Espérance et variance : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur l’espérance et la variance avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner à l’espérance et à la variance en probabilités et statistiques : calculer la moyenne (espérance) d’une variable aléatoire discrète avec \(E[X]=\sum x\,p(x)\), utiliser l’identité rapide de la variance \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\), interpréter l’écart type comme une mesure de dispersion, et appliquer des règles clés comme la linéarité de l’espérance \(E[aX+b]=aE[X]+b\) et la règle de changement d’échelle \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). Pour revoir la méthode avec des exemples guidés (dés, pièces, roues et petites distributions), cliquez sur Commencer la leçon.
Comment fonctionne cet entraînement sur l’espérance et la variance
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur l’espérance et la variance en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultatif) : revoyez les formules, les raccourcis et les distributions de probabilité courantes avec des exemples étape par étape.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement les règles de \(E[X]\) et de \(\mathrm{Var}(X)\).
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur l’espérance et la variance
Essentiels de l’espérance (moyenne)
Espérance discrète : \(E[X]=\sum x\,p(x)\)
Interprétation : moyenne à long terme et « prix équitable » d’un jeu
Linéarité : \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (valable même sans indépendance)
Variance et écart type
Définition de la variance : \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\)
Raccourci rapide : \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\)
Écart type : \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)
Règles qui font gagner du temps
Décalage et changement d’échelle : \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\)
Règle de somme (indépendance) : \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\)
Quand la dépendance compte : idée de covariance (pourquoi l’indépendance est particulière)
Uniforme sur \([0,1]\) : \(E[X]=\tfrac12\), \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{12}\)
Exemple rapide : un dé équilibré à six faces a pour issues \(1,2,3,4,5,6\). L’espérance vaut
\[
E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
\]
L’espérance n’est pas « le lancer le plus probable » : c’est la moyenne à long terme. La variance mesure à quel point les résultats sont dispersés autour de la moyenne.
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur l’espérance, la variance et l’écart type.
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Espérance et variance
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Leçon sur l’espérance et la variance
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Vue d’ensemble de la leçon
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : Construire une compréhension claire et fiable de l’espérance (moyenne) et de la variance (dispersion) afin de calculer \(E[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\) et l’écart type rapidement et correctement pour des lois de probabilité courantes.
Critères de réussite
Calculer l’espérance d’une variable aléatoire discrète avec \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Utiliser la linéarité de l’espérance (dont \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\)).
Calculer la variance avec \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\) et le raccourci \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\).
Passer de la variance à l’écart type : \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Appliquer les règles clés : \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) et, si les variables sont indépendantes, \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
Traiter des contextes classiques : dés, pièces, roues et petits tableaux de gains.
Vocabulaire essentiel
Variable aléatoire : résultat numérique produit par le hasard (comme un nombre de faces, un lancer de dé ou un gain).
Espérance (moyenne) : \(E[X]\), la valeur moyenne de \(X\) à long terme.
Variance : \(\mathrm{Var}(X)\), la distance quadratique moyenne à la moyenne.
Écart type : \(\sigma\), la racine carrée de la variance, mesurée dans les mêmes unités que \(X\).
Loi de probabilité : la liste (ou la règle) des valeurs possibles et de leurs probabilités.
Vérification rapide
Vérification rapide 1 : Quelle est l’espérance du résultat d’un dé équilibré à six faces ?
Indice : pour un dé équilibré, \(E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\).
Vérification rapide 2 : \(X\) prend les valeurs \(1\) et \(3\), chacune avec probabilité \(1/2\). Quelle est \(\mathrm{Var}(X)\) ?
Indice : trouvez d’abord \(\mu=E[X]\), puis calculez \(E[(X-\mu)^2]\).
Bases de l’espérance
Espérance : la moyenne pondérée
Objectif d’apprentissage : calculer l’espérance à partir d’un tableau de probabilités et l’interpréter comme une moyenne à long terme.
Idée clé
Pour une variable aléatoire discrète de valeurs possibles \(x_1,x_2,\dots\) et de probabilités \(p(x_1),p(x_2),\dots\), l’espérance est la moyenne pondérée : \[ E[X] = \sum_x x\,p(x). \] En résumé : « multiplier chaque issue par sa fréquence, puis additionner ».
Exemple guidé
Exemple : Un sac contient \(\{0,5\}\), avec deux tirages équiprobables. Quelle est l’espérance du tirage ?
Chaque valeur a une probabilité \(1/2\). Donc : \[ E[X] = 0\cdot \frac12 + 5\cdot \frac12 = 2.5. \] Le résultat moyen est \(2.5\), même si \(2.5\) n’est pas une issue que l’on peut tirer.
À vous
À vous 1 : Un dé équilibré à trois faces porte les nombres \(1,2,3\). Quelle est son espérance ?
Indice : \(E[X]=\dfrac{1+2+3}{3}\).
À vous 2 : \(X\) prend les valeurs \(10, 20, 30\) avec probabilités \(0.2, 0.3, 0.5\). Que vaut \(E[X]\) ?
Indice : multipliez chaque valeur par sa probabilité et additionnez : \(10(0.2)+20(0.3)+30(0.5)\).
Résumé
L’espérance est une moyenne pondérée : \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Elle représente la moyenne à long terme, pas forcément une valeur observable en un seul essai.
Linéarité et sommes
Linéarité de l’espérance : le meilleur raccourci
Objectif d’apprentissage : utiliser la linéarité pour calculer rapidement des espérances de sommes et de variables transformées.
Idée clé
La linéarité de l’espérance fonctionne toujours : \[ E[aX+b]=aE[X]+b,\quad E[X+Y]=E[X]+E[Y]. \] Il n’est pas nécessaire que les variables soient indépendantes pour additionner les espérances.
Exemple guidé
Exemple : Quel est le nombre moyen de faces dans 2 lancers d’une pièce équilibrée ?
Soit \(X\) le nombre de faces en 2 lancers. On peut voir \(X\) comme une somme : \[ X = I_1 + I_2, \] où \(I_k=1\) si le lancer \(k\) donne face et \(0\) sinon. Pour une pièce équilibrée, \(E[I_k]=0.5\). Donc : \[ E[X]=E[I_1]+E[I_2]=0.5+0.5=1. \]
À vous
À vous 1 : Quelle est l’espérance de la somme de deux dés équilibrés à six faces ?
Indice : \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) et chaque dé a pour moyenne \(3.5\).
À vous 2 : Une loterie paie \(3\) avec probabilité \(\tfrac13\), et \(0\) sinon. Quelle est son espérance ?
Sommes : \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (l’indépendance n’est pas nécessaire).
Bases de la variance
Variance : mesurer la dispersion autour de la moyenne
Objectif d’apprentissage : calculer la variance avec sa définition et l’identité rapide \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
Idée clé
Si \(\mu=E[X]\), alors : \[ \mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]. \] Le raccourci le plus utile est : \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2. \] Il évite de développer \((X-\mu)^2\) pour chaque issue.
Exemple guidé
Exemple : Un sac contient \(\{2,4,6\}\), avec tirages équiprobables. Quelle est la variance ?
Calculez d’abord la moyenne : \[ \mu = E[X]=\frac{2+4+6}{3}=4. \] Calculez ensuite \(E[X^2]\) : \[ E[X^2]=\frac{2^2+4^2+6^2}{3}=\frac{4+16+36}{3}=\frac{56}{3}. \] Donc : \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2=\frac{56}{3}-16=\frac{8}{3}. \]
À vous
À vous 1 : Quelle est la variance d’une roue équilibrée à trois issues de valeurs \(0,1,2\) ?
Indice : \(\mu=1\). Calculez \(E[X^2]=\frac{0^2+1^2+2^2}{3}=\frac{5}{3}\), puis soustrayez \(1^2\).
À vous 2 : Quelle est la variance de ce gain de pièce (\(-1\) ou \(+1\), équiprobables) ?
Indice : \(\mu=0\) et \(E[X^2]=1\).
Résumé
La variance mesure la dispersion autour de la moyenne.
Identité rapide : \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
Règles de variance
Règles de variance : décalage, échelle et sommes
Objectif d’apprentissage : appliquer correctement les règles de variance et savoir quand l’indépendance compte.
Idée clé
Deux règles essentielles : \[ \mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X), \] et, pour les sommes : \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). \] Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) et les variances s’additionnent : \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). \]
Exemple guidé
Exemple : Quelle est la variance du nombre de faces dans deux lancers d’une pièce équilibrée ?
Si \(X\sim \text{Binomial}(n=2,p=0.5)\), alors : \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=2(0.5)(0.5)=0.5. \] Cela confirme que le nombre de faces varie, mais pas énormément, sur 2 lancers.
À vous
À vous 1 : Si \(\mathrm{Var}(X)=9\), que vaut \(\mathrm{Var}(2X-5)\) ?
Indice : utilisez \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). Le terme « \(-5\) » ne change pas la variance.
À vous 2 : \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, avec \(\mathrm{Var}(X)=2\) et \(\mathrm{Var}(Y)=3\). Que vaut \(\mathrm{Var}(X+Y)\) ?
Indice : l’indépendance rend la covariance égale à \(0\), donc les variances s’additionnent.
Résumé
Un décalage ne change pas la variance ; multiplier par \(a\) multiplie la variance par \(a^2\).
Pour des sommes indépendantes, on additionne les variances.
Lois courantes
Lois courantes et formules les plus rapides
Objectif d’apprentissage : reconnaître les modèles standards (Bernoulli, binomiale, uniforme) et utiliser leurs formules de moyenne et de variance.
Idée clé
Certaines lois apparaissent partout :
Bernoulli(\(p\)) (un essai, \(X\in\{0,1\}\)) : \(E[X]=p\), \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\).
Binomiale(\(n,p\)) (somme de \(n\) essais de Bernoulli indépendants) : \(E[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Exemple : Une pièce biaisée a une probabilité \(p=0.3\) de tomber sur face. Soit \(X=1\) pour face et \(0\) pour pile. Que valent \(E[X]\) et \(\mathrm{Var}(X)\) ?
C’est une Bernoulli(\(p=0.3\)). Donc : \[ E[X]=p=0.3,\quad \mathrm{Var}(X)=p(1-p)=0.3(0.7)=0.21. \]
À vous
À vous 1 : Pour une variable aléatoire uniforme sur \([0,1]\), que vaut \(E[X]\) ?
Indice : la moyenne de Uniforme(\(a,b\)) est \(\frac{a+b}{2}\).
À vous 2 : Pour une variable aléatoire uniforme sur \([0,1]\), que vaut \(\mathrm{Var}(X)\) ?
Indice : fait standard : \(\mathrm{Var}(\text{Uniform}(0,1))=\tfrac{1}{12}\).
Objectif d’apprentissage : combiner les outils d’espérance et de variance sur des problèmes courants de tableaux (sacs, gains et jeux simples).
Exemple guidé
Exemple : Un gain de carte vaut \(2\) si vous tirez un cœur (\(p=0.25\)) et \(0\) sinon. Que vaut \(\mathrm{Var}(X)\) ?
Calculez la moyenne : \[ E[X]=2(0.25)+0(0.75)=0.5. \] Calculez \(E[X^2]\) : \[ E[X^2]=2^2(0.25)+0^2(0.75)=4(0.25)=1. \] Puis : \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2=1-(0.5)^2=1-0.25=0.75. \]
À vous
À vous 1 : Un sac contient \(\{1,10\}\), avec tirages équiprobables. Quelle est l’espérance du tirage ?
Indice : prenez la moyenne des deux valeurs : \(\frac{1+10}{2}\).
À vous 2 : Quelle est la variance d’un tirage dans \(\{1,4,7\}\), avec valeurs équiprobables ?
Indice : la moyenne est \(4\). Calculez \(E[X^2]=\frac{1^2+4^2+7^2}{3}\), puis soustrayez \(4^2\).
Résumé
Utilisez \(E[X]\) comme moyenne pondérée pour trouver rapidement la moyenne.
Utilisez \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) pour calculer rapidement la variance.
Applications et vue d’ensemble
Pourquoi l’espérance et la variance comptent
Objectif d’apprentissage : relier moyenne et dispersion à la prise de décision, puis terminer par une vérification finale.
Où ces idées apparaissent
Jeux et équité : l’espérance indique un prix d’entrée équitable ; la variance indique le risque.
Statistiques : la moyenne et la variance résument des distributions et interviennent dans les intervalles de confiance.
Données et simulation : les estimations de Monte-Carlo reposent sur l’espérance et mesurent l’erreur avec la variance.
Finance et planification : rendement moyen et volatilité (dispersion) se décrivent avec moyenne et variance.
Exemple guidé : un jeu de gain simple
Exemple : Un jeu rapporte \(+2\) avec probabilité \(0.4\) et \(-1\) avec probabilité \(0.6\). Quelle est l’espérance du gain ?
\[ E[X] = 2(0.4)+(-1)(0.6)=0.8-0.6=0.2. \] Une espérance positive signifie que le jeu est favorable en moyenne, même si l’on peut perdre sur une partie.
À vous
À vous 1 : Quelle est la variance de ce dé biaisé (valeurs \(1\) ou \(2\), équiprobables) ?
Indice : \(\mu=\frac{1+2}{2}=1.5\). Utilisez \(E[X^2]-\mu^2\) avec \(E[X^2]=\frac{1^2+2^2}{2}=\frac{5}{2}\).
À vous 2 : Quelle est la variance du nombre de faces dans deux lancers d’une pièce équilibrée ?
Règles de variance : \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) ; pour des sommes indépendantes, on additionne les variances.
L’écart type est la racine carrée de la variance et se mesure dans les mêmes unités que \(X\).
Prochaine étape : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et revoyez la page qui correspond à la compétence dont vous avez besoin (espérance, variance ou règles clés).
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