Dérivées et règles de dérivation : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les dérivées et les règles de dérivation avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner aux dérivées et aux règles de dérivation avec les compétences essentielles en analyse : notation de dérivée \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\) et \(\dfrac{d}{dx}[\,\cdot\,]\), sens de la dérivée comme taux de variation instantané et pente de la tangente, règles de base (règle de la constante, règle de la puissance, règle de la somme/différence, règle du multiple constant), plus les trois grandes règles : règle du produit, règle du quotient et règle de la chaîne. Vous travaillerez aussi les dérivées incontournables des fonctions trigonométriques (\(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\csc x\)), des exponentielles (\(e^x\), \(e^{x^2}\)) et des logarithmes (\(\ln x\), \(\ln(x^2)\), \(\ln(\sin x)\)). Pour revoir la méthode, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide étape par étape avec des exemples guidés et de courtes vérifications sur des expressions comme \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\) et \((x^2+1)(x^3-1)\).
Comment fonctionne cet entraînement sur les dérivées
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les dérivées et les règles de dérivation en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultative) : revoyez la notation de dérivée, la définition par une limite et les principales règles de dérivation avec des exemples clairs.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement la règle du produit, la règle du quotient, la règle de la chaîne et les règles de dérivation trigonométriques, logarithmiques et exponentielles.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les dérivées et les règles de dérivation
Bases des dérivées et règles fondamentales
Notation de dérivée : \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\)
Règle de la constante et règle de la puissance : \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\), \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1}\)
Règles de somme/différence et du multiple constant pour dériver plus vite
Règle de la chaîne pour les fonctions composées
Dériver de l’extérieur vers l’intérieur : si \(y=f(g(x))\), alors \(y'=f'(g(x))\,g'(x)\)
Traiter des puissances comme \((3x-2)^4\) et des radicaux comme \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\)
Dériver des composées trigonométriques ou exponentielles comme \(\sin(2x)\), \(\cos(2x-1)\) et \(e^{x^2}\)
Règle du produit et règle du quotient
Règle du produit : \((uv)'=u'v+uv'\) (pour \(x\sin x\), \((x^2+1)(x^3-1)\), etc.)
Règle du quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) (pour \(\dfrac{x^2+1}{x}\), \(\dfrac{1}{x}\))
Choisir l’approche la plus simple (réécrire \(1/x=x^{-1}\) quand cela aide)
Dérivées trigonométriques, exponentielles et logarithmiques
Dérivées exponentielles : \((e^x)'=e^x\), \((ae^x)'=ae^x\), et règle de la chaîne pour \(e^{x^2}\)
Dérivées logarithmiques : \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\) ; règle de la chaîne pour \(\ln(x^2)\) et \(\ln(\sin x)\)
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur les dérivées et les règles de dérivation.
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Dérivées et règles
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Leçon sur les dérivées et les règles de dérivation
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Vue d’ensemble de la leçon
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : Construire une compréhension claire, prête pour les examens, des dérivées et des règles de dérivation, afin de calculer les dérivées vite et correctement. Vous apprendrez la notation de dérivée \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\), vous relierez la dérivée à la pente de la tangente et au taux de variation instantané, puis vous maîtriserez les règles qui reviennent le plus dans les quiz et les contrôles : règle de la constante, règle de la puissance, somme/différence, multiple constant, règle du produit, règle du quotient et surtout la règle de la chaîne pour les fonctions composées. Vous travaillerez aussi les dérivées usuelles des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques, y compris des composées comme \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\), \(\ln(\sin x)\) et \(e^{x^2}\).
Critères de réussite
Lire et écrire la notation de dérivée : \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\) et \(\dfrac{d}{dx}[\,\cdot\,]\).
Utiliser la règle de la constante : \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\), et les multiples constants : \(\dfrac{d}{dx}[cf]=c f'\).
Utiliser la règle de la puissance : \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) (y compris avec des exposants négatifs ou fractionnaires).
Dériver rapidement les sommes et les différences : \((f\pm g)'=f'\pm g'\).
Appliquer la règle du produit : \((uv)'=u'v+uv'\).
Appliquer la règle du quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(v≠ 0\).
Appliquer la règle de la chaîne aux fonctions composées : \((f(g(x)))'=f'(g(x))\,g'(x)\).
Dériver les fonctions trigonométriques de base : \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\tan x)'=\sec^2 x\), \((\csc x)'=-\csc x\cot x\).
Dériver les exponentielles et les logarithmes : \((e^x)'=e^x\), \((\ln x)'=1/x\), plus la règle de la chaîne pour \(e^{x^2}\), \(\ln(x^2)\), \(\ln(\sin x)\).
Réécrire quand cela aide (par exemple \(1/x=x^{-1}\), \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\)) pour simplifier la dérivation.
Vocabulaire essentiel
Dérivée : le taux de variation instantané de \(y\) par rapport à \(x\) ; aussi la pente de la tangente.
Notation de dérivée : \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\).
Fonction composée : une fonction à l’intérieur d’une autre, comme \(\cos(2x-1)\) ou \((3x-2)^4\).
Règle de la chaîne : la règle utilisée pour dériver les fonctions composées.
Produit/quotient : des expressions comme \(x\sin x\) ou \(\dfrac{x^2+1}{x}\), qui demandent la règle du produit ou du quotient (ou une réécriture astucieuse).
Pré-vérification rapide
Pré-vérification 1 : Quelle est la dérivée de la fonction constante \(f(x)=7\) ?
Indice : la pente d’une fonction constante est nulle partout.
Pré-vérification 2 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}\bigl[x^5 + 2x\bigr]\) ?
Indice : utilisez la règle de la puissance sur \(x^5\), et la dérivée de \(2x\) est \(2\).
Bases des dérivées
Sens de la dérivée, notation et règles fondamentales de dérivation
Objectif d’apprentissage : Dériver rapidement les polynômes et les combinaisons simples avec la règle de la constante, la règle de la puissance et la linéarité.
Idée clé
La dérivée mesure la vitesse à laquelle une fonction varie. Pour le graphe \(y=f(x)\), la dérivée \(f'(x)\) est la pente de la tangente. Ces notations courantes désignent la même chose : \[ f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}[f(x)]. \] En analyse, la dérivée peut être définie par une limite (taux d’accroissement) : \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \] mais la plupart des exercices se résolvent avec les règles de dérivation ci-dessous.
Règles que vous utiliserez sans arrêt
Règle de la constante : \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\)
Règle de la puissance : \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) (valable pour les entiers, les fractions et les exposants négatifs)
Somme/différence : \((f\pm g)'=f'\pm g'\)
Multiple constant : \((cf)'=c f'\)
Exemple guidé
Exemple : Dériver \(f(x)=x^5+2x\).
Appliquez la règle de la puissance terme par terme : \[ \frac{d}{dx}[x^5]=5x^4,\qquad \frac{d}{dx}[2x]=2. \] Donc \[ f'(x)=5x^4+2. \]
À vous
À vous 1 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}[\,1+\sin(x)\,]\) ?
Indice : la dérivée de \(1\) est \(0\), et \((\sin x)'=\cos x\).
À vous 2 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}[x^{-1/2}]\) ?
Indice : utilisez \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) avec \(n=-\tfrac{1}{2}\).
Résumé
Dérivez terme par terme avec la linéarité : constantes, sommes et multiples constants.
La règle de la puissance fonctionne avec les exposants négatifs et fractionnaires (là où la fonction est définie).
Règle de la chaîne
Règle de la chaîne pour les fonctions composées (dériver de l’extérieur vers l’intérieur)
Objectif d’apprentissage : Reconnaître les fonctions composées et appliquer proprement la règle de la chaîne aux puissances, radicaux, fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes.
Idée clé
Une fonction composée possède une fonction “intérieure” et une fonction “extérieure”. Si \(y=f(g(x))\), alors la règle de la chaîne donne : \[ \frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x). \] Méthode rapide : repérez l’intérieur \(u=g(x)\), dérivez l’extérieur par rapport à \(u\), puis multipliez par \(\dfrac{du}{dx}\).
Exemple guidé
Exemple : Dériver \(y=(3x-2)^4\).
Posez \(u=3x-2\). Alors \(y=u^4\). \[ \frac{dy}{du}=4u^3,\qquad \frac{du}{dx}=3. \] Règle de la chaîne : \[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=4u^3\cdot 3=12(3x-2)^3. \]
À vous
À vous 1 : Quelle est la dérivée de \(\cos(2x-1)\) ?
Indice : \((\cos u)'=-\sin u\), puis multipliez par \(u'=(2x-1)'=2\).
À vous 2 : Quelle est la dérivée de \(\sqrt{x+1}\) ?
Indice : réécrivez \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\), puis utilisez la règle de la puissance et la règle de la chaîne.
Résumé
Fonction composée ? Utilisez la règle de la chaîne : dérivée extérieure \(\times\) dérivée intérieure.
Réécrivez les radicaux et les fractions sous forme de puissances quand cela simplifie la règle de la chaîne.
Dérivées trigonométriques
Dérivées trigonométriques et compositions courantes
Objectif d’apprentissage : Mémoriser les dérivées trigonométriques de base et les combiner avec la règle de la chaîne pour des expressions comme \(\sin(2x)\) et \(\tan^2(x)\).
Dérivées trigonométriques de base (à mémoriser)
\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=\sec^2 x\)
\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)
Exemple guidé
Exemple : Dériver \(\tan^2(x)\).
Écrivez \(\tan^2(x)=(\tan x)^2\). Posez \(u=\tan x\). Alors \(y=u^2\). \[ \frac{dy}{du}=2u,\qquad \frac{du}{dx}=\sec^2 x. \] Donc \[ \frac{dy}{dx}=2u\cdot \sec^2 x=2\tan(x)\sec^2(x). \]
À vous
À vous 1 : Quelle est la dérivée de \(\sin(2x)\) ?
Indice : \((\sin u)'=\cos u\) et \(u=2x\) a pour dérivée \(2\).
Mémorisez les dérivées trigonométriques, puis appliquez la règle de la chaîne aux expressions comme \(\sin(2x)\) ou \((\tan x)^2\).
Attention aux signes : \((\cos x)'=-\sin x\) et \((\csc x)'=-\csc x\cot x\).
Produit et quotient
Règle du produit et règle du quotient (avec réécriture astucieuse)
Objectif d’apprentissage : Dériver avec précision et efficacité des produits comme \(x\sin x\) et des quotients comme \(\dfrac{x^2+1}{x}\).
Règles clés
Règle du produit : \((uv)'=u'v+uv'\)
Règle du quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(v≠ 0\)
Exemple guidé
Exemple : Dériver \(y=x\sin(x)\).
Utilisez la règle du produit avec \(u=x\) et \(v=\sin x\) : \[ u'=1,\qquad v'=\cos x. \] Alors \[ y'=u'v+uv' = 1\cdot \sin x + x\cdot \cos x = \sin x + x\cos x. \]
À vous
À vous 1 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}\bigl[(x^2+1)(x^3-1)\bigr]\) ?
Indice : règle du produit : \((uv)'=u'v+uv'\). Ici \(u=x^2+1\), \(v=x^3-1\).
À vous 2 : Quelle est la dérivée de \(\dfrac{x^2+1}{x}\) (pour \(x≠ 0\)) ?
Indice : simplifiez d’abord : \(\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\). En dérivant, on obtient \(1-\dfrac{1}{x^2}\).
Résumé
Utilisez la règle du produit pour les produits ; utilisez la règle du quotient pour les quotients quand une réécriture n’est pas plus simple.
L’algèbre d’abord peut faire gagner du temps : \(\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\).
Exp. et log.
Dérivées exponentielles et logarithmiques (plus compositions avec la règle de la chaîne)
Objectif d’apprentissage : Dériver \(e^x\), \(\ln x\) et des composées comme \(e^{x^2}\) et \(\ln(\sin x)\) avec la règle de la chaîne.
Règles de base (à mémoriser)
\((e^x)'=e^x\)
\((ae^x)'=ae^x\) pour une constante \(a\)
\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\) (pour \(x>0\))
Exemple guidé
Exemple : Dériver \(y=\ln(\sin x)\) (où \(\sin x>0\)).
C’est une composée : l’extérieur est \(\ln(u)\), l’intérieur est \(u=\sin x\). \[ \frac{d}{dx}[\ln u]=\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx},\qquad \frac{du}{dx}=\cos x. \] Donc \[ \frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\cot x. \]
À vous
À vous 1 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}[\,e^{x^2}\,]\) ?
Indice : \((e^u)'=e^u\cdot u'\) et \(u=x^2\) a pour dérivée \(2x\).
À vous 2 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}\bigl(\ln(x^2)\bigr)\) pour \(x≠ 0\) ?
Indice : règle de la chaîne : \(\dfrac{d}{dx}[\ln u]=\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=x^2\).
Beaucoup de dérivées “difficiles” ne sont que la règle de la chaîne avec ces formules de base.
Stratégie
Stratégie rapide : choisir la bonne règle et éviter les erreurs fréquentes
Objectif d’apprentissage : Construire une liste de vérification fiable : simplifier, identifier la structure (somme/produit/quotient/composée), puis dériver avec précision.
Idée clé
La plupart des problèmes de dérivation deviennent simples si vous commencez par identifier la structure : somme/différence, multiple constant, puissance, produit, quotient ou composition. Quand c’est possible, réécrivez sous une forme plus simple : \[ \frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2},\qquad \frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}. \] Appliquez ensuite le plus petit ensemble de règles nécessaire.
Exemple guidé (réécriture astucieuse)
Exemple : Dériver \(\dfrac{1}{x}\).
Réécriture : \[ \frac{1}{x}=x^{-1}. \] Règle de la puissance : \[ \frac{d}{dx}[x^{-1}]=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}. \]
À vous
À vous 1 : Quelle est la dérivée de \(3e^x\) ?
Indice : règle du multiple constant : \(\dfrac{d}{dx}[3e^x]=3\dfrac{d}{dx}[e^x]=3e^x\).
À vous 2 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}[(\cos x)^2]\) ?
Indice : règle de la chaîne avec \(u=\cos x\) : \(\dfrac{d}{dx}[u^2]=2u u'\) et \(u'=-\sin x\).
Résumé
Identifiez toujours la structure d’abord : somme, produit, quotient ou composée.
Réécrivez quand cela aide à transformer une règle du quotient en un exercice plus simple de règle de la puissance.
La règle de la chaîne est la raison la plus fréquente d’un facteur manquant dans les réponses (la dérivée intérieure).
Vue d’ensemble
Pourquoi les dérivées sont utiles (et une vérification finale)
Objectif d’apprentissage : Relier les règles de dérivation aux applications réelles de l’analyse et terminer par une vérification finale qui combine plusieurs règles.
Où apparaissent les dérivées
Tangentes : pente en un point et approximation linéaire.
Taux de variation : vitesse, accélération, croissance/décroissance, coût marginal et recette marginale.
Optimisation : maximiser un profit, minimiser un temps, concevoir des formes efficaces.
Analyse de courbe : croissance/décroissance, concavité et tracé de graphiques.
Exemple guidé : plusieurs règles dans un même problème
Exemple : Dériver \(y=\ln(x^2)\) pour \(x≠ 0\).
Posez \(u=x^2\). Alors \(y=\ln u\). \[ y'=\frac{u'}{u}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}. \] C’est un schéma classique : règle de la chaîne + dérivée logarithmique.
À vous
À vous 1 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}[(3x-2)^4]\) ?
Indice : règle de la chaîne : extérieur \(u^4\Rightarrow 4u^3\), intérieur \(u=3x-2\Rightarrow u'=3\).
À vous 2 : Que vaut \(\dfrac{d}{dx}[\ln(\sin x)]\) (où \(\sin x>0\)) ?
Indice : \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=\sin x\) et \(u'=\cos x\).
Récapitulatif final
Règles de base : constantes \(\to 0\), puissances \(\to nx^{n-1}\), linéarité pour les sommes et les multiples constants.
Règle de la chaîne : la règle la plus fréquente dans les fonctions composées comme \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(e^{x^2}\), \(\ln(\sin x)\).
Produit/quotient : utilisez \((uv)'=u'v+uv'\) et \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) (ou simplifiez d’abord).
Trig/exp/log : mémorisez les dérivées de base, puis appliquez la règle de la chaîne quand l’entrée n’est pas seulement \(x\).
Prochaine étape : Fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et révisez la page correspondant à la règle dont vous avez besoin (règle de la puissance, règle de la chaîne, règle du produit, règle du quotient, dérivées trigonométriques, exponentielles ou logarithmiques).
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