)
Объяснение: Последовательность неограниченно возрастает, поэтому она не сходится.
Вопрос 7Нет ответа
Чему равна \(\sum_{n=0}^\infty (\tfrac13)^n\)?
Правильный ответ: C. \(\tfrac32\)
Объяснение: Сумма геометрической прогрессии равна \(1/(1-\tfrac13)=\tfrac32\).
Вопрос 8Нет ответа
Чему равна \(\sum_{n=1}^\infty \frac1{2^n}\)?
Правильный ответ: B. \(1\)
Объяснение: Это та же геометрическая прогрессия без члена при \(n=0\): \(1/(1-\tfrac12)-1 =1\).
Вопрос 9Нет ответа
Сходится или расходится ряд \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\)?
Правильный ответ: A. Расходится
Объяснение: Члены ряда не стремятся к \(0\), поэтому ряд расходится.
Вопрос 10Нет ответа
Чему равна \(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}\)?
Правильный ответ: B. \(1\)
Объяснение: Телескопический ряд: \(1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)\), в сумме получается \(1\).
