Тренировочный тест по математическому ожиданию и дисперсии с пошаговым интерактивным уроком
Используйте вопросы ниже на странице, чтобы отрабатывать математическое ожидание и дисперсию в вероятности и статистике: вычислять среднее (математическое ожидание) дискретной случайной величины по \(E[X]=\sum x\,p(x)\), использовать быстрое тождество для дисперсии \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\), интерпретировать стандартное отклонение как разброс и применять основные правила, такие как линейность ожидания \(E[aX+b]=aE[X]+b\) и правило масштабирования \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). Если хотите освежить материал с разобранными примерами (кубики, монеты, спиннеры и небольшие распределения), нажмите Начать урок.
Ответьте на набор вопросов и разберите ошибки в конце.
Как устроена тренировка по математическому ожиданию и дисперсии
1. Выполните набор практики: ответьте на вопросы по математическому ожиданию и дисперсии ниже на странице.
2. Откройте урок (необязательно): повторите формулы, сокращения и распространенные вероятностные распределения на пошаговых примерах.
3. Повторите: вернитесь к набору вопросов и сразу примените правила \(E[X]\) и \(\mathrm{Var}(X)\).
Что вы изучите в уроке по математическому ожиданию и дисперсии
Основы математического ожидания (среднего)
Дискретное ожидание: \(E[X]=\sum x\,p(x)\)
Интерпретация: долгосрочное среднее и “справедливая цена” игры
Линейность: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (работает даже без независимости)
Дисперсия и стандартное отклонение
Определение дисперсии: \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\)
Цель: Сформировать ясное и надежное понимание математического ожидания (среднего) и дисперсии (разброса), чтобы вы могли быстро и правильно вычислять \(E[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\) и стандартное отклонение для распространенных вероятностных распределений.
Критерии успеха
Вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины по \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Использовать линейность ожидания (включая \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\)).
Вычислять дисперсию по \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\) и сокращению \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\).
Переходить между дисперсией и стандартным отклонением: \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Применять ключевые правила: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) и (если независимы) \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
Работать с классическими контекстами: кубики, монеты, спиннеры и небольшие таблицы выигрышей.
Ключевые термины
Случайная величина: числовой исход, возникающий случайно (например число орлов, бросок кубика или выплата).
Математическое ожидание (среднее): \(E[X]\), долгосрочное среднее значение \(X\).
Дисперсия: \(\mathrm{Var}(X)\), средний квадрат расстояния от среднего.
Стандартное отклонение: \(\sigma\), квадратный корень из дисперсии, измеряется в тех же единицах, что и \(X\).
Распределение вероятностей: список (или правило) возможных значений и их вероятностей.
Подсказка: для честного кубика \(E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\).
Проверка 2: Пусть \(X\) принимает значения \(1\) и \(3\), каждое с вероятностью \(1/2\). Чему равна \(\mathrm{Var}(X)\)?
Подсказка: сначала найдите \(\mu=E[X]\), затем вычислите \(E[(X-\mu)^2]\).
Основы ожидания
Математическое ожидание: взвешенное среднее
Цель обучения: Вычислять математическое ожидание по таблице вероятностей и интерпретировать его как долгосрочное среднее.
Ключевая идея
Для дискретной случайной величины с возможными значениями \(x_1,x_2,\dots\) и вероятностями \(p(x_1),p(x_2),\dots\), математическое ожидание - это взвешенное среднее: \[ E[X] = \sum_x x\,p(x). \] Идея: "умножьте каждый исход на то, как часто он происходит, затем сложите."
Разобранный пример
Пример: В мешке значения \(\{0,5\}\) равновероятны. Каково ожидаемое извлечение?
Каждое значение имеет вероятность \(1/2\). Поэтому: \[ E[X] = 0\cdot \frac12 + 5\cdot \frac12 = 2.5. \] Средний исход равен \(2.5\), хотя \(2.5\) нельзя извлечь как отдельный исход.
Оно представляет долгосрочное среднее, но не обязательно значение, которое можно увидеть в одном испытании.
Линейность и суммы
Линейность ожидания: лучшее сокращение
Цель обучения: Использовать линейность, чтобы быстро вычислять ожидания сумм и масштабированных переменных.
Ключевая идея
Линейность ожидания работает всегда: \[ E[aX+b]=aE[X]+b,\quad E[X+Y]=E[X]+E[Y]. \] Для сложения математических ожиданий не нужна независимость.
Разобранный пример
Пример: Каково ожидаемое число орлов в 2 подбрасываниях честной монеты?
Пусть \(X\) - число орлов в 2 подбрасываниях. Думайте о \(X\) как о сумме: \[ X = I_1 + I_2, \] где \(I_k=1\), если подбрасывание \(k\) - орел, и \(0\) иначе. Для честной монеты \(E[I_k]=0.5\). Поэтому: \[ E[X]=E[I_1]+E[I_2]=0.5+0.5=1. \]
Попробуйте
Попробуйте 1: Каково ожидаемое значение суммы при броске двух честных шестигранных кубиков?
Подсказка: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\), и каждый кубик имеет среднее \(3.5\).
Попробуйте 2: Лотерея выплачивает \(3\) с вероятностью \(\tfrac13\) и \(0\) иначе. Каково математическое ожидание?
Суммы: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (независимость не требуется).
Основы дисперсии
Дисперсия: мера разброса вокруг среднего
Цель обучения: Вычислять дисперсию по определению и быстрому тождеству \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
Ключевая идея
Если \(\mu=E[X]\), то: \[ \mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]. \] Самое полезное сокращение: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2. \] Оно позволяет не раскрывать \((X-\mu)^2\) для каждого исхода.
Разобранный пример
Пример: В мешке значения \(\{2,4,6\}\) равновероятны. Какова дисперсия?
Сначала вычислите среднее: \[ \mu = E[X]=\frac{2+4+6}{3}=4. \] Теперь вычислите \(E[X^2]\): \[ E[X^2]=\frac{2^2+4^2+6^2}{3}=\frac{4+16+36}{3}=\frac{56}{3}. \] Поэтому: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2=\frac{56}{3}-16=\frac{8}{3}. \]
Попробуйте
Попробуйте 1: Какова дисперсия честного трехсекторного спиннера со значениями \(0,1,2\)?
Подсказка: \(\mu=1\). Вычислите \(E[X^2]=\frac{0^2+1^2+2^2}{3}=\frac{5}{3}\), затем вычтите \(1^2\).
Попробуйте 2: Какова дисперсия этой выплаты монеты (\(-1\) или \(+1\) с равными вероятностями)?
Цель обучения: Правильно применять правила дисперсии и знать, когда важна независимость.
Ключевая идея
Два важных правила: \[ \mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X), \] а для сумм: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). \] Если \(X\) и \(Y\) независимы, то \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\), и дисперсии складываются: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). \]
Разобранный пример
Пример: Какова дисперсия числа орлов в двух подбрасываниях честной монеты?
Если \(X\sim \mathrm{Bin}(n=2,p=0.5)\), то: \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=2(0.5)(0.5)=0.5. \] Это согласуется с идеей, что число орлов меняется, но не слишком сильно, за 2 подбрасывания.
Попробуйте
Попробуйте 1: Если \(\mathrm{Var}(X)=9\), чему равно \(\mathrm{Var}(2X-5)\)?
Подсказка: используйте \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). "\(-5\)" не меняет дисперсию.
Попробуйте 2: Пусть \(X\) и \(Y\) независимы, \(\mathrm{Var}(X)=2\) и \(\mathrm{Var}(Y)=3\). Чему равно \(\mathrm{Var}(X+Y)\)?
Подсказка: независимость делает ковариацию равной \(0\), поэтому дисперсии складываются.
Итог
Сдвиг не меняет дисперсию; масштабирование на \(a\) умножает дисперсию на \(a^2\).
Для независимых сумм складывайте дисперсии.
Распространенные распределения
Распространенные распределения и самые быстрые формулы
Цель обучения: Распознавать стандартные модели (Бернулли, биномиальное, равномерное) и использовать их формулы среднего/дисперсии.
Ключевая идея
Некоторые распределения встречаются повсюду:
Распределение Бернулли с параметром \(p\) (одно испытание, \(X\in\{0,1\}\)): \(E[X]=p\), \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\).
Биномиальное распределение с параметрами \(n,p\) (сумма \(n\) независимых испытаний Бернулли): \(E[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Равномерное распределение на \([0,1]\): \(E[X]=\tfrac12\), \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{12}\).
Разобранный пример
Пример: Смещенная монета имеет \(p=0.3\) для орла. Пусть \(X=1\) для орла и \(0\) для решки. Чему равны \(E[X]\) и \(\mathrm{Var}(X)\)?
Это Бернулли(\(p=0.3\)). Поэтому: \[ E[X]=p=0.3,\quad \mathrm{Var}(X)=p(1-p)=0.3(0.7)=0.21. \]
Попробуйте
Попробуйте 1: Для равномерной случайной величины на \([0,1]\), чему равно \(E[X]\)?
Подсказка: среднее равномерного распределения на \([a,b]\) равно \(\frac{a+b}{2}\).
Попробуйте 2: Для равномерной случайной величины на \([0,1]\), чему равна \(\mathrm{Var}(X)\)?
Попробуйте 1: В мешке значения \(\{1,10\}\), равновероятные. Каково ожидаемое извлечение?
Подсказка: усредните два значения: \(\frac{1+10}{2}\).
Попробуйте 2: Какова дисперсия извлечения из \(\{1,4,7\}\) с равными вероятностями?
Подсказка: среднее равно \(4\). Вычислите \(E[X^2]=\frac{1^2+4^2+7^2}{3}\), затем вычтите \(4^2\).
Итог
Используйте \(E[X]\) как взвешенное среднее, чтобы быстро находить среднее.
Используйте \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) для быстрой дисперсии.
Применения и общая картина
Почему важны математическое ожидание и дисперсия
Цель обучения: Связать среднее и разброс с принятием решений и завершить финальной проверкой.
Где встречаются эти идеи
Игры и справедливость: математическое ожидание дает справедливую плату за вход; дисперсия показывает риск.
Статистика: среднее и дисперсия описывают распределения и поддерживают доверительные интервалы.
Данные и моделирование: оценки Монте-Карло опираются на математическое ожидание и измеряют ошибку через дисперсию.
Финансы и планирование: средняя доходность против волатильности (разброса) - это история среднего/дисперсии.
Разобранный пример: простая игра с прибылью
Пример: Игра выплачивает \(+2\) с вероятностью \(0.4\) и \(-1\) с вероятностью \(0.6\). Какова ожидаемая прибыль?
\[ E[X] = 2(0.4)+(-1)(0.6)=0.8-0.6=0.2. \] Положительное математическое ожидание означает, что игра в среднем выгодна, даже если в одной игре можно проиграть.
Попробуйте
Попробуйте 1: Какова дисперсия того смещенного кубика (значения \(1\) или \(2\) с равными вероятностями)?
Подсказка: \(\mu=\frac{1+2}{2}=1.5\). Используйте \(E[X^2]-\mu^2\), где \(E[X^2]=\frac{1^2+2^2}{2}=\frac{5}{2}\).
Попробуйте 2: Какова дисперсия числа орлов в двух подбрасываниях честной монеты?
Подсказка: используйте биномиальное распределение с \(n=2,p=0.5\): \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Правила дисперсии: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\); у независимых сумм дисперсии складываются.
Стандартное отклонение - квадратный корень из дисперсии, измеряемый в тех же единицах, что и \(X\).
Следующий шаг: Закройте урок и попробуйте тест снова. Если ошибетесь в вопросе, откройте книгу и повторите страницу с нужным навыком (математическое ожидание, дисперсия или ключевые правила).
Набор практики
Практические вопросы по теме Математическое ожидание и дисперсия с мгновенным результатом
Ответьте на все 10 вопросов ниже, затем получите итоговый результат и разбор ошибок, чтобы точно понять, что улучшить.
0/10отвечено
Вопрос 1Нет ответа
Монета выплачивает \(1\) доллар за орёл и \(0\) долларов за решку. Какова ожидаемая выплата?
Каково математическое ожидание для честного шестигранного кубика с гранями от \(1\) до \(6\)?
Правильный ответ: B. \(3.5\)
Объяснение: Среднее значение граней: \((1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5\).
Вопрос 4Нет ответа
Какова дисперсия честной монеты, которая выплачивает \(1\) за орёл и \(0\) за решку?
Правильный ответ: C. \(0.25\)
Объяснение: Дисперсия равна \(p(1-p) = 0.5\times0.5 = 0.25\).
Вопрос 5Нет ответа
Смещённая монета выпадает орлом (стоимостью \(2\)) с вероятностью \(0.7\) и решкой (стоимостью \(0\)) с вероятностью \(0.3\). Каково её математическое ожидание?
