Kuis Latihan Nilai Harapan & Varians dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk melatih nilai harapan dan varians dalam probabilitas dan statistika: menghitung rata-rata (nilai harapan) dari variabel acak diskret dengan \(E[X]=\sum x\,p(x)\), memakai identitas cepat varians \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\), menafsirkan simpangan baku sebagai penyebaran, dan menerapkan aturan inti seperti linearitas nilai harapan \(E[aX+b]=aE[X]+b\) serta aturan skala \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). Jika Anda ingin penyegaran dengan contoh penyelesaian (dadu, koin, roda putar, dan distribusi kecil), klik Mulai pelajaran.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan nilai harapan & varians ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal nilai harapan dan varians di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau rumus, jalan pintas, dan distribusi probabilitas umum dengan contoh langkah demi langkah.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan aturan \(E[X]\) dan \(\mathrm{Var}(X)\).
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran nilai harapan dan varians
Dasar nilai harapan (rata-rata)
Nilai harapan diskret: \(E[X]=\sum x\,p(x)\)
Interpretasi: rata-rata jangka panjang dan "harga adil" suatu permainan
Linearitas: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (berlaku bahkan tanpa independensi)
Seragam pada \([0,1]\): \(E[X]=\tfrac12\), \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{12}\)
Contoh cepat: Sebuah dadu bersisi enam yang adil memiliki hasil \(1,2,3,4,5,6\). Nilai harapannya adalah
\[
E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
\]
Nilai harapan bukan "lemparan yang paling mungkin" - melainkan rata-rata jangka panjang. Varians mengukur seberapa menyebar hasil di sekitar rata-rata.
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas dan andal tentang nilai harapan (rata-rata) dan varians (penyebaran) sehingga Anda dapat menghitung \(E[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\), dan simpangan baku dengan cepat dan benar untuk distribusi probabilitas umum.
Kriteria keberhasilan
Menghitung nilai harapan untuk variabel acak diskret menggunakan \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Menggunakan linearitas nilai harapan (termasuk \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\)).
Menghitung varians menggunakan \(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]\) dan jalan pintas \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2\).
Mengubah antara varians dan simpangan baku: \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Menerapkan aturan kunci: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\) dan (jika independen) \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).
Menangani konteks klasik: dadu, koin, roda putar, dan tabel pembayaran kecil.
Kosakata kunci
Variabel acak: hasil numerik yang dihasilkan oleh peluang (seperti banyak kepala, hasil dadu, atau pembayaran).
Nilai harapan (rata-rata): \(E[X]\), nilai rata-rata jangka panjang dari \(X\).
Varians: \(\mathrm{Var}(X)\), rata-rata jarak kuadrat dari rata-rata.
Simpangan baku: \(\sigma\), akar kuadrat dari varians, diukur dalam satuan yang sama dengan \(X\).
Distribusi probabilitas: daftar (atau aturan) nilai yang mungkin dan probabilitasnya.
Pra-cek cepat
Pra-cek 1: Berapa nilai harapan dari lemparan dadu bersisi enam yang adil?
Petunjuk: Untuk dadu adil, \(E[X]=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\).
Pra-cek 2: Misalkan \(X\) mengambil nilai \(1\) dan \(3\), masing-masing dengan probabilitas \(1/2\). Berapa \(\mathrm{Var}(X)\)?
Petunjuk: Pertama temukan \(\mu=E[X]\), lalu hitung \(E[(X-\mu)^2]\).
Dasar Nilai Harapan
Nilai harapan: rata-rata berbobot
Tujuan pembelajaran: Hitung nilai harapan dari tabel probabilitas dan tafsirkan sebagai rata-rata jangka panjang.
Ide kunci
Untuk variabel acak diskret dengan nilai mungkin \(x_1,x_2,\dots\) dan probabilitas \(p(x_1),p(x_2),\dots\), nilai harapan adalah rata-rata berbobot: \[ E[X] = \sum_x x\,p(x). \] Pikirkan: "kalikan tiap hasil dengan seberapa sering ia terjadi, lalu jumlahkan."
Contoh dikerjakan
Contoh: Sebuah kantong berisi \(\{0,5\}\) dengan peluang sama. Berapa nilai harapan undiannya?
Setiap nilai memiliki probabilitas \(1/2\). Jadi: \[ E[X] = 0\cdot \frac12 + 5\cdot \frac12 = 2.5. \] Rata-rata hasil adalah \(2.5\), meskipun \(2.5\) bukan hasil yang dapat Anda ambil.
Coba
Coba 1: Dadu bersisi tiga yang adil memiliki sisi \(1,2,3\). Berapa nilai harapannya?
Petunjuk: \(E[X]=\dfrac{1+2+3}{3}\).
Coba 2: \(X\) mengambil nilai \(10, 20, 30\) dengan probabilitas \(0.2, 0.3, 0.5\). Berapa \(E[X]\)?
Petunjuk: Kalikan tiap nilai dengan probabilitasnya lalu jumlahkan: \(10(0.2)+20(0.3)+30(0.5)\).
Ringkasan
Nilai harapan adalah rata-rata berbobot: \(E[X]=\sum x\,p(x)\).
Ini mewakili rata-rata jangka panjang, tidak harus merupakan nilai yang dapat diamati dalam satu percobaan.
Linearitas & Jumlah
Linearitas nilai harapan: jalan pintas terbaik
Tujuan pembelajaran: Gunakan linearitas untuk menghitung nilai harapan dari jumlah dan variabel yang diskalakan dengan cepat.
Ide kunci
Linearitas nilai harapan bekerja selalu: \[ E[aX+b]=aE[X]+b,\quad E[X+Y]=E[X]+E[Y]. \] Anda tidak memerlukan independensi agar nilai harapan dapat dijumlahkan.
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa nilai harapan banyaknya kepala dalam 2 lemparan koin adil?
Misalkan \(X\) adalah banyak kepala dalam 2 lemparan. Pikirkan \(X\) sebagai jumlah: \[ X = I_1 + I_2, \] dengan \(I_k=1\) jika lemparan ke-\(k\) adalah kepala dan \(0\) jika tidak. Untuk koin adil, \(E[I_k]=0.5\). Jadi: \[ E[X]=E[I_1]+E[I_2]=0.5+0.5=1. \]
Coba
Coba 1: Berapa nilai harapan jumlah saat melempar dua dadu bersisi enam yang adil?
Petunjuk: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) dan setiap dadu memiliki rata-rata \(3.5\).
Coba 2: Lotre membayar \(3\) dengan probabilitas \(\tfrac13\) dan \(0\) selain itu. Berapa nilai harapannya?
Jumlah: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) (independensi tidak diperlukan).
Dasar Varians
Varians: mengukur penyebaran di sekitar rata-rata
Tujuan pembelajaran: Hitung varians menggunakan definisi dan identitas cepat \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\).
Ide kunci
Jika \(\mu=E[X]\), maka: \[ \mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]. \] Jalan pintas paling berguna adalah: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2. \] Ini menghindari perluasan \((X-\mu)^2\) untuk setiap hasil.
Contoh dikerjakan
Contoh: Sebuah kantong berisi \(\{2,4,6\}\) dengan peluang sama. Berapa variansnya?
Pertama hitung rata-rata: \[ \mu = E[X]=\frac{2+4+6}{3}=4. \] Sekarang hitung \(E[X^2]\): \[ E[X^2]=\frac{2^2+4^2+6^2}{3}=\frac{4+16+36}{3}=\frac{56}{3}. \] Jadi: \[ \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\mu^2=\frac{56}{3}-16=\frac{8}{3}. \]
Coba
Coba 1: Berapa varians dari roda putar tiga hasil yang adil dengan nilai \(0,1,2\)?
Petunjuk: \(\mu=1\). Hitung \(E[X^2]=\frac{0^2+1^2+2^2}{3}=\frac{5}{3}\), lalu kurangi \(1^2\).
Coba 2: Berapa varians dari pembayaran koin itu (\(-1\) atau \(+1\) dengan peluang sama)?
Tujuan pembelajaran: Terapkan aturan varians dengan benar dan pahami kapan independensi berpengaruh.
Ide kunci
Dua aturan penting: \[ \mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X), \] dan untuk jumlah: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). \] Jika \(X\) dan \(Y\) independen, maka \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\) dan varians dijumlahkan: \[ \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). \]
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa varians banyaknya kepala dalam dua lemparan koin adil?
Jika \(X\sim \text{Binomial}(n=2,p=0.5)\), maka: \[ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=2(0.5)(0.5)=0.5. \] Ini cocok dengan gagasan bahwa jumlah kepala bervariasi, tetapi tidak terlalu liar, dalam 2 lemparan.
Coba
Coba 1: Jika \(\mathrm{Var}(X)=9\), berapa \(\mathrm{Var}(2X-5)\)?
Petunjuk: Gunakan \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\). "\(-5\)" tidak mengubah varians.
Coba 2: Misalkan \(X\) dan \(Y\) independen dengan \(\mathrm{Var}(X)=2\) dan \(\mathrm{Var}(Y)=3\). Berapa \(\mathrm{Var}(X+Y)\)?
Petunjuk: Independensi membuat kovarians \(0\), jadi varians dijumlahkan.
Ringkasan
Geser tidak mengubah varians; mengalikan dengan \(a\) mengalikan varians dengan \(a^2\).
Untuk jumlah independen, jumlahkan varians.
Distribusi Umum
Distribusi umum dan rumus tercepat
Tujuan pembelajaran: Kenali model standar (Bernoulli, Binomial, Seragam) dan gunakan rumus rata-rata/variansnya.
Coba 1: Sebuah kantong berisi \(\{1,10\}\) dengan peluang sama. Berapa nilai harapan undiannya?
Petunjuk: Ambil rata-rata dua nilai: \(\frac{1+10}{2}\).
Coba 2: Berapa varians dari mengambil nilai dari \(\{1,4,7\}\) dengan peluang sama?
Petunjuk: Rata-ratanya \(4\). Hitung \(E[X^2]=\frac{1^2+4^2+7^2}{3}\), lalu kurangi \(4^2\).
Ringkasan
Gunakan \(E[X]\) sebagai rata-rata berbobot untuk menemukan rata-rata dengan cepat.
Gunakan \(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\) untuk varians cepat.
Aplikasi & Gambaran Besar
Mengapa nilai harapan dan varians penting
Tujuan pembelajaran: Hubungkan rata-rata dan penyebaran dengan pengambilan keputusan, lalu akhiri dengan cek akhir.
Di mana ide ini muncul
Permainan dan keadilan: nilai harapan memberi biaya masuk yang adil; varians memberi risiko.
Statistika: rata-rata dan varians merangkum distribusi dan mendukung interval kepercayaan.
Data dan simulasi: estimasi Monte Carlo bergantung pada nilai harapan dan mengukur galat dengan varians.
Keuangan dan perencanaan: imbal hasil rata-rata dibandingkan volatilitas (penyebaran) adalah cerita rata-rata/varians.
Contoh dikerjakan: permainan laba sederhana
Contoh: Sebuah permainan membayar \(+2\) dengan probabilitas \(0.4\) dan \(-1\) dengan probabilitas \(0.6\). Berapa laba harapannya?
\[ E[X] = 2(0.4)+(-1)(0.6)=0.8-0.6=0.2. \] Nilai harapan positif berarti permainan menguntungkan secara rata-rata, meskipun Anda bisa kalah dalam satu permainan.
Coba
Coba 1: Berapa varians dari dadu bias itu (nilai \(1\) atau \(2\) dengan peluang sama)?
Petunjuk: \(\mu=\frac{1+2}{2}=1.5\). Gunakan \(E[X^2]-\mu^2\) dengan \(E[X^2]=\frac{1^2+2^2}{2}=\frac{5}{2}\).
Coba 2: Berapa varians banyaknya kepala dalam dua lemparan koin adil?
Aturan varians: \(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\); jumlah independen menjumlahkan varians.
Simpangan baku adalah akar kuadrat varians, diukur dalam satuan yang sama dengan \(X\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan yang Anda butuhkan (nilai harapan, varians, atau aturan kunci).
Set latihan
Soal latihan Nilai Harapan & Varians dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Koin adil membayar \(1\) dolar untuk sisi gambar dan \(0\) dolar untuk sisi angka. Berapa nilai harapan pembayarannya?
Jawaban benar: C. \(\tfrac12\)
Penjelasan: Nilai harapan adalah rata-rata: \(E = \tfrac{1+0}{2} = \tfrac12\).
Soal 2Belum dijawab
Sebuah pemutar berhenti pada \(2\) dengan probabilitas \(0.2\), pada \(4\) dengan probabilitas \(0.3\), dan pada \(8\) dengan probabilitas \(0.5\). Berapa nilai harapannya?
Berapa varians dari koin adil yang membayar \(1\) untuk sisi gambar dan \(0\) untuk sisi angka?
Jawaban benar: C. \(0.25\)
Penjelasan: Varians adalah \(p(1-p) = 0.5\times0.5 = 0.25\).
Soal 5Belum dijawab
Sebuah koin bias menghasilkan sisi gambar (bernilai \(2\)) dengan probabilitas \(0.7\) dan sisi angka (bernilai \(0\)) dengan probabilitas \(0.3\). Berapa nilai harapannya?
Jawaban benar: A. \(1.4\)
Penjelasan: Nilai harapan: \(2\times0.7 + 0\times0.3 = 1.4\).
Soal 6Belum dijawab
Berapa jumlah nilai harapan saat melempar dua dadu adil bersisi enam?
Jawaban benar: D. \(7\)
Penjelasan: Setiap dadu memiliki nilai harapan \(3.5\), jadi total = \(3.5 + 3.5 = 7\).
Soal 7Belum dijawab
Jika kamu melempar dua koin adil dan menghitung banyaknya sisi gambar, berapa nilai harapannya?
Jawaban benar: A. \(1\)
Penjelasan: Binomial dengan \(n=2, p=0.5\): nilai harapan = \(np = 2\times0.5 = 1\).
Soal 8Belum dijawab
Berapa varians banyaknya sisi gambar pada dua kali pelemparan koin adil?
Jawaban benar: D. \(0.5\)
Penjelasan: Var = \(np(1-p) = 2\times0.5\times0.5 = 0.5\).
Soal 9Belum dijawab
Sebuah permainan membayar \(+3\) dengan probabilitas \(0.5\) dan \(-1\) dengan probabilitas \(0.5\). Berapa nilai harapan pembayarannya?
Jawaban benar: C. \(1\)
Penjelasan: Nilai harapan = \(0.5\times3 + 0.5\times(-1) = 1\).
Soal 10Belum dijawab
Sebuah undian membayar \(5\) dengan probabilitas \(0.2\) dan \(0\) dengan probabilitas \(0.8\). Berapakah nilai harapannya?
