अनुक्रम और श्रेणी अभिसरण अभ्यास क्विज़, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से अनुक्रम और श्रेणी अभिसरण का अभ्यास करें: अनुक्रम सीमाएं \(\lim_{n\to\infty} a_n\), nवाँ-पद परीक्षण, ज्यामितीय श्रेणियां और \(|r|<1\), टेलिस्कोपिंग श्रेणी, p-श्रेणी परीक्षण और हार्मोनिक श्रेणी, तुलना और सीमा तुलना, अनुपात और मूल परीक्षण, निरपेक्ष बनाम सशर्त अभिसरण, और घात श्रेणी के त्रिज्या तथा अंतराल का अभिसरण।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह अभिसरण अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए गए अभिसरण प्रश्नों का उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): अभिसरण परीक्षणों, तेज पैटर्न पहचान और सामान्य योगों को उदाहरणों के साथ दोहराएं।
3. दोहराएं: क्विज़ पर लौटें और अभिसरण नियम तुरंत लागू करें।
अनुक्रम और श्रेणी अभिसरण के पाठ में आप क्या सीखेंगे
अनुक्रम सीमाएं और अपसरण परीक्षण
अनुक्रम सीमाएं: परिमेय फलन, बहुपद डिग्री और \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\) जैसे घातीय फलन
nवाँ-पद परीक्षण: यदि \(\lim a_n ? 0\), तो \(\sum a_n\) अपसरित होती है
महत्वपूर्ण भ्रम: \(\lim a_n=0\) अभिसरण के लिए आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं
ज्यामितीय श्रेणियां और टेलिस्कोपिंग योग
अनंत ज्यामितीय श्रेणी: \(\sum ar^{n}\) \(|r|<1\) पर अभिसरित होती है
उद्देश्य:अनुक्रम और श्रेणी अभिसरण को समझना ताकि आप अनुक्रम सीमाएं निकालें, nवाँ-पद परीक्षण लगाएं, ज्यामितीय और टेलिस्कोपिंग श्रेणियां पहचानें, सही अभिसरण परीक्षण चुनें और घात श्रेणी का त्रिज्या का अभिसरण तथा अंतबिंदु जाँच सकें।
सफलता के मानदंड
परिमेय और घातांकीय अनुक्रमों की सीमाएं निकालना।
nवाँ-पद परीक्षण उपयोग करना: \(\lim a_n? 0\) हो तो \(\sum a_n\) अपसरित।
ज्यामितीय श्रेणी और \(|r|<1\) पहचानना।
अनंत ज्यामितीय योग निकालना।
टेलिस्कोपिंग श्रेणी पहचानना और आंशिक योग से योग निकालना।
p-श्रेणी परीक्षण और हार्मोनिक श्रेणी पहचानना।
तुलना और सीमा तुलना लगाना।
अनुपात और मूल परीक्षण उपयोग करना।
क्रमवर्ती श्रेणी में निरपेक्ष बनाम सशर्त अभिसरण तय करना।
घात श्रेणी का \(R\) और अंतराल का अभिसरण निकालना।
मुख्य शब्दावली
अनुक्रम: क्रमबद्ध सूची \((a_n)\); \(\lim a_n\) सीमित हो तो अभिसरित।
\[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{n+1}\to 0. \] \(L=0<1\), इसलिए श्रेणी निरपेक्ष रूप से अभिसरित है।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं 1: \(a_n=\left(\tfrac14\right)^n\) के लिए \(\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) क्या है?
संकेत: \(\frac{(1/4)^{n+1}}{(1/4)^n}=\tfrac14\)।
स्वयं आजमाएं 2: \(\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{7}{4}\right)^n\) क्या है?
संकेत: \(r>1\) हो तो \(r^n\to\infty\)।
सारांश
अनुपात/मूल परीक्षण फैक्टोरियल और घातांकीय/घात श्रेणी पद के लिए श्रेष्ठ हैं।
ज्यामितीय अनुक्रम में \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) वही स्थिरांक अनुपात \(r\) है।
क्रमवर्ती श्रेणी
क्रमवर्ती श्रेणी परीक्षण और निरपेक्ष बनाम सशर्त अभिसरण
सीखने का लक्ष्य: क्रमवर्ती श्रेणी का अभिसरण और निरपेक्ष/सशर्त प्रकार तय करना।
मुख्य विचार
क्रमवर्ती श्रेणी अक्सर \[ \sum (-1)^{n-1}b_n \] जैसी होती है। परीक्षण कहता है:
\(b_n\) अंततः घटता हो, और
\(\lim b_n=0\)।
यदि \(\sum |a_n|\) अभिसरित है तो निरपेक्ष अभिसरण। यदि \(\sum a_n\) अभिसरित लेकिन \(\sum |a_n|\) अपसरित, तो सशर्त अभिसरण।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\sum (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{0.9}}\) निरपेक्ष, सशर्त या अपसरित?
\(b_n=\frac{1}{n^{0.9}}\) घटता है और \(0\) की ओर जाता है, इसलिए क्रमवर्ती परीक्षण से अभिसरित। लेकिन \(\sum \frac{1}{n^{0.9}}\) p-श्रेणी \(p\le 1\) है, इसलिए अपसरित। अतः यह सशर्त अभिसरित है।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं 1: \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\tfrac12\right)^n\) क्या है?
संकेत: पहला पद \(\tfrac12\), अनुपात \(r=-\tfrac12\), \(S=\dfrac{a_1}{1-r}\)।
स्वयं आजमाएं 2: \(\sum (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{0.9}}\) को कैसे वर्णित करेंगे?
संकेत: क्रमवर्ती परीक्षण अभिसरण देता है, लेकिन निरपेक्ष p-श्रेणी अपसरित होती है।
सारांश
क्रमवर्ती परीक्षण: घटता \(b_n\to 0\) हो तो अभिसरण।
निरपेक्ष अभिसरण में \(\sum |a_n|\) भी अभिसरित होती है।
घात श्रेणी
घात श्रेणी अभिसरण: त्रिज्या और अंतराल
सीखने का लक्ष्य: अनुपात/मूल परीक्षण से \(R\) निकालना और अंतबिंदु जाँचना।
मुख्य विचार
घात श्रेणी का रूप \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \] होता है।
\(|x-a|<R\) पर अभिसरित।
\(|x-a|>R\) पर अपसरित।
\(|x-a|=R\) पर अंतबिंदु अलग से जाँचें।
अनुपात परीक्षण अक्सर \(|x-a|<R\) जैसी शर्त देता है; यही \(R\) त्रिज्या का अभिसरण है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt{n}}\) का त्रिज्या का अभिसरण निकालें।
मूल परीक्षण: \[ \sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{\sqrt{n}}\right|}=|x|\cdot n^{-1/(2n)}\to |x|. \] अभिसरण \(|x|<1\) पर है, इसलिए \(R=1\)।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं 1: \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt n}\) का त्रिज्या क्या है?
संकेत: मूल/अनुपात परीक्षण \(|x|<1\) तक ले जाते हैं।
स्वयं आजमाएं 2: \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) का त्रिज्या क्या है?
संकेत: \(\sum x^n\) ज्यामितीय है और \(|x|<1\) पर अभिसरित।
अंतिम पुनरावलोकन
nवाँ-पद परीक्षण: \(\lim a_n? 0\) हो तो \(\sum a_n\) अपसरित।
ज्यामितीय: \(|r|<1\) पर अभिसरित।
टेलिस्कोपिंग: रद्द करके आंशिक योग की सीमा लें।
p-श्रेणी: \(p>1\) पर अभिसरित।
तुलना: ज्ञात मानक मान से मिलाएं।
अनुपात/मूल: फैक्टोरियल, घातीय फलन और घात श्रेणी के लिए उपयोगी।
क्रमवर्ती: \(b_n\downarrow 0\) हो तो अभिसरण; निरपेक्ष बनाम सशर्त जाँचें।
घात श्रेणी: त्रिज्या \(R\) और अंतबिंदु जाँचें।
अगला कदम: पाठ बंद करें और क्विज़ फिर से आजमाएं। गलती होने पर संबंधित अभिसरण विचार वाला पेज दोबारा देखें।
अभ्यास सेट
अनुक्रम एवं श्रेणियों का अभिसरण अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
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प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
\(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\) क्या है?
सही उत्तर: C. \(0\)
व्याख्या: अनुक्रम \(1/n\), \(n\to\infty\) होने पर \(0\) की ओर जाता है।
