Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Derivadas y reglas de derivación - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de derivadas y reglas de diferenciación con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario al principio de la página para practicar derivadas y reglas de diferenciación con las habilidades exactas que necesitas para Cálculo: notación de derivadas \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\) y \(\dfrac{d}{dx}[\,\cdot\,]\), el significado de la derivada como tasa instantánea de cambio y pendiente de la recta tangente, las reglas centrales (regla de la constante, regla de la potencia, regla de suma/diferencia, regla del múltiplo constante), además de las tres grandes: regla del producto, regla del cociente y regla de la cadena. También dominarás derivadas indispensables de funciones trigonométricas (\(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\csc x\)), exponenciales (\(e^x\), \(e^{x^2}\)) y logaritmos (\(\ln x\), \(\ln(x^2)\), \(\ln(\sin x)\)). Si quieres repasar, haz clic en Iniciar lección para abrir una guía paso a paso con ejemplos resueltos y comprobaciones rápidas para expresiones como \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\) y \((x^2+1)(x^3-1)\).
Cómo funciona esta práctica de derivadas
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas de derivadas y reglas de diferenciación al principio de la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa notación de derivadas, la definición por límite y las principales reglas de diferenciación con ejemplos claros.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y aplica de inmediato la regla del producto, la regla del cociente, la regla de la cadena y las reglas de derivadas trig/log/exp.
Qué aprenderás en la lección de derivadas y reglas de diferenciación
Fundamentos de derivadas y reglas centrales
Notación de derivadas: \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\)
Regla de la constante y regla de la potencia: \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\), \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1}\)
Reglas de suma/diferencia y múltiplo constante para derivar más rápido
Regla de la cadena para funciones compuestas
Deriva de afuera hacia adentro: si \(y=f(g(x))\), entonces \(y'=f'(g(x))\,g'(x)\)
Maneja potencias como \((3x-2)^4\) y radicales como \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\)
Deriva composiciones trig/exponenciales como \(\sin(2x)\), \(\cos(2x-1)\) y \(e^{x^2}\)
Regla del producto y regla del cociente
Regla del producto: \((uv)'=u'v+uv'\) (para \(x\sin x\), \((x^2+1)(x^3-1)\), etc.)
Regla del cociente: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) (para \(\dfrac{x^2+1}{x}\), \(\dfrac{1}{x}\))
Elige el enfoque más simple (reescribe \(1/x=x^{-1}\) cuando ayude)
Derivadas trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
Derivadas exponenciales: \((e^x)'=e^x\), \((ae^x)'=ae^x\) y regla de la cadena para \(e^{x^2}\)
Derivadas logarítmicas: \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\); regla de la cadena para \(\ln(x^2)\) y \(\ln(\sin x)\)
Volver al cuestionario
Cuando estés listo, regresa al cuestionario al principio de la página y sigue practicando derivadas y reglas de diferenciación.
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Derivadas & reglas
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Lección de derivadas y reglas de diferenciación
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Resumen de la lección
Resumen de la lección
Propósito: Construir una comprensión clara y lista para exámenes de derivadas y reglas de diferenciación para que puedas calcular derivadas rápida y correctamente. Aprenderás notación de derivadas \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\), conectarás la derivada con la pendiente de una recta tangente y la tasa instantánea de cambio, y dominarás las reglas que más aparecen en cuestionarios y pruebas: regla de la constante, regla de la potencia, suma/diferencia, múltiplo constante, regla del producto, regla del cociente y especialmente la regla de la cadena para funciones compuestas. También practicarás las derivadas estándar de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, incluidas composiciones como \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\), \(\ln(\sin x)\) y \(e^{x^2}\).
Criterios de éxito
Lee y escribe notación de derivadas: \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\) y \(\dfrac{d}{dx}[\,\cdot\,]\).
Usa la regla de la constante: \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\) y múltiplos constantes: \(\dfrac{d}{dx}[cf]=c f'\).
Usa la regla de la potencia: \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) (incluidas potencias negativas y fraccionarias).
Deriva sumas y diferencias rápidamente: \((f\pm g)'=f'\pm g'\).
Aplica la regla del producto: \((uv)'=u'v+uv'\).
Aplica la regla del cociente: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), v≠ 0.
Aplica la regla de la cadena para funciones compuestas: \((f(g(x)))'=f'(g(x))\,g'(x)\).
Deriva exponenciales y logaritmos: \((e^x)'=e^x\), \((\ln x)'=1/x\), además de regla de la cadena para \(e^{x^2}\), \(\ln(x^2)\), \(\ln(\sin x)\).
Reescribe cuando ayude (por ejemplo, \(1/x=x^{-1}\), \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\)) para simplificar la derivación.
Vocabulario clave
Derivada: la tasa instantánea de cambio de \(y\) respecto de \(x\); también la pendiente de la recta tangente.
Notación de derivadas: \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\).
Función compuesta: una función dentro de otra, como \(\cos(2x-1)\) o \((3x-2)^4\).
Regla de la cadena: la regla usada para derivadas de funciones compuestas.
Producto/cociente: expresiones como \(x\sin x\) o \(\dfrac{x^2+1}{x}\) que requieren regla del producto o cociente (o una reescritura inteligente).
Comprobación rápida previa
Precomprobación 1: ¿Cuál es la derivada de la función constante \(f(x)=7\)?
Pista: La pendiente de una función constante es cero en todas partes.
Precomprobación 2: ¿Cuál es \(\dfrac{d}{dx}\bigl[x^5 + 2x\bigr]\)?
Pista: Usa la regla de la potencia en \(x^5\) y la derivada de \(2x\) es \(2\).
Fundamentos de derivadas
Significado de derivada, notación y reglas centrales de diferenciación
Objetivo de aprendizaje: Derivar polinomios y combinaciones básicas rápidamente usando la regla de la constante, la regla de la potencia y la linealidad.
Idea clave
La derivada mide qué tan rápido cambia una función. Para una gráfica \(y=f(x)\), la derivada \(f'(x)\) es la pendiente de la recta tangente. Notaciones comunes significan lo mismo: \[ f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}[f(x)]. \] En cálculo, la derivada se puede definir usando un límite (cociente de diferencias): \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \] pero la mayoría de problemas de práctica se resuelven con las reglas de diferenciación siguientes.
Reglas que usarás constantemente
Regla de la constante: \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\)
Regla de la potencia: \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) (funciona para enteros, fracciones y negativos)
Suma/diferencia: \((f\pm g)'=f'\pm g'\)
Múltiplo constante: \((cf)'=c f'\)
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Deriva \(f(x)=x^5+2x\).
Aplica la regla de la potencia término a término: \[ \frac{d}{dx}[x^5]=5x^4,\qquad \frac{d}{dx}[2x]=2. \] Entonces \[ f'(x)=5x^4+2. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es \(\dfrac{d}{dx}[\,1+\sin(x)\,]\)?
Pista: La derivada de \(1\) es \(0\), y \((\sin x)'=\cos x\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es \(\dfrac{d}{dx}[x^{-1/2}]\)?
Pista: Usa \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) con \(n=-\tfrac{1}{2}\).
Resumen
Deriva término a término usando linealidad: constantes, sumas y múltiplos constantes.
La regla de la potencia funciona para exponentes negativos y fraccionarios (donde la función está definida).
Regla de la cadena
Regla de la cadena para funciones compuestas (diferenciación de adentro hacia afuera)
Objetivo de aprendizaje: Reconocer funciones compuestas y aplicar limpiamente la regla de la cadena a potencias, radicales, trigonométricas, exponenciales y logaritmos.
Idea clave
Una función compuesta tiene una función "interna" y una "externa". Si \(y=f(g(x))\), entonces la regla de la cadena dice: \[ \frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x). \] Flujo rápido: identifica la interna \(u=g(x)\), deriva la externa respecto de \(u\), luego multiplica por \(\dfrac{du}{dx}\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Deriva \(y=(3x-2)^4\).
Sea \(u=3x-2\). Entonces \(y=u^4\). \[ \frac{dy}{du}=4u^3,\qquad \frac{du}{dx}=3. \] Regla de la cadena: \[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=4u^3\cdot 3=12(3x-2)^3. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la derivada de \(\cos(2x-1)\)?
Pista: \((\cos u)'=-\sin u\), luego multiplica por \(u'=(2x-1)'=2\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la derivada de \(\sqrt{x+1}\)?
Pista: Reescribe \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\) y usa regla de la potencia + regla de la cadena.
Resumen
¿Función compuesta? Usa la regla de la cadena: derivada externa \(\times\) derivada interna.
Reescribe radicales y fracciones como potencias cuando simplifique la regla de la cadena.
Derivadas trigonométricas
Derivadas trigonométricas y composiciones comunes
Objetivo de aprendizaje: Memorizar las derivadas trigonométricas centrales y combinarlas con la regla de la cadena para expresiones como \(\sin(2x)\) y \(\tan^2(x)\).
Derivadas trigonométricas centrales (memorízalas)
\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=\sec^2 x\)
\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Deriva \(\tan^2(x)\).
Escribe \(\tan^2(x)=(\tan x)^2\). Sea \(u=\tan x\). Entonces \(y=u^2\). \[ \frac{dy}{du}=2u,\qquad \frac{du}{dx}=\sec^2 x. \] Entonces \[ \frac{dy}{dx}=2u\cdot \sec^2 x=2\tan(x)\sec^2(x). \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la derivada de \(\sin(2x)\)?
Pista: \((\sin u)'=\cos u\) y \(u=2x\) tiene derivada \(2\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la derivada de \(\csc(x)\)?
Pista: Esta es una derivada estándar: \((\csc x)'=-\csc x\cot x\).
Resumen
Memoriza derivadas trigonométricas y luego aplica regla de la cadena a cualquier expresión como \(\sin(2x)\) o \((\tan x)^2\).
Ten cuidado con los signos: \((\cos x)'=-\sin x\) y \((\csc x)'=-\csc x\cot x\).
Producto y cociente
Regla del producto y regla del cociente (más reescritura inteligente)
Objetivo de aprendizaje: Derivar productos como \(x\sin x\) y cocientes como \(\dfrac{x^2+1}{x}\) con precisión y eficiencia.
Reglas clave
Regla del producto: \((uv)'=u'v+uv'\)
Regla del cociente: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), v≠ 0
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Deriva \(y=x\sin(x)\).
Usa la regla del producto con \(u=x\) y \(v=\sin x\): \[ u'=1,\qquad v'=\cos x. \] Entonces \[ y'=u'v+uv' = 1\cdot \sin x + x\cdot \cos x = \sin x + x\cos x. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es \(\dfrac{d}{dx}\bigl[(x^2+1)(x^3-1)\bigr]\)?
Pista: Regla del producto: \((uv)'=u'v+uv'\). Aquí \(u=x^2+1\), \(v=x^3-1\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la derivada de \(\dfrac{x^2+1}{x}\) (para x≠ 0)?
Pista: Simplifica primero: \(\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\). Deriva para obtener \(1-\dfrac{1}{x^2}\).
Resumen
Usa regla del producto para productos; usa regla del cociente para cocientes cuando reescribir no sea más simple.
Álgebra primero puede ahorrar tiempo: \(\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\).
Exp y log
Derivadas exponenciales y logarítmicas (más composiciones con regla de la cadena)
Objetivo de aprendizaje: Derivar \(e^x\), \(\ln x\) y composiciones como \(e^{x^2}\) y \(\ln(\sin x)\) usando la regla de la cadena.
Muchas derivadas "difíciles" son solo regla de la cadena con estas fórmulas base.
Estrategia
Estrategia rápida: elige la regla correcta y evita errores comunes
Objetivo de aprendizaje: Construir una lista confiable: simplificar, identificar estructura (suma/producto/cociente/compuesta), luego derivar con precisión.
Idea clave
La mayoría de problemas de derivadas se vuelven fáciles si primero identificas la estructura: suma/diferencia, múltiplo constante, potencia, producto, cociente o compuesta. Cuando sea posible, reescribe en una forma más simple: \[ \frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2},\qquad \frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}. \] Luego aplica el conjunto mínimo de reglas necesario.
Ejemplo resuelto (reescritura inteligente)
Ejemplo: Deriva \(\dfrac{1}{x}\).
Reescribe: \[ \frac{1}{x}=x^{-1}. \] Regla de la potencia: \[ \frac{d}{dx}[x^{-1}]=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la derivada de \(3e^x\)?
Pista: Regla del múltiplo constante: \(\dfrac{d}{dx}[3e^x]=3\dfrac{d}{dx}[e^x]=3e^x\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es \(\dfrac{d}{dx}[(\cos x)^2]\)?
Pista: Regla de la cadena con \(u=\cos x\): \(\dfrac{d}{dx}[u^2]=2u u'\) y \(u'=-\sin x\).
Resumen
Identifica siempre la estructura primero: suma, producto, cociente o compuesta.
Reescribe cuando ayude a convertir una regla del cociente en un problema más simple de regla de potencia.
La regla de la cadena es la razón más común por la que faltan factores en las respuestas (la derivada interna).
Panorama general
Por qué importan las derivadas (y una práctica final)
Objetivo de aprendizaje: Conectar reglas de diferenciación con aplicaciones reales de cálculo y terminar con una comprobación final que use varias reglas juntas.
Dónde aparecen las derivadas
Rectas tangentes: pendiente en un punto y aproximación lineal.
Tasas de cambio: velocidad, aceleración, crecimiento/decrecimiento, costo/ingreso marginal.
Optimización: maximizar ganancias, minimizar tiempo, diseñar formas eficientes.
Análisis de curvas: creciente/decreciente, concavidad y bocetos de gráficas.
Ejemplo resuelto: varias reglas en un problema
Ejemplo: Deriva \(y=\ln(x^2)\) para x≠ 0.
Sea \(u=x^2\). Entonces \(y=\ln u\). \[ y'=\frac{u'}{u}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}. \] Este es un patrón clásico de regla de la cadena + derivada logarítmica.
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es \(\dfrac{d}{dx}[(3x-2)^4]\)?
Pista: Regla de la cadena: afuera \(u^4\Rightarrow 4u^3\), adentro \(u=3x-2\Rightarrow u'=3\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es \(\dfrac{d}{dx}[\ln(\sin x)]\) (donde \(\sin x>0\))?
Pista: \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) con \(u=\sin x\) y \(u'=\cos x\).
Repaso final
Reglas centrales: constantes \(\to 0\), potencias \(\to nx^{n-1}\), linealidad para sumas y múltiplos constantes.
Regla de la cadena: la regla más común en funciones compuestas como \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(e^{x^2}\), \(\ln(\sin x)\).
Producto/cociente: usa \((uv)'=u'v+uv'\) y \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) (o simplifica primero).
Trig/exp/log: memoriza las derivadas base, luego aplica regla de la cadena cuando la entrada no sea solo \(x\).
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con la regla que necesitas (regla de la potencia, regla de la cadena, regla del producto, regla del cociente, derivadas trigonométricas, exponenciales o logarítmicas).
Racha 5+
Racha 10+
Racha 15+
Racha 20+
Racha 25+