Distributions discrètes et continues I : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les lois discrètes et continues I avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour travailler les idées essentielles des lois de probabilité discrètes et continues. Ce thème reprend les bases les plus fréquentes en statistiques et probabilités : les variables aléatoires et le vocabulaire des lois, les lois discrètes et continues, les fonctions de masse de probabilité (PMF), les fonctions de densité de probabilité (PDF) et la fonction de répartition (CDF), la loi binomiale \(\mathrm{Bin}(n,p)\) avec la formule binomiale \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), des techniques rapides comme la règle du complément, les formules d’espérance et de variance telles que \(\mathbb{E}[X]=np\) et \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\), la loi uniforme continue \(\mathrm{Uniform}[a,b]\) avec les probabilités d’intervalle, et la loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), avec la symétrie, le sens de l’aire sous la courbe et les scores z \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\). Pour revoir la méthode, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide étape par étape avec des exemples guidés et de courtes vérifications.
Comment fonctionne cet entraînement sur les lois
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les lois discrètes et continues en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultatif) : revoyez PMF/PDF/CDF, les probabilités binomiales, les probabilités d’intervalle pour la loi uniforme et la symétrie de la loi normale avec des exemples clairs.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement les règles sur les lois de probabilité.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon Lois discrètes et continues I
Variables aléatoires et fonctions de loi
Variables aléatoires discrètes ou continues (compter des issues ou mesurer sur un intervalle)
PMF ou PDF, pourquoi \(\sum p(x)=1\) et \(\int f(x)\,dx=1\), et pourquoi \(P(X=c)=0\) pour une variable continue \(X\)
CDF \(F(x)=P(X\le x)\) et la façon dont elle regroupe les probabilités
Espérance et variance : \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)
Loi normale et scores z
Symétrie autour de \(\mu\) : \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\) et \(P(X=\mu)=0\)
L’aire sous la courbe représente une probabilité ; l’aire totale vaut \(1\)
Standardisation : \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) pour utiliser la loi normale centrée réduite \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\)
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Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur les lois discrètes et continues.
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Lois discrètes et continues
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Leçon Lois discrètes et continues I
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Vue d’ensemble de la leçon
Lois discrètes et continues I
Objectif : Construire une compréhension claire des lois de probabilité discrètes et continues afin de classer les variables aléatoires, d’utiliser correctement le vocabulaire PMF, PDF et CDF, de calculer des probabilités pour les lois binomiales et les lois uniformes continues, et d’interpréter la loi normale grâce à la symétrie et aux scores z.
Critères de réussite
Distinguer les variables aléatoires discrètes et continues.
Utiliser une PMF \(p(x)=P(X=x)\) pour les lois discrètes et savoir que \(\sum p(x)=1\).
Utiliser une PDF \(f(x)\) pour les lois continues et savoir que \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1\).
Expliquer pourquoi, pour une variable continue \(X\), \(P(X=c)=0\) pour toute valeur isolée \(c\).
Utiliser la CDF \(F(x)=P(X\le x)\) pour regrouper les probabilités.
Reconnaître les situations binomiales et appliquer \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\).
Utiliser la formule binomiale \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
Calculer les moments binomiaux : \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Calculer les probabilités et les moments de la loi uniforme : \(P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\).
Utiliser la symétrie normale : \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\), et standardiser avec \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\).
Vocabulaire essentiel
Variable aléatoire : variable numérique dont la valeur dépend du hasard.
Discrète : prend des valeurs dénombrables (comme \(0,1,2,\dots\)).
Continuer : prend des valeurs sur un intervalle (comme des durées, des longueurs, des masses).
PMF : \(p(x)=P(X=x)\) pour une variable discrète \(X\).
PDF : \(f(x)\ge 0\) pour une variable continue \(X\) ; les probabilités viennent des aires.
CDF : \(F(x)=P(X\le x)\).
Espérance : \(\mathbb{E}[X]\), la moyenne à long terme.
Variance : \(\mathrm{Var}(X)\), la dispersion autour de la moyenne ; \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Loi binomiale : compte les succès dans \(n\) essais indépendants avec une probabilité de succès \(p\).
Loi normale : loi en forme de cloche \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) ; on utilise les scores z pour standardiser.
Vérification préalable rapide
Vérification préalable 1 : Quelle variable aléatoire est continue ?
Indice : une variable continue peut prendre n’importe quelle valeur sur un intervalle, y compris des valeurs décimales.
Vérification préalable 2 : Pour une variable aléatoire normale centrée réduite \(Z\), que vaut \(P(Z<0)\) ?
Indice : la courbe normale centrée réduite est symétrique autour de \(0\).
Bases des lois
Variables aléatoires, PMF ou PDF, et CDF
Objectif d’apprentissage : savoir quand additionner (discret) et quand intégrer (continu), et interpréter les probabilités comme des aires sous une courbe.
Idée clé
Une variable aléatoire discrète possède une fonction de masse de probabilité (PMF) \(p(x)=P(X=x)\), et les probabilités s’additionnent : \[\sum_x p(x)=1.\] Une variable aléatoire continue possède une fonction de densité de probabilité (PDF) \(f(x)\ge 0\), et l’aire totale vaut \(1\) : \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.\] Pour une variable continue \(X\), la probabilité vient d’une aire : \[P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\] et tout point isolé a une probabilité \(0\) : \(P(X=c)=0\).
La fonction de répartition (CDF) fonctionne dans les deux cas : \[F(x)=P(X\le x).\]
Exemple guidé
Exemple : Dans une loi uniforme continue de \(0\) à \(12\), quelle est la probabilité qu’une valeur choisie au hasard soit comprise entre \(4\) et \(8\) ?
Si \(X\sim\mathrm{Uniform}[0,12]\), alors les probabilités sont proportionnelles à la longueur de l’intervalle : \[P(4\le X\le 8)=\frac{8-4}{12-0}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.\]
À vous
À vous 1 : Dans une loi normale, quelle est la probabilité que la variable soit exactement égale à la moyenne ?
Indice : une loi normale est continue, donc tout point isolé a une probabilité \(0\).
À vous 2 : Que représente l’aire totale sous la courbe d’une loi normale ?
Indice : pour toute PDF, l’aire totale vaut \(1\).
Résumé
Discret : utiliser une PMF et additionner les probabilités.
Continu : utiliser une PDF et intégrer pour obtenir des aires (probabilités).
Loi binomiale
Essais de Bernoulli et loi binomiale
Objectif d’apprentissage : reconnaître les situations binomiales et calculer les probabilités avec la formule binomiale et la règle du complément.
Idée clé
Une variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale, notée \(X\sim \mathrm{Bin}(n,p)\), lorsque :
Le nombre d’essais \(n\) est fixé.
Chaque essai est indépendant.
Chaque essai a deux issues (succès/échec).
La probabilité de succès est constante, \(p\).
La probabilité d’obtenir exactement \(k\) succès est : \[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n.\]
Exemple guidé
Exemple : Soit \(X\sim\mathrm{Bin}(n=2,p=0.5)\). Que vaut \(P(X \ge 1)\) ?
Utilisons la règle du complément : \[P(X\ge 1)=1-P(X=0).\] Calculons \(P(X=0)\) : \[P(X=0)=\binom{2}{0}(0.5)^0(0.5)^2=(0.5)^2=\frac{1}{4}.\] Donc : \[P(X\ge 1)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.\]
À vous
À vous 1 : On lance une pièce équilibrée \(5\) fois. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement \(3\) piles ?
Indice : utilisez \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) avec \(n=5\), \(k=3\), \(p=\tfrac12\).
À vous 2 : Quelles informations faut-il connaître pour utiliser la formule binomiale ?
Indice : les probabilités binomiales dépendent du nombre d’essais \(n\), de la probabilité de succès \(p\) et du nombre visé \(k\).
Résumé
Modèle binomial : \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\) pour compter les succès dans des essais de Bernoulli indépendants.
Formule binomiale : \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
La règle du complément est rapide pour « au moins un » : \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)\).
Moyenne et variance binomiales
Moyenne, variance et raccourcis de probabilité binomiale
Objectif d’apprentissage : utiliser \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\) et des probabilités rapides comme \(P(X=0)\) et « au moins zéro ».
Idée clé
Pour \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\), la moyenne et la variance sont : \[\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).\] Deux raccourcis fréquents :
Zéro succès : \(P(X=0)=(1-p)^n\).
Au moins zéro succès : \(P(X\ge 0)=1\), car le plus petit nombre possible est \(0\).
Exemple guidé
Exemple : Pour \(X\sim\mathrm{Bin}(n=5,p=0.5)\), que vaut \(P(X=0)\) ?
Zéro succès signifie que chaque essai est un échec : \[P(X=0)=(1-0.5)^5=(0.5)^5=\frac{1}{32}.\]
À vous
À vous 1 : Soit \(X\sim\mathrm{Bin}(10,0.3)\). Que vaut \(\mathrm{Var}(X)\) ?
À vous 2 : Quelle est la probabilité d’obtenir au moins zéro succès dans une loi binomiale ?
Indice : un comptage binomial \(X\) ne peut jamais être négatif, donc \(X\ge 0\) se produit toujours.
Résumé
Moyenne binomiale : \(\mathbb{E}[X]=np\).
Variance binomiale : \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Faits rapides : \(P(X=0)=(1-p)^n\) et \(P(X\ge 0)=1\).
Loi uniforme
Loi uniforme continue sur \([a,b]\)
Objectif d’apprentissage : calculer rapidement les probabilités uniformes avec les longueurs d’intervalles et connaître les formules clés de moyenne et de variance.
Idée clé
Si \(X\sim \mathrm{Uniform}[a,b]\), alors toutes les valeurs de \([a,b]\) sont également probables au sens où la densité est constante : \[f(x)=\frac{1}{b-a}\quad \text{for } a\le x\le b.\] Les probabilités sont proportionnelles à la longueur de l’intervalle : \[P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}\quad (a\le c\le d\le b).\]
Objectif d’apprentissage : interpréter correctement la courbe normale : les probabilités sont des aires, et la symétrie donne des réponses rapides autour de la moyenne.
Idée clé
Une variable aléatoire normale se note \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). La courbe est symétrique autour de \(\mu\), et pour une loi normale :
Moyenne = médiane = mode \(=\mu\).
L’aire totale sous la courbe vaut \(1\).
Par symétrie : \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\).
Comme elle est continue : \(P(X=\mu)=0\).
Exemple guidé
Exemple : Dans une loi normale, quelle est la probabilité qu’une valeur soit inférieure à la moyenne ?
La courbe normale est symétrique autour de la moyenne \(\mu\), donc exactement la moitié de l’aire se trouve à gauche : \[P(X<\mu)=\frac{1}{2}.\]
À vous
À vous 1 : Dans une loi normale, quelle est la probabilité qu’une valeur soit au-dessus de la moyenne ?
Indice : la symétrie autour de \(\mu\) partage l’aire en deux moitiés égales.
À vous 2 : Si l’écart-type d’une loi normale augmente, que devient la forme de la courbe ?
Indice : un \(\sigma\) plus grand disperse davantage les valeurs ; le pic doit donc baisser pour garder une aire totale égale à \(1\).
Résumé
Les lois normales sont symétriques autour de \(\mu\), donc la moitié de la probabilité se trouve de chaque côté.
Augmenter \(\sigma\) rend la courbe plus large et plus plate, mais l’aire totale reste \(1\).
Scores z
Loi normale centrée réduite et scores z
Objectif d’apprentissage : transformer des valeurs normales en scores z afin d’utiliser les probabilités de la loi normale centrée réduite.
Idée clé
Si \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), on standardise avec le score z : \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.\] La variable standardisée vérifie \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\). Cela permet d’utiliser la CDF normale centrée réduite \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), la symétrie \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\), ainsi que des tables ou des calculatrices.
Exemple guidé
Exemple : Supposons que \(X\sim\mathcal{N}(50,4^2)\). Trouver \(P(X<54)\).
Calculons le score z : \[z=\frac{54-50}{4}=1.\] Donc \[P(X<54)=P(Z<1)=\Phi(1)\approx 0.8413.\]
À vous
À vous 1 : Si \(x=\mu+2\sigma\), quel est le score z \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) ?
Indice : remplacez \(x\) par \(\mu+2\sigma\) dans \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\).
À vous 2 : Pour une variable aléatoire normale centrée réduite \(Z\), quelle est la médiane ?
Indice : pour \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\), la courbe est symétrique autour de \(0\), donc la médiane est \(0\).
Résumé
Standardiser avec \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\).
La loi normale centrée réduite est centrée en \(0\), donc sa médiane est \(0\).
Applications et vue d’ensemble
Choisir la bonne loi et s’entraîner avec des questions mixtes
Objectif d’apprentissage : choisir un modèle de loi adapté (binomiale, uniforme ou normale) et terminer par une vérification finale.
Où ces lois apparaissent
Binomiale : contrôle qualité (réussite/échec), tests A/B (conversion) et essais répétés avec probabilité de succès \(p\).
Uniforme : choix aléatoire sur un intervalle (temps, position ou plage de mesure).
Normale : erreurs de mesure, tailles, notes de test et nombreuses variations naturelles en forme de cloche.
Exemple guidé : probabilité uniforme sur \([0,9]\)
Exemple : Une valeur est choisie au hasard dans \([0,9]\). Quelle est la probabilité qu’elle soit supérieure à \(6\) ?
Pour \(X\sim\mathrm{Uniform}[0,9]\), \[P(X>6)=\frac{9-6}{9-0}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\]
À vous
À vous 1 : Une valeur est choisie au hasard dans \([0,9]\). Quelle est la probabilité qu’elle soit supérieure à \(6\) ?
Indice : pour une loi uniforme sur \([0,9]\), la probabilité est le rapport de longueurs \(\dfrac{9-6}{9-0}\).
À vous 2 : Quelle affirmation est vraie pour une loi uniforme continue sur \([a,b]\) ?
Indice : uniforme signifie densité constante sur \([a,b]\), et les lois continues ont \(P(X=c)=0\) pour tout point isolé.
Récapitulatif final
Discret ou continu : le discret utilise une PMF (sommes) ; le continu utilise une PDF (aires/intégrales).
Symétrie normale : \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\) et \(P(X=\mu)=0\).
Scores z : \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) pour utiliser les probabilités de la loi normale centrée réduite.
Prochaine étape : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et revoyez la page qui correspond à la compétence sur les lois dont vous avez besoin.
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