विच्छिन्न एवं सतत वितरण I अभ्यास प्रश्न, क्विज़ और चरण-दर-चरण पाठ - केंद्रित प्रश्नों और स्पष्ट स्पष्टीकरणों से अपनी गणित क्षमता सुधारें।

यादृच्छिक चर, PMF बनाम. PDF, और CDF

मुख्य विचार

विविक्त यादृच्छिक चर के पास प्रायिकता mass फलन (PMF) \(p(x)=P(X=x)\) होता है, और प्रायिकताएँ जुड़ती हैं: \[\sum_x p(x)=1.\] सतत यादृच्छिक चर के पास प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) \(f(x)\ge 0\) होता है, और कुल क्षेत्रफल \(1\) है: \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.\] सतत \(X\) के लिए प्रायिकता क्षेत्रफल से आती है: \[P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\] और किसी भी single बिंदु की प्रायिकता \(0\) है: \(P(X=c)=0\)।

cumulative वितरण फलन (CDF) दोनों cases में काम करता है: \[F(x)=P(X\le x).\]

हल किया हुआ उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• विविक्त: PMF उपयोग करें और प्रायिकताएँ को योग करें।
• सतत: PDF उपयोग करें और क्षेत्रफल (प्रायिकताएँ) पाने के लिए integrate करें।

Bernoulli प्रयास और द्विपद वितरण

मुख्य विचार

यादृच्छिक चर \(X\) द्विपद वितरण का पालन करता है, \(X\sim \mathrm{Bin}(n,p)\), जब:

• Trials की संख्या fixed \(n\) हो।
• हर प्रयास स्वतंत्र हो।
• हर प्रयास में दो परिणाम हों (सफलता/failure)।
• सफलता की प्रायिकता स्थिरांक \(p\) हो।

ठीक \(k\) successes की प्रायिकता है: \[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n.\]

हल किया हुआ उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• द्विपद मॉडल: \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\), स्वतंत्र Bernoulli प्रयास में successes गिनने के लिए।
• द्विपद सूत्र: \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)।
• "पर least एक" के लिए पूरक नियम तेज़ है: \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)\)।

माध्य, प्रसरण, और तेज़ द्विपद प्रायिकता छोटा तरीकाs

मुख्य विचार

\(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\) के लिए माध्य और प्रसरण हैं: \[\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).\] दो सामान्य छोटा तरीकाs:

• शून्य successes: \(P(X=0)=(1-p)^n\)।
• At least शून्य successes: \(P(X\ge 0)=1\) क्योंकि सबसे छोटा possible गिनती \(0\) है।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• द्विपद माध्य: \(\mathbb{E}[X]=np\)।
• द्विपद प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)।
• द्विघातick तथ्य: \(P(X=0)=(1-p)^n\) और \(P(X\ge 0)=1\)।

\([a,b]\) पर सतत समान वितरण

मुख्य विचार

यदि \(X\sim \mathrm{Uniform}[a,b]\), तो \([a,b]\) में हर मान equally संभावित है इस अर्थ में कि घनत्व स्थिरांक है: \[f(x)=\frac{1}{b-a}\quad \text{for } a\le x\le b.\] प्रायिकताएँ अंतराल लंबाई के समानुपाती हैं: \[P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}\quad (a\le c\le d\le b).\]

• सबसे छोटा possible मान: \(a\)
• सबसे बड़ा possible मान: \(b\)
• माध्य: \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}\)
• प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• समान PDF: \([a,b]\) पर \(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\)।
• समान प्रायिकता: \(P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\)।
• समान प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)।

सामान्य वितरण: सममिति, माध्य, और मानक विचलन

मुख्य विचार

सामान्य यादृच्छिक चर \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) लिखा जाता है। वक्र \(\mu\) के बारे में सममित है, और सामान्य वितरण के लिए:

• माध्य = माध्यिका = मोड \(=\mu\)।
• वक्र के नीचे कुल क्षेत्रफल \(1\) है।
• सममिति से: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\)।
• क्योंकि यह सतत है: \(P(X=\mu)=0\)।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• सामान्य वितरण \(\mu\) के बारे में सममित होते हैं, इसलिए प्रायिकता का आधा हिस्सा प्रत्येक ओर होता है।
• \(\sigma\) बढ़ाने से वक्र चौड़ी और flatter होती है (लेकिन कुल क्षेत्रफल \(1\) रहता है)।

मानक सामान्य वितरण और z-स्कोर

मुख्य विचार

यदि \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), तो हम z-स्कोर से standardize करते हैं: \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.\] Standardized चर \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\) होता है। इससे आप मानक सामान्य CDF \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), सममिति \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\), और z-tables या कैलकुलेटरs उपयोग कर सकते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) से standardize करें।
• मानक सामान्य वितरण \(0\) पर सेंटered है, इसलिए उसका माध्यिका \(0\) है।

सही वितरण चुनना और मिश्रित प्रश्न का अभ्यास

ये वितरण कहाँ दिखाई देते हैं

• द्विपद: quality control (pass/विफल होना), A/B परीक्षण (रूपांतरण), और सफलता प्रायिकता \(p\) वाले दोहराया हुआ प्रयास।
• समान: किसी अंतराल पर यादृच्छिक selection (यादृच्छिक समय, स्थिति, या मापment परास)।
• सामान्य: मापment त्रुटि, ights, परीक्षण स्कोरs, और कई प्राकृतिक "bell-shaped" variations।

हल किया हुआ उदाहरण: \([0,9]\) पर समान प्रायिकता

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अंतिम सारांश

• विविक्त बनाम. सतत: विविक्त PMF (योग) उपयोग करता है; सतत PDF (क्षेत्रफल/समाकल) उपयोग करता है।
• द्विपद: \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)।
• समान: \(P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)।
• सामान्य सममिति: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\) और \(P(X=\mu)=0\)।
• Z-स्कोरs: मानक सामान्य प्रायिकताएँ उपयोग करने के लिए \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)।