नीचे दिए गए क्विज़ से अवकलज और अवकलन नियमों का अभ्यास करें: संकेतन \(f^{\prime}(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}\), अवकलज का अर्थ, घात नियम, योग/अंतर, गुणांक नियम, गुणनफल नियम, भागफल नियम और श्रृंखला नियम। पाठ में \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\), \(\ln(\sin x)\) और \(e^{x^2}\) जैसे उदाहरण मिलेंगे।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह अवकलज अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: नीचे दिए अवकलज और नियमों वाले प्रश्नों का उत्तर दें।
2. पाठ खोलें: संकेतन, सीमा-परिभाषा और मुख्य नियम उदाहरणों के साथ दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: गुणनफल, भागफल, श्रृंखला और त्रिकोणमितीय/लघुगणक/exp नियम तुरंत लागू करें।
उद्देश्य: अवकलज और अवकलन नियमों की परीक्षा-योग्य समझ बनाना ताकि आप बहुपद, संयुक्त फलन, त्रिकोणमितीय, घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के अवकलज तेज़ी से निकाल सकें।
पूर्व-जाँच 1: स्थिर फलन \(f(x)=7\) का अवकलज क्या है?
संकेत: स्थिर फलन की ढाल हर जगह शून्य होती है।
पूर्व-जाँच 2: \(\dfrac{d}{dx}[x^5+2x]\) क्या है?
संकेत: \(x^5\) पर घात नियम और \(2x\) का अवकलज 2 है।
अवकलज की मूल बातें
अर्थ, संकेतन और मुख्य अवकलन नियम
लक्ष्य: स्थिरांक, घात नियम और रैखिकता से बहुपदों का तेज़ अवकलन करना।
मुख्य विचार
अवकलज फलन की तत्काल परिवर्तन दर है। ग्राफ \(y=f(x)\) पर \(f^{\prime}(x)\) स्पर्शरेखा की ढाल है। सीमा-परिभाषा है \[ f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \]
हर पद पर घात नियम लगाएँ: \(\dfrac{d}{dx}[x^5]=5x^4\) और \(\dfrac{d}{dx}[2x]=2\)। इसलिए \(f^{\prime}(x)=5x^4+2\)।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: \(\dfrac{d}{dx}[1+\sin x]\) क्या है?
संकेत: \(1\) का अवकलज \(0\), और \((\sin x)^{\prime}=\cos x\)।
प्रयास 2: \(\dfrac{d}{dx}[x^{-1/2}]\) क्या है?
संकेत: \(n=-\tfrac12\) के साथ घात नियम लगाएँ।
सारांश
पद-दर-पद अवकलन करें।
घात नियम ऋणात्मक और भिन्न घातों पर भी काम करता है जहाँ फलन परिभाषित हो।
श्रृंखला नियम
संयुक्त फलनों के लिए अंदर-बाहर अवकलन
लक्ष्य: घातों, मूलांकों, त्रिकोणमितीय फलनों, घातीय फलनों और लघुगणकों में श्रृंखला नियम पहचानना।
मुख्य विचार
यदि \(y=f(g(x))\), तो \(\dfrac{dy}{dx}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)\)। पहले अंदर वाला \(u=g(x)\) पहचानें, बाहर का अवकलज लें, फिर \(u^{\prime}\) से गुणा करें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(y=(3x-2)^4\) का अवकलज निकालें।
मान लें \(u=3x-2\)। तब \(y=u^4\), इसलिए \(\dfrac{dy}{du}=4u^3\) और \(\dfrac{du}{dx}=3\)। अतः \(\dfrac{dy}{dx}=12(3x-2)^3\)।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: \(\cos(2x-1)\) का अवकलज क्या है?
संकेत: \((\cos u)^{\prime}=-\sin u\), फिर \(u^{\prime}=2\) से गुणा करें।
प्रयास 2: \(\sqrt{x+1}\) का अवकलज क्या है?
संकेत: \((x+1)^{1/2}\) लिखकर घात नियम और श्रृंखला नियम लगाएँ।
सारांश
संयुक्त दिखे तो श्रृंखला नियम लगाएँ।
मूल और भिन्नों को घातों में लिखना अक्सर आसान होता है।
त्रिकोणमितीय अवकलज
त्रिकोणमितीय अवकलज और सामान्य संयोजन
लक्ष्य: मुख्य त्रिकोणमितीय अवकलज याद रखना और उन्हें श्रृंखला नियम के साथ जोड़ना।
मुख्य त्रिकोणमितीय अवकलज
\((\sin x)^{\prime}=\cos x\)
\((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)
\((\tan x)^{\prime}=\sec^2 x\)
\((\csc x)^{\prime}=-\csc x\cot x\)
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\tan^2(x)\) का अवकलज निकालें।
\(\tan^2(x)=(\tan x)^2\)। \(u=\tan x\) लें। तब \(y^{\prime}=2u\sec^2x=2\tan(x)\sec^2(x)\)।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: \(\sin(2x)\) का अवकलज क्या है?
संकेत: \((\sin u)^{\prime}=\cos u\), और \(u=2x\) का अवकलज 2 है।
प्रयास 2: \(\csc(x)\) का अवकलज क्या है?
संकेत: मानक नियम \((\csc x)^{\prime}=-\csc x\cot x\)।
सारांश
त्रिकोणमितीय अवकलज याद करें और संयुक्त में श्रृंखला नियम लगाएँ।
चिह्नों पर ध्यान दें, खासकर कोसाइन और csc में।
गुणनफल और भागफल
गुणनफल नियम, भागफल नियम और समझदार पुनर्लेखन
लक्ष्य: \(x\sin x\) जैसे गुणनफल और \(\dfrac{x^2+1}{x}\) जैसे भागफलों का सही अवकलन करना।
