Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Valor esperado y varianza - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de valor esperado y varianza con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario de la parte superior de la página para practicar valor esperado y varianza en probabilidad y estadística: calcular la media (valor esperado) de una variable aleatoria discreta con \(E[X]=\sum x\,p(x)\), usar la identidad rápida de varianza \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\), interpretar la desviación estándar como dispersión y aplicar reglas centrales como la linealidad de la esperanza \(E[aX+b]=aE[X]+b\) y la regla de escala \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). Si quieres repasar con ejemplos resueltos (dados, monedas, ruletas y distribuciones pequeñas), haz clic en Iniciar lección.
Cómo funciona esta práctica de valor esperado y varianza
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas de valor esperado y varianza al principio de la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa fórmulas, atajos y distribuciones de probabilidad comunes con ejemplos paso a paso.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y aplica de inmediato las reglas de \(E[X]\) y \(\mathrm{Var}(X)\).
Lo que aprenderás en la lección de valor esperado y varianza
Elementos esenciales del valor esperado (media)
Valor esperado discreto: \(E[X]=\sum x\,p(x)\)
Interpretación: promedio a largo plazo y “precio justo” de un juego
Linealidad: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (funciona incluso sin independencia)
Varianza y desviación estándar
Definición de varianza: \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\)
Uniforme en \([0,1]\): \(E[X]=\tfrac12\), \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{12}\)
Ejemplo rápido: Un dado justo de seis caras tiene resultados \(1,2,3,4,5,6\). El valor esperado es
\[
E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
\]
El valor esperado no es “el lanzamiento más probable”: es el promedio a largo plazo. La varianza mide qué tan dispersos están los resultados alrededor de la media.
Volver al cuestionario
Cuando estés listo, regresa al cuestionario de la parte superior de la página y sigue practicando valor esperado, varianza y desviación estándar.
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Valor esperado y varianza
Guía paso a paso
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Lección de valor esperado y varianza
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Resumen de la lección
Resumen de la lección
Propósito: Construir una comprensión clara y confiable del valor esperado (media) y la varianza (dispersión) para que puedas calcular \(E[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\) y desviación estándar de forma rápida y correcta para distribuciones de probabilidad comunes.
Criterios de éxito
Calcular valor esperado para una variable aleatoria discreta usando \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Usar la linealidad de la esperanza (incluyendo \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\)).
Calcular varianza usando \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\) y el atajo \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\).
Convertir entre varianza y desviación estándar: \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Aplicar reglas clave: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) y (si son independientes) \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
Manejar contextos clásicos: dados, monedas, ruletas y tablas pequeñas de pagos.
Vocabulario clave
Variable aleatoria: un resultado numérico producido por el azar (como número de caras, lanzamiento de dado o pago).
Valor esperado (media): \(E[X]\), el valor promedio de \(X\) a largo plazo.
Varianza: \(\mathrm{Var}(X)\), la distancia cuadrática promedio desde la media.
Desviación estándar: \(\sigma\), la raíz cuadrada de la varianza, medida en las mismas unidades que \(X\).
Distribución de probabilidad: la lista (o regla) de valores posibles y sus probabilidades.
Comprobación rápida previo
Chequeo previo 1: ¿Cuál es el valor esperado de lanzar un dado justo de seis caras?
Pista: Para un dado justo, \(E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\).
Chequeo previo 2: Sea \(X\) una variable que toma valores \(1\) y \(3\), cada uno con probabilidad \(1/2\). ¿Cuál es \(\mathrm{Var}(X)\)?
Pista: Primero halla \(\mu=E[X]\), luego calcula \(E[(X-\mu)^2]\).
Fundamentos del valor esperado
Valor esperado: el promedio ponderado
Objetivo de aprendizaje: Calcular valor esperado desde una tabla de probabilidades e interpretarlo como media a largo plazo.
Idea clave
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles \(x_1,x_2,\dots\) y probabilidades \(p(x_1),p(x_2),\dots\), el valor esperado es el promedio ponderado: \[ E[X] = \sum_x x\,p(x). \] Piensa: "multiplica cada resultado por qué tan seguido ocurre y luego suma".
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Una bolsa contiene \(\{0,5\}\) con la misma probabilidad. ¿Cuál es el valor esperado de extraer?
Cada valor tiene probabilidad \(1/2\). Entonces: \[ E[X] = 0\cdot \frac12 + 5\cdot \frac12 = 2.5. \] El resultado medio es \(2.5\), aunque \(2.5\) no sea un resultado que puedas extraer.
Inténtalo
Inténtalo 1: Un dado justo de tres caras tiene caras \(1,2,3\). ¿Cuál es el valor esperado?
Pista: \(E[X]=\dfrac{1+2+3}{3}\).
Inténtalo 2: \(X\) toma valores \(10, 20, 30\) con probabilidades \(0.2, 0.3, 0.5\). ¿Cuál es \(E[X]\)?
Pista: Multiplica cada valor por su probabilidad y suma: \(10(0.2)+20(0.3)+30(0.5)\).
Resumen
El valor esperado es un promedio ponderado: \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Representa la media a largo plazo, no necesariamente un valor que puedas observar en un solo ensayo.
Linealidad y sumas
Linealidad de la esperanza: tu mejor atajo
Objetivo de aprendizaje: Usar la linealidad para calcular rápidamente valores esperados de sumas y variables escaladas.
Idea clave
La linealidad de la esperanza funciona siempre: \[ E[aX+b]=aE[X]+b,\quad E[X+Y]=E[X]+E[Y]. \] No necesitas independencia para que los valores esperados se sumen.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Cuál es el número esperado de caras en 2 lanzamientos de una moneda justa?
Sea \(X\) el número de caras en 2 lanzamientos. Piensa en \(X\) como una suma: \[ X = I_1 + I_2, \] donde \(I_k=1\) si el lanzamiento \(k\) es cara y \(0\) en otro caso. Para una moneda justa, \(E[I_k]=0.5\). Entonces: \[ E[X]=E[I_1]+E[I_2]=0.5+0.5=1. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la suma esperada al lanzar dos dados justos de seis caras?
Pista: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) y cada dado tiene media \(3.5\).
Inténtalo 2: Una lotería paga \(3\) con probabilidad \(\tfrac13\) y \(0\) en otro caso. ¿Cuál es el valor esperado?
Sumas: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (no se requiere independencia).
Fundamentos de varianza
Varianza: medir dispersión alrededor de la media
Objetivo de aprendizaje: Calcular varianza usando la definición y la identidad rápida \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
Idea clave
Si \(\mu=E[X]\), entonces: \[ \mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]. \] El atajo más útil es: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2. \] Esto evita expandir \((X-\mu)^2\) para cada resultado.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Una bolsa contiene \(\{2,4,6\}\) con la misma probabilidad. ¿Cuál es la varianza?
Objetivo de aprendizaje: Aplicar correctamente reglas de varianza y saber cuándo importa la independencia.
Idea clave
Dos reglas esenciales: \[ \mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X), \] y para sumas: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). \] Si \(X\) e \(Y\) son independientes, entonces \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) y las varianzas se suman: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). \]
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Cuál es la varianza del número de caras en dos lanzamientos de moneda justa?
Si \(X\sim \text{Binomial}(n=2,p=0.5)\), entonces: \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=2(0.5)(0.5)=0.5. \] Esto coincide con la idea de que los conteos de caras varían, pero no de forma extrema, en 2 lanzamientos.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(\mathrm{Var}(X)=9\), ¿cuál es \(\mathrm{Var}(2X-5)\)?
Pista: Usa \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). El "\(-5\)" no cambia la varianza.
Inténtalo 2: Sean \(X\) e \(Y\) independientes con \(\mathrm{Var}(X)=2\) y \(\mathrm{Var}(Y)=3\). ¿Cuál es \(\mathrm{Var}(X+Y)\)?
Pista: La independencia hace que la covarianza sea \(0\), así que las varianzas se suman.
Resumen
Trasladar no cambia la varianza; escalar por \(a\) multiplica la varianza por \(a^2\).
Para sumas independientes, suma varianzas.
Distribuciones comunes
Distribuciones comunes y fórmulas más rápidas
Objetivo de aprendizaje: Reconocer modelos estándar (Bernoulli, Binomial, Uniforme) y usar sus fórmulas de media/varianza.
Idea clave
Algunas distribuciones aparecen en todas partes:
Bernoulli(\(p\)) (un ensayo, \(X\in\{0,1\}\)): \(E[X]=p\), \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\).
Binomial(\(n,p\)) (suma de \(n\) ensayos Bernoulli independientes): \(E[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Inténtalo 1: Una bolsa contiene \(\{1,10\}\) con la misma probabilidad. ¿Cuál es el valor esperado de extraer?
Pista: Promedia los dos valores: \(\frac{1+10}{2}\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la varianza de extraer de \(\{1,4,7\}\) con la misma probabilidad?
Pista: La media es \(4\). Calcula \(E[X^2]=\frac{1^2+4^2+7^2}{3}\), luego resta \(4^2\).
Resumen
Usa \(E[X]\) como promedio ponderado para hallar rápidamente la media.
Usa \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) para varianza rápida.
Aplicaciones y panorama general
Por qué importan el valor esperado y la varianza
Objetivo de aprendizaje: Conectar media y dispersión con la toma de decisiones y terminar con una comprobación final.
Dónde aparecen estas ideas
Juegos y justicia: el valor esperado te dice una cuota de entrada justa; la varianza te dice el riesgo.
Estadística: media y varianza resumen distribuciones y sostienen intervalos de confianza.
Datos y simulación: las estimaciones Monte Carlo dependen del valor esperado y miden el error con varianza.
Finanzas y planificación: rendimiento promedio vs. volatilidad (dispersión) es una historia de media/varianza.
Ejemplo resuelto: un juego simple de ganancia
Ejemplo: Un juego paga \(+2\) con probabilidad \(0.4\) y \(-1\) con probabilidad \(0.6\). ¿Cuál es la ganancia esperada?
\[ E[X] = 2(0.4)+(-1)(0.6)=0.8-0.6=0.2. \] Un valor esperado positivo significa que el juego es favorable en promedio, aunque puedas perder en una sola jugada.
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la varianza de ese dado sesgado (valores \(1\) o \(2\) con la misma probabilidad)?
Pista: \(\mu=\frac{1+2}{2}=1.5\). Usa \(E[X^2]-\mu^2\) con \(E[X^2]=\frac{1^2+2^2}{2}=\frac{5}{2}\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la varianza del número de caras en dos lanzamientos de una moneda justa?
Pista: Usa Binomial(\(n=2,p=0.5\)): \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Repaso final
El valor esperado es un promedio ponderado: \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Linealidad: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) y \(E[aX+b]=aE[X]+b\).
Reglas de varianza: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\); las sumas independientes suman varianzas.
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, medida en las mismas unidades que \(X\).
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con la habilidad que necesitas (valor esperado, varianza o reglas clave).
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