चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ अपेक्षित मान और प्रसरण अभ्यास प्रश्नोत्तरी
पृष्ठ के ऊपर दिए प्रश्नोत्तरी से प्रायिकता और आँकड़े में अपेक्षित मान और प्रसरण का अभ्यास करें: विविक्त यादृच्छिक चर का माध्य (अपेक्षित मान) \(E[X]=\sum x\,p(x)\) से निकालना, fast प्रसरण तत्समक \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) उपयोग करना, मानक विचलन को फैलावविज्ञापन की तरह समझना, और रैखिकता का expectation \(E[aX+b]=aE[X]+b\) तथा स्केलिंग नियम \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) जैसे core नियम लागू करना। यदि आपको हल किया हुआ उदाहरण (dice, coins, spinners, और small वितरण) के साथ पुनरावृत्ति चाहिए, तो पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
यह अपेक्षित मान और प्रसरण अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए अपेक्षित मान और प्रसरण प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): चरण-दर-चरण उदाहरण के साथ सूत्र, छोटा तरीकाs, और साझा प्रायिकता वितरण दोहराएं।
3. दोबारा प्रयास करें: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और \(E[X]\) तथा \(\mathrm{Var}(X)\) नियम तुरंत लागू करें।
अपेक्षित मान और प्रसरण पाठ में आप क्या सीखेंगे
अपेक्षित मान (माध्य) essentials
विविक्त अपेक्षित मान: \(E[X]=\sum x\,p(x)\)
व्याख्या: long-run औसत और खेल का "निष्पक्ष price"
Linearity: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (स्वतंत्रता के बिना भी काम करता है)
योग नियम (स्वतंत्र): \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\)
Dependence कब मायने रखता है: covariance idea (स्वतंत्रता विशेष क्यों है)
साझा वितरण और त्वरित जाँचें
Bernoulli: \(E[X]=p\), \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\)
द्विपद: \(E[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)
समान on \([0,1]\): \(E[X]=\tfrac12\), \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{12}\)
त्वरित उदाहरण: निष्पक्ष six-sided die के परिणाम \(1,2,3,4,5,6\) हैं। अपेक्षित मान है
\[
E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
\]
अपेक्षित मान "सबसे संभावित roll" नहीं है - यह long-run औसत है। प्रसरण बताता है कि परिणाम माध्य के आसपास कितने फैले हुए हैं।
प्रश्नोत्तरी पर वापस
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर वाले प्रश्नोत्तरी पर लौटें और अपेक्षित मान, प्रसरण, तथा मानक विचलन का अभ्यास जारी रखें।
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अपेक्षित मान & प्रसरण
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अपेक्षित मान और प्रसरण पाठ
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पाठ सारांश
पाठ सारांश
उद्देश्य:अपेक्षित मान (माध्य) और प्रसरण (फैलावविज्ञापन) की स्पष्ट, भरोसेमंद समझ बनाएँ ताकि आप साझा प्रायिकता वितरण के लिए \(E[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\), और मानक विचलन जल्दी और सही गणना करें कर सकें।
सफलता मानदंड
\(E[X]=\sum x\,p(x)\) से विविक्त यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान गणना करें करें।
Linearity का expectation उपयोग करें (\(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) सहित)।
\(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\) और छोटा तरीका \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\) से प्रसरण गणना करें करें।
प्रसरण और मानक विचलन के बीच convert करें: \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Key नियम लागू करें: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) और (स्वतंत्र होने पर) \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
सामान्य contexts संभालें: dice, coins, spinners, और small payकाf tables।
मुख्य शब्दावली
यादृच्छिक चर: chance से निकला numerical परिणाम (जैसे विज्ञापनs की संख्या, die roll, या payout)।
अपेक्षित मान (माध्य): \(E[X]\), \(X\) का long-run औसत मान।
प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)\), माध्य से औसत squared दूरी।
मानक विचलन: \(\sigma\), प्रसरण का वर्ग मूल, \(X\) जैसी समान इकाइयाँ में मापd।
प्रायिकता वितरण: possible मान और उनकी प्रायिकताएँ की list (या नियम)।
त्वरित पूर्व-जांच
पूर्व-जांच 1: निष्पक्ष six-sided die roll का अपेक्षित मान क्या है?
संकेत: निष्पक्ष die के लिए \(E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\).
पूर्व-जांच 2: मान लें \(X\), मान \(1\) और \(3\) हर एक प्रायिकता \(1/2\) से लेता है। \(\mathrm{Var}(X)\) क्या है?
संकेत: पहले \(\mu=E[X]\) निकालें, फिर \(E[(X-\mu)^2]\) गणना करें करें।
अपेक्षित मान मूल बातें
अपेक्षित मान: weighted औसत
सीखने का लक्ष्य: प्रायिकता table से अपेक्षित मान गणना करें करें और उसे long-run माध्य की तरह व्याख्या करना करें।
मुख्य विचार
विविक्त यादृच्छिक चर जिसकी possible मान \(x_1,x_2,\dots\) और प्रायिकताएँ \(p(x_1),p(x_2),\dots\) हैं, उसका अपेक्षित मान weighted औसत है: \[ E[X] = \sum_x x\,p(x). \] सोचें: "हर परिणाम को उसके होने की आवृत्ति से गुणा करें करें, फिर विज्ञापनd करें।"
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: एक bag में \(\{0,5\}\) equally संभावित हैं। अपेक्षित draw क्या है?
हर मान की प्रायिकता \(1/2\) है। इसलिए: \[ E[X] = 0\cdot \frac12 + 5\cdot \frac12 = 2.5. \] माध्य परिणाम \(2.5\) है, भले ही \(2.5\) ऐसा परिणाम नहीं है जिसे आप draw कर सकें।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: निष्पक्ष three-sided die के faces \(1,2,3\) हैं। अपेक्षित मान क्या है?
संकेत: \(E[X]=\dfrac{1+2+3}{3}\).
खुद कोशिश 2: \(X\) मान \(10, 20, 30\) को प्रायिकताएँ \(0.2, 0.3, 0.5\) से लेता है। \(E[X]\) क्या है?
संकेत: हर मान को उसकी प्रायिकता से गुणा करें करें और विज्ञापनd करें: \(10(0.2)+20(0.3)+30(0.5)\).
सारांश
अपेक्षित मान weighted औसत है: \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
यह long-run माध्य दर्शाता है, जरूरी नहीं कि एक प्रयास में observe होने वाली मान हो।
Linearity और योग
Linearity का expectation: आपकी सबसे अच्छी छोटा तरीका
सीखने का लक्ष्य: योग और scaled चर के अपेक्षित मान जल्दी गणना करें करने के लिए रैखिकता उपयोग करें।
मुख्य विचार
Linearity का expectation हमेशा काम करती है: \[ E[aX+b]=aE[X]+b,\quad E[X+Y]=E[X]+E[Y]. \] अपेक्षित मान विज्ञापनd करने के लिए स्वतंत्रता की जरूरत नहीं होती।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: 2 निष्पक्ष coin flips में विज्ञापनs की अपेक्षित संख्या क्या है?
मान लें \(X\), 2 flips में विज्ञापनs की संख्या है। \(X\) को योग की तरह सोचें: \[ X = I_1 + I_2, \] जहां \(I_k=1\) यदि flip \(k\) विज्ञापनs है और \(0\) otrwise। निष्पक्ष coin के लिए \(E[I_k]=0.5\). इसलिए: \[ E[X]=E[I_1]+E[I_2]=0.5+0.5=1. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: दो निष्पक्ष six-sided dice roll करने पर अपेक्षित योग क्या है?
संकेत: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) और हर die का माध्य \(3.5\) है।
खुद कोशिश 2: एक lottery प्रायिकता \(\tfrac13\) से \(3\) pay करती है और otrwise \(0\). अपेक्षित मान क्या है?
योग: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (स्वतंत्रता आवश्यक नहीं)।
प्रसरण मूल बातें
प्रसरण: माध्य के आसपास फैलावविज्ञापन माप करें
सीखने का लक्ष्य: परिभाषा और fast तत्समक \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) से प्रसरण गणना करें करें।
मुख्य विचार
यदि \(\mu=E[X]\), तो: \[ \mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]. \] सबसे useful छोटा तरीका है: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2. \] यह हर परिणाम के लिए \((X-\mu)^2\) विस्तार करें करने से बचाता है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: एक bag में \(\{2,4,6\}\) equally संभावित हैं। प्रसरण क्या है?
खुद कोशिश 1: मान \(0,1,2\) वाले निष्पक्ष three-परिणाम spinner का प्रसरण क्या है?
संकेत: \(\mu=1\). \(E[X^2]=\frac{0^2+1^2+2^2}{3}=\frac{5}{3}\) गणना करें करें, फिर \(1^2\) घटाएँ करें।
खुद कोशिश 2: उस coin payout (\(-1\) या \(+1\) equally संभावित) का प्रसरण क्या है?
संकेत: \(\mu=0\) और \(E[X^2]=1\).
सारांश
प्रसरण माध्य के आसपास फैलावविज्ञापन माप करता है।
Fast तत्समक: \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
प्रसरण नियम
प्रसरण नियम: shift, पैमाना, और योग
सीखने का लक्ष्य: प्रसरण नियम सही लागू करें और जानें कि स्वतंत्रता कब मायने रखती है।
मुख्य विचार
दो essential नियम: \[ \mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X), \] और योग के लिए: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). \] यदि \(X\) और \(Y\) स्वतंत्र हैं, तो \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) और variances विज्ञापनd होते हैं: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). \]
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: दो निष्पक्ष coin flips में विज्ञापनs की संख्या का प्रसरण क्या है?
यदि \(X\sim \text{Binomial}(n=2,p=0.5)\), तो: \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=2(0.5)(0.5)=0.5. \] यह इस idea से मिलान करें करता है कि विज्ञापनs की गिनतियाँ 2 flips में vary करती हैं, लेकिन बहुत wildly नहीं।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: यदि \(\mathrm{Var}(X)=9\), तो \(\mathrm{Var}(2X-5)\) क्या है?
संकेत: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) उपयोग करें। "\(-5\)" प्रसरण नहीं बदलता।
खुद कोशिश 2: मान लें \(X\) और \(Y\) स्वतंत्र हैं, \(\mathrm{Var}(X)=2\) और \(\mathrm{Var}(Y)=3\). \(\mathrm{Var}(X+Y)\) क्या है?
संकेत: स्वतंत्रता covariance को \(0\) बनाती है, इसलिए variances विज्ञापनd होते हैं।
सारांश
Shift प्रसरण नहीं बदलता; \(a\) से स्केलिंग प्रसरण को \(a^2\) से गुणा करें करती है।
स्वतंत्र योग के लिए variances विज्ञापनd करें।
साझा वितरण
साझा वितरण और सबसे तेज सूत्र
सीखने का लक्ष्य: मानक मॉडल (Bernoulli, द्विपद, समान) पहचानें और उनके माध्य/प्रसरण सूत्र उपयोग करें।
उदाहरण: Weighted coin के लिए विज्ञापनs की प्रायिकता \(p=0.3\) है। \(X=1\) विज्ञापनs के लिए और \(0\) tails के लिए। \(E[X]\) और \(\mathrm{Var}(X)\) क्या हैं?
यह Bernoulli(\(p=0.3\)) है। इसलिए: \[ E[X]=p=0.3,\quad \mathrm{Var}(X)=p(1-p)=0.3(0.7)=0.21. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \([0,1]\) पर समान यादृच्छिक चर के लिए \(E[X]\) क्या है?
संकेत: समान(\(a,b\)) का माध्य \(\frac{a+b}{2}\) है।
खुद कोशिश 2: \([0,1]\) पर समान यादृच्छिक चर के लिए \(\mathrm{Var}(X)\) क्या है?
प्रसरण नियम: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\); स्वतंत्र योग में variances विज्ञापनd होते हैं।
मानक विचलन प्रसरण का वर्ग मूल है, \(X\) जैसी समान इकाइयाँ में मापd।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस कौशल की जरूरत हो (अपेक्षित मान, प्रसरण, या key नियम), वही पृष्ठ दोहराएं।
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