Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Distribuciones discretas y continuas I - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de Distribuciones discretas y continuas I con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario al principio de la página para practicar las ideas centrales de distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Este tema se enfoca en los fundamentos más comunes que necesitas para estadística y probabilidad: variables aleatorias y lenguaje de distribuciones, distribuciones discretas vs. continuas, funciones de masa de probabilidad (PMF), funciones de densidad de probabilidad (PDF) y la función de distribución acumulada (CDF), la distribución binomial \(\mathrm{Bin}(n,p)\) con la fórmula binomial \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), técnicas rápidas de probabilidad como la regla del complemento, fórmulas de media y varianza como \(\mathbb{E}[X]=np\) y \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\), la distribución uniforme continua \(\mathrm{Uniform}[a,b]\) con probabilidades de intervalos, y la distribución normal \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), incluida simetría, significado del área bajo la curva y puntajes z \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\). Si quieres repasar, haz clic en Iniciar lección para abrir una guía paso a paso con ejemplos resueltos y comprobaciones rápidas.
Cómo funciona esta práctica de distribuciones
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas de distribuciones discretas y continuas al principio de la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa PMF/PDF/CDF, probabilidades binomiales, probabilidades de intervalos uniformes y simetría de la distribución normal con ejemplos claros.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y aplica de inmediato las reglas de distribuciones.
Qué aprenderás en la lección de Distribuciones discretas y continuas I
Variables aleatorias y funciones de distribución
Variables aleatorias discretas vs. continuas (contar resultados vs. medir en un intervalo)
PMF vs. PDF, por qué \(\sum p(x)=1\) y \(\int f(x)\,dx=1\), y por qué \(P(X=c)=0\) para \(X\) continua
CDF \(F(x)=P(X\le x)\) y cómo empaqueta probabilidades
Distribuciones discretas: Bernoulli y binomial
Condiciones binomiales: \(n\) fijo, ensayos independientes, dos resultados, \(p\) constante
Media y varianza: \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)
Distribución uniforme continua en \([a,b]\)
Densidad constante: \(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\) para \(a\le x\le b\)
Probabilidad de intervalo: \(P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\)
Media y varianza: \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)
Distribución normal y puntajes z
Simetría alrededor de \(\mu\): \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\) y \(P(X=\mu)=0\)
El área bajo la curva es probabilidad; el área total es \(1\)
Estandarización: \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) para usar la normal estándar \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\)
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Cuando estés listo, vuelve al cuestionario al principio de la página y sigue practicando distribuciones discretas y continuas.
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Distribuciones discretas y continuas
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Lección de Distribuciones discretas y continuas I
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Resumen de la lección
Distribuciones discretas y continuas I
Propósito: Construir una comprensión clara de distribuciones de probabilidad discretas y continuas para que puedas clasificar variables aleatorias, usar correctamente lenguaje de PMF, PDF y CDF, calcular probabilidades para distribuciones binomiales y distribuciones uniformes continuas, e interpretar la distribución normal usando simetría y puntajes z.
Criterios de éxito
Distingue variables aleatorias discretas vs. continuas.
Usa una PMF \(p(x)=P(X=x)\) para distribuciones discretas y sabe que \(\sum p(x)=1\).
Usa una PDF \(f(x)\) para distribuciones continuas y sabe que \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1\).
Explica por qué, para \(X\) continua, \(P(X=c)=0\) para cualquier valor individual \(c\).
Usa la CDF \(F(x)=P(X\le x)\) para empaquetar probabilidades.
Identifica contextos binomiales y aplica \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\).
Usa la fórmula binomial \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
Continua: toma valores en un intervalo (como tiempos, longitudes, pesos).
PMF: \(p(x)=P(X=x)\) para \(X\) discreta.
PDF: \(f(x)\ge 0\) para \(X\) continua; las probabilidades vienen de áreas.
CDF: \(F(x)=P(X\le x)\).
Valor esperado: \(\mathbb{E}[X]\), el promedio a largo plazo.
Varianza: \(\mathrm{Var}(X)\), dispersión alrededor de la media; \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Distribución binomial: cuenta éxitos en \(n\) ensayos independientes con probabilidad de éxito \(p\).
Distribución normal: distribución con forma de campana \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\); usa puntajes z para estandarizar.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: ¿Qué variable aleatoria es continua?
Pista: Las variables continuas pueden tomar cualquier valor en un intervalo (incluidos decimales).
Comprobación previa 2: Para una variable aleatoria normal estándar \(Z\), ¿cuánto es \(P(Z<0)\)?
Pista: La curva normal estándar es simétrica alrededor de \(0\).
Conceptos básicos de distribuciones
Variables aleatorias, PMF vs. PDF y CDF
Objetivo de aprendizaje: Saber cuándo sumar (discreto) y cuándo integrar (continuo), e interpretar probabilidades como áreas bajo una curva.
Idea clave
Una variable aleatoria discreta tiene una función de masa de probabilidad (PMF) \(p(x)=P(X=x)\), y las probabilidades suman: \[\sum_x p(x)=1.\] Una variable aleatoria continua tiene una función de densidad de probabilidad (PDF) \(f(x)\ge 0\), y el área total es \(1\): \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.\] Para \(X\) continua, la probabilidad viene del área: \[P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\] y cualquier punto individual tiene probabilidad \(0\): \(P(X=c)=0\).
La función de distribución acumulada (CDF) funciona en ambos casos: \[F(x)=P(X\le x).\]
Ejemplo resuelto
Ejemplo: En una distribución uniforme continua de \(0\) a \(12\), ¿cuál es la probabilidad de que un valor elegido al azar esté entre \(4\) y \(8\)?
Si \(X\sim\mathrm{Uniform}[0,12]\), entonces las probabilidades son proporcionales a la longitud del intervalo: \[P(4\le X\le 8)=\frac{8-4}{12-0}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: En una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que la variable sea exactamente igual a la media?
Pista: Una distribución normal es continua, así que cualquier punto individual tiene probabilidad \(0\).
Inténtalo 2: ¿Qué representa el área total bajo la curva de una distribución normal?
Pista: Para cualquier PDF, el área total es \(1\).
Resumen
Discreta: usa una PMF y suma probabilidades.
Continua: usa una PDF e integra para obtener áreas (probabilidades).
Distribución binomial
Ensayos de Bernoulli y distribución binomial
Objetivo de aprendizaje: Reconocer contextos binomiales y calcular probabilidades con la fórmula binomial y la regla del complemento.
Idea clave
Una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución binomial, escrita \(X\sim \mathrm{Bin}(n,p)\), cuando:
Hay un número fijo de ensayos \(n\).
Cada ensayo es independiente.
Cada ensayo tiene dos resultados (éxito/fracaso).
La probabilidad de éxito es constante, \(p\).
La probabilidad de exactamente \(k\) éxitos es: \[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n.\]
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(X\sim\mathrm{Bin}(n=2,p=0.5)\). ¿Cuánto es \(P(X \ge 1)\)?
Usa la regla del complemento: \[P(X\ge 1)=1-P(X=0).\] Calcula \(P(X=0)\): \[P(X=0)=\binom{2}{0}(0.5)^0(0.5)^2=(0.5)^2=\frac{1}{4}.\] Entonces: \[P(X\ge 1)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Se lanza una moneda justa \(5\) veces. ¿Qué expresión da la probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras?
Pista: Usa \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) con \(n=5\), \(k=3\), \(p=\tfrac12\).
Inténtalo 2: ¿Qué información se debe conocer para usar la fórmula binomial?
Pista: Las probabilidades binomiales dependen del número de ensayos \(n\), la probabilidad de éxito \(p\) y el conteo objetivo \(k\).
Resumen
Modelo binomial: \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\) para contar éxitos en ensayos de Bernoulli independientes.
La regla del complemento es rápida para "al menos uno": \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)\).
Media y varianza binomial
Media, varianza y atajos rápidos de probabilidad binomial
Objetivo de aprendizaje: Usar \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\) y probabilidades con atajos simples como \(P(X=0)\) y "al menos cero".
Idea clave
Para \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\), la media y la varianza son: \[\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).\] Dos atajos comunes:
Cero éxitos: \(P(X=0)=(1-p)^n\).
Al menos cero éxitos: \(P(X\ge 0)=1\), porque el conteo mínimo posible es \(0\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(X\sim\mathrm{Bin}(n=5,p=0.5)\), ¿cuánto es \(P(X=0)\)?
Cero éxitos significa que cada ensayo es fracaso: \[P(X=0)=(1-0.5)^5=(0.5)^5=\frac{1}{32}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Sea \(X\sim\mathrm{Bin}(10,0.3)\). ¿Cuánto es \(\mathrm{Var}(X)\)?
Pista: \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=10(0.3)(0.7)\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos cero éxitos en una distribución binomial?
Pista: Un conteo binomial \(X\) nunca puede ser negativo, así que \(X\ge 0\) siempre ocurre.
Resumen
Media binomial: \(\mathbb{E}[X]=np\).
Varianza binomial: \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Datos rápidos: \(P(X=0)=(1-p)^n\) y \(P(X\ge 0)=1\).
Distribución uniforme
Distribución uniforme continua en \([a,b]\)
Objetivo de aprendizaje: Calcular probabilidades uniformes rápidamente usando longitudes de intervalos y conocer las fórmulas clave de media/varianza.
Idea clave
Si \(X\sim \mathrm{Uniform}[a,b]\), entonces todos los valores en \([a,b]\) son igualmente probables en el sentido de que la densidad es constante: \[f(x)=\frac{1}{b-a}\quad \text{para } a\le x\le b.\] Las probabilidades son proporcionales a la longitud del intervalo: \[P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}\quad (a\le c\le d\le b).\]
Valor mínimo posible: \(a\)
Valor máximo posible: \(b\)
Media: \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}\)
Varianza: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)
Ejemplo resuelto
Ejemplo: En una distribución uniforme continua en \([0,10]\), ¿cuál es la probabilidad de que un valor aleatorio esté entre \(2\) y \(4\)?
Usa la razón de longitudes: \[P(2\le X\le 4)=\frac{4-2}{10-0}=\frac{2}{10}=0.2.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Si se elige un valor al azar de \([a,b]\), ¿cuál es la probabilidad de que esté en la primera mitad del intervalo?
Pista: Cada mitad tiene la misma longitud, así que cada mitad tiene probabilidad \(\tfrac12\).
Inténtalo 2: Sea \(X\sim\mathrm{Uniform}[2,8]\). ¿Cuánto es \(\mathrm{Var}(X)\)?
Distribución normal: simetría, media y desviación estándar
Objetivo de aprendizaje: Interpretar correctamente la curva normal: las probabilidades son áreas, y la simetría da respuestas rápidas sobre la media.
Idea clave
Una variable aleatoria normal se escribe \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). La curva es simétrica alrededor de \(\mu\), y en una distribución normal:
Media = mediana = moda \(=\mu\).
El área total bajo la curva es \(1\).
Por simetría: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\).
Como es continua: \(P(X=\mu)=0\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: En una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que un valor sea menor que la media?
La curva normal es simétrica alrededor de la media \(\mu\), así que exactamente la mitad del área queda a la izquierda: \[P(X<\mu)=\frac{1}{2}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: En una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que un valor esté por encima de la media?
Pista: La simetría alrededor de \(\mu\) divide el área en dos mitades iguales.
Inténtalo 2: Si aumenta la desviación estándar de una distribución normal, ¿qué pasa con la forma de la curva?
Pista: Una \(\sigma\) mayor dispersa más los valores, así que el pico debe bajar para mantener el área total \(1\).
Resumen
Las distribuciones normales son simétricas alrededor de \(\mu\), así que la mitad de la probabilidad está en cada lado.
Aumentar \(\sigma\) hace que la curva sea más ancha y plana (pero el área total sigue siendo \(1\)).
Puntajes z
Distribución normal estándar y puntajes z
Objetivo de aprendizaje: Convertir valores normales en puntajes z para poder usar probabilidades normales estándar.
Idea clave
Si \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), estandarizamos con el puntaje z: \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.\] La variable estandarizada satisface \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\). Esto te permite usar la CDF normal estándar \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), la simetría \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) y tablas z o calculadoras.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Supón que \(X\sim\mathcal{N}(50,4^2)\). Encuentra \(P(X<54)\).
Calcula el puntaje z: \[z=\frac{54-50}{4}=1.\] Entonces \[P(X<54)=P(Z<1)=\Phi(1)\approx 0.8413.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(x=\mu+2\sigma\), ¿cuál es el puntaje z \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)?
Pista: Sustituye \(x=\mu+2\sigma\) en \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\).
Inténtalo 2: Para una variable aleatoria normal estándar \(Z\), ¿cuál es la mediana?
Pista: Para \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\), la curva es simétrica alrededor de \(0\), así que la mediana es \(0\).
Resumen
Estandariza con \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\).
La distribución normal estándar está centrada en \(0\), así que su mediana es \(0\).
Aplicaciones y panorama general
Elegir la distribución correcta y practicar preguntas mixtas
Objetivo de aprendizaje: Elegir un modelo de distribución apropiado (binomial vs. uniforme vs. normal) y terminar con una comprobación final.
Dónde aparecen estas distribuciones
Binomial: control de calidad (aprobado/fallido), pruebas A/B (conversión) y ensayos repetidos con probabilidad de éxito \(p\).
Uniforme: selección aleatoria sobre un intervalo (un tiempo, posición o rango de medición aleatorio).
Normal: error de medición, estaturas, puntajes de exámenes y muchas variaciones naturales con "forma de campana".
Ejemplo resuelto: probabilidad uniforme en \([0,9]\)
Ejemplo: Se elige un valor al azar de \([0,9]\). ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que \(6\)?
Para \(X\sim\mathrm{Uniform}[0,9]\), \[P(X>6)=\frac{9-6}{9-0}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Se elige un valor al azar de \([0,9]\). ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que \(6\)?
Pista: Para uniforme en \([0,9]\), la probabilidad es la razón de longitudes \(\dfrac{9-6}{9-0}\).
Inténtalo 2: ¿Qué afirmación es verdadera sobre una distribución uniforme continua en \([a,b]\)?
Pista: Uniforme significa densidad constante en \([a,b]\), y las distribuciones continuas tienen \(P(X=c)=0\) para cualquier punto individual.
Repaso final
Discreta vs. continua: discreta usa una PMF (sumas); continua usa una PDF (áreas/integrales).
Simetría normal: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\) y \(P(X=\mu)=0\).
Puntajes z: \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) para usar probabilidades normales estándar.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con la habilidad de distribuciones que necesitas.
Racha 5+
Racha 10+
Racha 15+
Racha 20+
Racha 25+