Cuestionario de práctica de valor esperado y varianza con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar valor esperado y varianza en probabilidad y estadística: calcular la media (valor esperado) de una variable aleatoria discreta con \(E[X]=\sum x\,p(x)\), usar la identidad rápida de varianza \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\), interpretar la desviación estándar como dispersión y aplicar reglas centrales como la linealidad de la esperanza \(E[aX+b]=aE[X]+b\) y la regla de escala \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). Si quieres repasar con ejemplos resueltos (dados, monedas, ruletas y distribuciones pequeñas), haz clic en Iniciar lección.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de valor esperado y varianza
1. Haz la serie de práctica: responde las preguntas de valor esperado y varianza más abajo en la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa fórmulas, atajos y distribuciones de probabilidad comunes con ejemplos paso a paso.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y aplica de inmediato las reglas de \(E[X]\) y \(\mathrm{Var}(X)\).
Lo que aprenderás en la lección de valor esperado y varianza
Elementos esenciales del valor esperado (media)
Valor esperado discreto: \(E[X]=\sum x\,p(x)\)
Interpretación: promedio a largo plazo y “precio justo” de un juego
Linealidad: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (funciona incluso sin independencia)
Varianza y desviación estándar
Definición de varianza: \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\)
Uniforme en \([0,1]\): \(E[X]=\tfrac12\), \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{12}\)
Ejemplo rápido: Un dado justo de seis caras tiene resultados \(1,2,3,4,5,6\). El valor esperado es
\[
E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
\]
El valor esperado no es “el lanzamiento más probable”: es el promedio a largo plazo. La varianza mide qué tan dispersos están los resultados alrededor de la media.
Propósito: Construir una comprensión clara y confiable del valor esperado (media) y la varianza (dispersión) para que puedas calcular \(E[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\) y desviación estándar de forma rápida y correcta para distribuciones de probabilidad comunes.
Criterios de éxito
Calcular valor esperado para una variable aleatoria discreta usando \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Usar la linealidad de la esperanza (incluyendo \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\)).
Calcular varianza usando \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\) y el atajo \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\).
Convertir entre varianza y desviación estándar: \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Aplicar reglas clave: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) y (si son independientes) \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
Manejar contextos clásicos: dados, monedas, ruletas y tablas pequeñas de pagos.
Vocabulario clave
Variable aleatoria: un resultado numérico producido por el azar (como número de caras, lanzamiento de dado o pago).
Valor esperado (media): \(E[X]\), el valor promedio de \(X\) a largo plazo.
Varianza: \(\mathrm{Var}(X)\), la distancia cuadrática promedio desde la media.
Desviación estándar: \(\sigma\), la raíz cuadrada de la varianza, medida en las mismas unidades que \(X\).
Distribución de probabilidad: la lista (o regla) de valores posibles y sus probabilidades.
Comprobación rápida previo
Chequeo previo 1: ¿Cuál es el valor esperado de lanzar un dado justo de seis caras?
Pista: Para un dado justo, \(E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\).
Chequeo previo 2: Sea \(X\) una variable que toma valores \(1\) y \(3\), cada uno con probabilidad \(1/2\). ¿Cuál es \(\mathrm{Var}(X)\)?
Pista: Primero halla \(\mu=E[X]\), luego calcula \(E[(X-\mu)^2]\).
Fundamentos del valor esperado
Valor esperado: el promedio ponderado
Objetivo de aprendizaje: Calcular valor esperado desde una tabla de probabilidades e interpretarlo como media a largo plazo.
Idea clave
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles \(x_1,x_2,\dots\) y probabilidades \(p(x_1),p(x_2),\dots\), el valor esperado es el promedio ponderado: \[ E[X] = \sum_x x\,p(x). \] Piensa: "multiplica cada resultado por qué tan seguido ocurre y luego suma".
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Una bolsa contiene \(\{0,5\}\) con la misma probabilidad. ¿Cuál es el valor esperado de extraer?
Cada valor tiene probabilidad \(1/2\). Entonces: \[ E[X] = 0\cdot \frac12 + 5\cdot \frac12 = 2.5. \] El resultado medio es \(2.5\), aunque \(2.5\) no sea un resultado que puedas extraer.
Inténtalo
Inténtalo 1: Un dado justo de tres caras tiene caras \(1,2,3\). ¿Cuál es el valor esperado?
Pista: \(E[X]=\dfrac{1+2+3}{3}\).
Inténtalo 2: \(X\) toma valores \(10, 20, 30\) con probabilidades \(0.2, 0.3, 0.5\). ¿Cuál es \(E[X]\)?
Pista: Multiplica cada valor por su probabilidad y suma: \(10(0.2)+20(0.3)+30(0.5)\).
Resumen
El valor esperado es un promedio ponderado: \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Representa la media a largo plazo, no necesariamente un valor que puedas observar en un solo ensayo.
Linealidad y sumas
Linealidad de la esperanza: tu mejor atajo
Objetivo de aprendizaje: Usar la linealidad para calcular rápidamente valores esperados de sumas y variables escaladas.
Idea clave
La linealidad de la esperanza funciona siempre: \[ E[aX+b]=aE[X]+b,\quad E[X+Y]=E[X]+E[Y]. \] No necesitas independencia para que los valores esperados se sumen.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Cuál es el número esperado de caras en 2 lanzamientos de una moneda justa?
Sea \(X\) el número de caras en 2 lanzamientos. Piensa en \(X\) como una suma: \[ X = I_1 + I_2, \] donde \(I_k=1\) si el lanzamiento \(k\) es cara y \(0\) en otro caso. Para una moneda justa, \(E[I_k]=0.5\). Entonces: \[ E[X]=E[I_1]+E[I_2]=0.5+0.5=1. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la suma esperada al lanzar dos dados justos de seis caras?
Pista: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) y cada dado tiene media \(3.5\).
Inténtalo 2: Una lotería paga \(3\) con probabilidad \(\tfrac13\) y \(0\) en otro caso. ¿Cuál es el valor esperado?
Sumas: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (no se requiere independencia).
Fundamentos de varianza
Varianza: medir dispersión alrededor de la media
Objetivo de aprendizaje: Calcular varianza usando la definición y la identidad rápida \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
Idea clave
Si \(\mu=E[X]\), entonces: \[ \mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]. \] El atajo más útil es: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2. \] Esto evita expandir \((X-\mu)^2\) para cada resultado.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Una bolsa contiene \(\{2,4,6\}\) con la misma probabilidad. ¿Cuál es la varianza?
Objetivo de aprendizaje: Aplicar correctamente reglas de varianza y saber cuándo importa la independencia.
Idea clave
Dos reglas esenciales: \[ \mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X), \] y para sumas: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). \] Si \(X\) e \(Y\) son independientes, entonces \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) y las varianzas se suman: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). \]
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Cuál es la varianza del número de caras en dos lanzamientos de moneda justa?
Si \(X\sim \text{Binomial}(n=2,p=0.5)\), entonces: \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=2(0.5)(0.5)=0.5. \] Esto coincide con la idea de que los conteos de caras varían, pero no de forma extrema, en 2 lanzamientos.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(\mathrm{Var}(X)=9\), ¿cuál es \(\mathrm{Var}(2X-5)\)?
Pista: Usa \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). El "\(-5\)" no cambia la varianza.
Inténtalo 2: Sean \(X\) e \(Y\) independientes con \(\mathrm{Var}(X)=2\) y \(\mathrm{Var}(Y)=3\). ¿Cuál es \(\mathrm{Var}(X+Y)\)?
Pista: La independencia hace que la covarianza sea \(0\), así que las varianzas se suman.
Resumen
Trasladar no cambia la varianza; escalar por \(a\) multiplica la varianza por \(a^2\).
Para sumas independientes, suma varianzas.
Distribuciones comunes
Distribuciones comunes y fórmulas más rápidas
Objetivo de aprendizaje: Reconocer modelos estándar (Bernoulli, Binomial, Uniforme) y usar sus fórmulas de media/varianza.
Idea clave
Algunas distribuciones aparecen en todas partes:
Bernoulli(\(p\)) (un ensayo, \(X\in\{0,1\}\)): \(E[X]=p\), \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\).
Binomial(\(n,p\)) (suma de \(n\) ensayos Bernoulli independientes): \(E[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Inténtalo 1: Una bolsa contiene \(\{1,10\}\) con la misma probabilidad. ¿Cuál es el valor esperado de extraer?
Pista: Promedia los dos valores: \(\frac{1+10}{2}\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la varianza de extraer de \(\{1,4,7\}\) con la misma probabilidad?
Pista: La media es \(4\). Calcula \(E[X^2]=\frac{1^2+4^2+7^2}{3}\), luego resta \(4^2\).
Resumen
Usa \(E[X]\) como promedio ponderado para hallar rápidamente la media.
Usa \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) para varianza rápida.
Aplicaciones y panorama general
Por qué importan el valor esperado y la varianza
Objetivo de aprendizaje: Conectar media y dispersión con la toma de decisiones y terminar con una comprobación final.
Dónde aparecen estas ideas
Juegos y justicia: el valor esperado te dice una cuota de entrada justa; la varianza te dice el riesgo.
Estadística: media y varianza resumen distribuciones y sostienen intervalos de confianza.
Datos y simulación: las estimaciones Monte Carlo dependen del valor esperado y miden el error con varianza.
Finanzas y planificación: rendimiento promedio vs. volatilidad (dispersión) es una historia de media/varianza.
Ejemplo resuelto: un juego simple de ganancia
Ejemplo: Un juego paga \(+2\) con probabilidad \(0.4\) y \(-1\) con probabilidad \(0.6\). ¿Cuál es la ganancia esperada?
\[ E[X] = 2(0.4)+(-1)(0.6)=0.8-0.6=0.2. \] Un valor esperado positivo significa que el juego es favorable en promedio, aunque puedas perder en una sola jugada.
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la varianza de ese dado sesgado (valores \(1\) o \(2\) con la misma probabilidad)?
Pista: \(\mu=\frac{1+2}{2}=1.5\). Usa \(E[X^2]-\mu^2\) con \(E[X^2]=\frac{1^2+2^2}{2}=\frac{5}{2}\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es la varianza del número de caras en dos lanzamientos de una moneda justa?
Pista: Usa Binomial(\(n=2,p=0.5\)): \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Repaso final
El valor esperado es un promedio ponderado: \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Linealidad: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) y \(E[aX+b]=aE[X]+b\).
Reglas de varianza: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\); las sumas independientes suman varianzas.
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, medida en las mismas unidades que \(X\).
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con la habilidad que necesitas (valor esperado, varianza o reglas clave).
Serie de práctica
Preguntas de práctica de Valor esperado y varianza con puntuación instantánea
Responde las 10 preguntas de abajo y recibe tu puntuación final con una revisión de errores para saber exactamente qué mejorar.
0/10respondidas
Pregunta 1Sin responder
Una moneda justa paga \(1\) dólar por cara y \(0\) dólares por cruz. ¿Cuál es el pago esperado?
Respuesta correcta: C. \(\tfrac12\)
Explicación: El valor esperado es el promedio: \(E = \tfrac{1+0}{2} = \tfrac12\).
Pregunta 2Sin responder
Una ruleta cae en \(2\) con probabilidad \(0.2\), en \(4\) con probabilidad \(0.3\) y en \(8\) con probabilidad \(0.5\). ¿Cuál es el valor esperado?
¿Cuál es el valor esperado de un dado justo de seis caras, con caras del \(1\) al \(6\)?
Respuesta correcta: B. \(3.5\)
Explicación: Promedio de las caras: \((1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5\).
Pregunta 4Sin responder
¿Cuál es la varianza de una moneda justa que paga \(1\) por cara y \(0\) por cruz?
Respuesta correcta: C. \(0.25\)
Explicación: La varianza es \(p(1-p) = 0.5\times0.5 = 0.25\).
Pregunta 5Sin responder
Una moneda sesgada cae en cara (que vale \(2\)) con probabilidad \(0.7\) y en cruz (que vale \(0\)) con probabilidad \(0.3\). ¿Cuál es su valor esperado?
Respuesta correcta: A. \(1.4\)
Explicación: Valor esperado: \(2\times0.7 + 0\times0.3 = 1.4\).
Pregunta 6Sin responder
¿Cuál es la suma esperada al lanzar dos dados justos de seis caras?
Respuesta correcta: D. \(7\)
Explicación: Cada dado tiene EV \(3.5\), así que el total = \(3.5 + 3.5 = 7\).
Pregunta 7Sin responder
Si lanzas dos monedas justas y cuentas el número de caras, ¿cuál es la cantidad esperada?
Respuesta correcta: A. \(1\)
Explicación: Binomial con \(n=2, p=0.5\): EV = \(np = 2\times0.5 = 1\).
Pregunta 8Sin responder
¿Cuál es la varianza del número de caras en dos lanzamientos de una moneda justa?
Respuesta correcta: D. \(0.5\)
Explicación: Var = \(np(1-p) = 2\times0.5\times0.5 = 0.5\).
Pregunta 9Sin responder
Un juego paga \(+3\) con probabilidad \(0.5\) y \(-1\) con probabilidad \(0.5\). ¿Cuál es el pago esperado?
Respuesta correcta: C. \(1\)
Explicación: EV = \(0.5\times3 + 0.5\times(-1) = 1\).
Pregunta 10Sin responder
Una lotería paga \(5\) con probabilidad \(0.2\) y \(0\) con probabilidad \(0.8\). ¿Cuál es su valor esperado?
Respuesta correcta: A. \(1\)
Explicación: EV = \(5\times0.2 + 0\times0.8 = 1\).
