चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ अपेक्षित मान और प्रसरण अभ्यास क्विज़
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से प्रायिकता और सांख्यिकी में अपेक्षित मान और प्रसरण का अभ्यास करें: विविक्त यादृच्छिक चर का माध्य (अपेक्षित मान) \(E[X]=\sum x\,p(x)\) से निकालना, तेज प्रसरण तत्समक \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) उपयोग करना, मानक विचलन को फैलाव की तरह समझना, और अपेक्षा की रैखिकता \(E[aX+b]=aE[X]+b\) तथा स्केलिंग नियम \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) जैसे मुख्य नियम लागू करना। हल किए गए उदाहरणों (पासे, सिक्के, स्पिनर और छोटे वितरण) के साथ दोहराना हो तो पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह अपेक्षित मान और प्रसरण अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए अपेक्षित मान और प्रसरण प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): चरण-दर-चरण उदाहरणों के साथ सूत्र, छोटे तरीके और सामान्य प्रायिकता वितरण दोहराएं।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और \(E[X]\) तथा \(\mathrm{Var}(X)\) नियम तुरंत लागू करें।
अपेक्षित मान और प्रसरण पाठ में आप क्या सीखेंगे
अपेक्षित मान (माध्य) की मूल बातें
विविक्त अपेक्षित मान: \(E[X]=\sum x\,p(x)\)
व्याख्या: दीर्घकालिक औसत और खेल का "निष्पक्ष मूल्य"
रैखिकता: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (स्वतंत्रता के बिना भी काम करता है)
प्रसरण और मानक विचलन
प्रसरण परिभाषा: \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\)
तेज छोटा तरीका: \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\)
मानक विचलन: \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)
समय बचाने वाले नियम
स्थानांतरण और पैमाना: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\)
योग नियम (स्वतंत्र): \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\)
निर्भरता कब मायने रखती है: सहप्रसरण का विचार (स्वतंत्रता विशेष क्यों है)
साझा वितरण और छोटी जाँचें
बर्नूली: \(E[X]=p\), \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\)
द्विपद: \(E[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)
समान \([0,1]\) पर: \(E[X]=\tfrac12\), \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{12}\)
त्वरित उदाहरण: निष्पक्ष छह-फलकीय पासे के परिणाम \(1,2,3,4,5,6\) हैं। अपेक्षित मान है
\[
E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
\]
अपेक्षित मान "सबसे संभावित फेंक" नहीं है - यह दीर्घकालिक औसत है। प्रसरण बताता है कि परिणाम माध्य के आसपास कितने फैले हुए हैं।
उद्देश्य:अपेक्षित मान (माध्य) और प्रसरण (फैलाव) की स्पष्ट, भरोसेमंद समझ बनाएँ ताकि आप सामान्य प्रायिकता वितरणों के लिए \(E[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\) और मानक विचलन जल्दी तथा सही गणना कर सकें।
सफलता मानदंड
\(E[X]=\sum x\,p(x)\) से विविक्त यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान गणना करें।
अपेक्षा की रैखिकता उपयोग करें (\(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) सहित)।
\(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\) और छोटे तरीके \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\) से प्रसरण गणना करें।
प्रसरण और मानक विचलन के बीच रूपांतरण करें: \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
मुख्य नियम लागू करें: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) और (स्वतंत्र होने पर) \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
सामान्य स्थितियाँ संभालें: पासे, सिक्के, स्पिनर और छोटी भुगतान सारणियाँ।
मुख्य शब्दावली
यादृच्छिक चर: संयोग से निकला संख्यात्मक परिणाम (जैसे चितों की संख्या, पासे का अंक या भुगतान)।
अपेक्षित मान (माध्य): \(E[X]\), \(X\) का दीर्घकालिक औसत मान।
प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)\), माध्य से औसत वर्गित दूरी।
मानक विचलन: \(\sigma\), प्रसरण का वर्ग मूल, जो \(X\) जैसी समान इकाइयों में मापा जाता है।
प्रायिकता वितरण: संभव मानों और उनकी प्रायिकताओं की सूची (या नियम)।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: निष्पक्ष छह-फलकीय पासे के फेंक का अपेक्षित मान क्या है?
संकेत: निष्पक्ष पासे के लिए \(E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\).
पूर्व-जाँच 2: मान लें \(X\), मान \(1\) और \(3\) हर एक प्रायिकता \(1/2\) से लेता है। \(\mathrm{Var}(X)\) क्या है?
संकेत: पहले \(\mu=E[X]\) निकालें, फिर \(E[(X-\mu)^2]\) गणना करें।
अपेक्षित मान मूल बातें
अपेक्षित मान: भारित औसत
सीखने का लक्ष्य: प्रायिकता सारणी से अपेक्षित मान गणना करें और उसे दीर्घकालिक माध्य की तरह समझें।
मुख्य विचार
विविक्त यादृच्छिक चर जिसके संभव मान \(x_1,x_2,\dots\) और प्रायिकताएँ \(p(x_1),p(x_2),\dots\) हैं, उसका अपेक्षित मान भारित औसत है: \[ E[X] = \sum_x x\,p(x). \] सोचें: "हर परिणाम को उसके होने की आवृत्ति से गुणा करें, फिर जोड़ें।"
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: एक थैली में \(\{0,5\}\) समान रूप से संभावित हैं। अपेक्षित निकाला गया मान क्या है?
हर मान की प्रायिकता \(1/2\) है। इसलिए: \[ E[X] = 0\cdot \frac12 + 5\cdot \frac12 = 2.5. \] माध्य परिणाम \(2.5\) है, भले ही \(2.5\) ऐसा परिणाम नहीं है जिसे आप निकाल सकें।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: निष्पक्ष तीन-फलकीय पासे के फलक \(1,2,3\) हैं। अपेक्षित मान क्या है?
संकेत: \(E[X]=\dfrac{1+2+3}{3}\).
खुद कोशिश 2: \(X\) मान \(10, 20, 30\) को प्रायिकताएँ \(0.2, 0.3, 0.5\) से लेता है। \(E[X]\) क्या है?
संकेत: हर मान को उसकी प्रायिकता से गुणा करें और जोड़ें: \(10(0.2)+20(0.3)+30(0.5)\).
सारांश
अपेक्षित मान भारित औसत है: \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
यह दीर्घकालिक माध्य दर्शाता है, जरूरी नहीं कि एक प्रयास में देखी जा सकने वाली मान हो।
रैखिकता और योग
अपेक्षा की रैखिकता: आपका सबसे अच्छा छोटा तरीका
सीखने का लक्ष्य: योगों और पैमाना बदले चरों के अपेक्षित मान जल्दी गणना करने के लिए रैखिकता उपयोग करें।
मुख्य विचार
अपेक्षा की रैखिकता हमेशा काम करती है: \[ E[aX+b]=aE[X]+b,\quad E[X+Y]=E[X]+E[Y]. \] अपेक्षित मान जोड़ने के लिए स्वतंत्रता की जरूरत नहीं होती।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: 2 निष्पक्ष सिक्के उछालने पर चितों की अपेक्षित संख्या क्या है?
मान लें \(X\), 2 उछालों में चितों की संख्या है। \(X\) को योग की तरह सोचें: \[ X = I_1 + I_2, \] जहां \(I_k=1\) यदि उछाल \(k\) में चित आए और अन्यथा \(0\)। निष्पक्ष सिक्के के लिए \(E[I_k]=0.5\). इसलिए: \[ E[X]=E[I_1]+E[I_2]=0.5+0.5=1. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: दो निष्पक्ष छह-फलकीय पासे फेंकने पर अपेक्षित योग क्या है?
संकेत: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) और हर पासे का माध्य \(3.5\) है।
खुद कोशिश 2: एक लॉटरी प्रायिकता \(\tfrac13\) से \(3\) भुगतान करती है और अन्यथा \(0\). अपेक्षित मान क्या है?
योग: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (स्वतंत्रता आवश्यक नहीं)।
प्रसरण मूल बातें
प्रसरण: माध्य के आसपास फैलाव मापें
सीखने का लक्ष्य: परिभाषा और तेज तत्समक \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) से प्रसरण गणना करें।
मुख्य विचार
यदि \(\mu=E[X]\), तो: \[ \mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]. \] सबसे उपयोगी छोटा तरीका है: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2. \] यह हर परिणाम के लिए \((X-\mu)^2\) खोलने से बचाता है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: एक थैली में \(\{2,4,6\}\) समान रूप से संभावित हैं। प्रसरण क्या है?
पहले माध्य गणना करें: \[ \mu = E[X]=\frac{2+4+6}{3}=4. \] अब \(E[X^2]\) गणना करें: \[ E[X^2]=\frac{2^2+4^2+6^2}{3}=\frac{4+16+36}{3}=\frac{56}{3}. \] इसलिए: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2=\frac{56}{3}-16=\frac{8}{3}. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: मान \(0,1,2\) वाले निष्पक्ष तीन-परिणाम स्पिनर का प्रसरण क्या है?
संकेत: \(\mu=1\). \(E[X^2]=\frac{0^2+1^2+2^2}{3}=\frac{5}{3}\) गणना करें, फिर \(1^2\) घटाएँ।
खुद कोशिश 2: उस सिक्का-भुगतान (\(-1\) या \(+1\) समान रूप से संभावित) का प्रसरण क्या है?
संकेत: \(\mu=0\) और \(E[X^2]=1\).
सारांश
प्रसरण माध्य के आसपास फैलाव मापता है।
तेज तत्समक: \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
प्रसरण नियम
प्रसरण नियम: स्थानांतरण, पैमाना और योग
सीखने का लक्ष्य: प्रसरण नियम सही लागू करें और जानें कि स्वतंत्रता कब मायने रखती है।
मुख्य विचार
दो आवश्यक नियम: \[ \mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X), \] और योग के लिए: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). \] यदि \(X\) और \(Y\) स्वतंत्र हैं, तो \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) और प्रसरण जुड़ते हैं: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). \]
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: दो निष्पक्ष सिक्के उछालने पर चितों की संख्या का प्रसरण क्या है?
यदि \(X\sim \text{Binomial}(n=2,p=0.5)\), तो: \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=2(0.5)(0.5)=0.5. \] यह इस विचार से मेल खाता है कि 2 उछालों में चितों की गिनती बदलती है, लेकिन बहुत अधिक नहीं।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: यदि \(\mathrm{Var}(X)=9\), तो \(\mathrm{Var}(2X-5)\) क्या है?
संकेत: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) उपयोग करें। "\(-5\)" प्रसरण नहीं बदलता।
खुद कोशिश 2: मान लें \(X\) और \(Y\) स्वतंत्र हैं, \(\mathrm{Var}(X)=2\) और \(\mathrm{Var}(Y)=3\). \(\mathrm{Var}(X+Y)\) क्या है?
संकेत: स्वतंत्रता सहप्रसरण को \(0\) बनाती है, इसलिए प्रसरण जुड़ते हैं।
सारांश
स्थानांतरण प्रसरण नहीं बदलता; \(a\) से स्केलिंग प्रसरण को \(a^2\) से गुणा करती है।
स्वतंत्र योग के लिए प्रसरण जोड़ें।
सामान्य वितरण
सामान्य वितरण और सबसे तेज सूत्र
सीखने का लक्ष्य: मानक मॉडल (बर्नूली, द्विपद, समान) पहचानें और उनके माध्य/प्रसरण सूत्र उपयोग करें।
प्रसरण नियम: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\); स्वतंत्र योग में प्रसरण जुड़ते हैं।
मानक विचलन प्रसरण का वर्ग मूल है, जो \(X\) जैसी समान इकाइयों में मापा जाता है।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस कौशल की जरूरत हो (अपेक्षित मान, प्रसरण, या मुख्य नियम), वही पृष्ठ दोहराएं।
