Quiz d’entraînement sur la valeur absolue avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner sur la valeur absolue : calculer une valeur absolue (comme \(\lvert -7\rvert\)), simplifier des expressions avec valeur absolue (y compris avec des barres imbriquées et des signes négatifs), utiliser la valeur absolue comme distance sur une droite graduée (\(\lvert a-b\rvert\)), résoudre des équations avec valeur absolue comme \(\lvert ax+b\rvert=c\), résoudre des inéquations avec valeur absolue comme \(\lvert ax+b\rvert<c\) et \(\lvert ax+b\rvert\ge c\), écrire les solutions en notation d’intervalle et comprendre les graphiques de fonctions valeur absolue comme \(y=\lvert x\rvert\) et \(y=\lvert x-h\rvert+k\). Pour revoir la méthode, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide étape par étape avec des exemples et des vérifications rapides.
Comment fonctionne cet entraînement sur la valeur absolue
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur la valeur absolue en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultatif) : revoyez la définition de la valeur absolue, son sens de distance et les étapes fiables pour résoudre les équations et les inéquations.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement les règles de la valeur absolue.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur la valeur absolue
Bases et sens
La définition de la valeur absolue et pourquoi \(\lvert a\rvert \ge 0\)
Distance à zéro et distance entre deux nombres : \(\lvert a-b\rvert\)
Forme par morceaux de \(\lvert x\rvert\) et cas où chaque expression s’applique
Simplifier des expressions avec valeur absolue
Simplifier avec des valeurs absolues imbriquées et des signes négatifs
Ordre des opérations avec les barres de valeur absolue
Erreurs courantes (comme confondre \(-\lvert a\rvert\) et \(\lvert -a\rvert\))
Résoudre des équations avec valeur absolue
Règle de base : \(\lvert A\rvert=c \Rightarrow A=c \text{ ou } A=-c\) (quand \(c\ge 0\))
Résoudre des formes linéaires \(\lvert ax+b\rvert=c\) et vérifier les solutions
Reconnaître les cas sans solution comme \(\lvert A\rvert=-2\)
Inéquations, intervalles et graphiques
Inférieur à : \(\lvert A\rvert<c \Rightarrow -c<A<c\) (inéquations composées)
Supérieur à : \(\lvert A\rvert>c \Rightarrow A>c \text{ ou } A<-c\) (solutions en deux intervalles)
Représentation graphique de \(y=\lvert x\rvert\) et transformations \(y=\lvert x-h\rvert+k\)
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur la valeur absolue.
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Valeur absolue
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Leçon sur la valeur absolue
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Vue d’ensemble de la leçon
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : Construisez une compréhension claire de la valeur absolue afin de simplifier des expressions, interpréter une distance, résoudre des équations et des inéquations avec valeur absolue, puis relier le tout aux graphiques et à la notation d’intervalle.
Critères de réussite
Calculer des valeurs absolues comme \(\lvert -7\rvert\) et expliquer pourquoi le résultat est toujours positif ou nul.
Utiliser la définition par morceaux de \(\lvert x\rvert\) et choisir le bon cas.
Simplifier des expressions avec des valeurs absolues imbriquées et des signes négatifs (par exemple \(-\lvert \lvert -3\rvert\rvert\)).
Utiliser \(\lvert a-b\rvert\) pour trouver la distance entre deux nombres sur une droite graduée.
Résoudre des équations de la forme \(\lvert ax+b\rvert=c\) (et reconnaître les cas sans solution).
Résoudre des inéquations de la forme \(\lvert ax+b\rvert<c\), \(\lvert ax+b\rvert\le c\), \(\lvert ax+b\rvert>c\) et \(\lvert ax+b\rvert\ge c\).
Écrire les ensembles de solutions avec la notation d’intervalle et un raisonnement sur la droite graduée.
Tracer \(y=\lvert x\rvert\) et des transformations comme \(y=\lvert x-h\rvert+k\) (translations du sommet).
Vocabulaire essentiel
Valeur absolue : distance d’un nombre à \(0\) sur la droite graduée (toujours \(\ge 0\)).
Distance : entre \(a\) et \(b\), elle vaut \(\lvert a-b\rvert\).
Définition par morceaux : définition qui dépend du signe positif ou négatif d’une quantité.
Ensemble de solutions : toutes les valeurs qui rendent une équation ou une inéquation vraie.
Notation d’intervalle : façon compacte d’écrire des solutions comme \(( -3, 1 )\) ou \((-\infty,-7)\cup(-3,\infty)\).
Petit vérification préalable
Vérification préalable 1 : Que vaut \(\lvert -8\rvert\) ?
Indice : la valeur absolue est une distance à \(0\), elle ne peut donc pas être négative.
Vérification préalable 2 : Résolvez \(\lvert x\rvert=5\). Quel ensemble est correct ?
Indice : \(\lvert x\rvert=5\) signifie que \(x\) est à 5 unités de 0 ; il y a donc deux solutions symétriques.
Définition et simplification
Définition de la valeur absolue et simplification d’expressions
Objectif : Utiliser la définition de \(\lvert x\rvert\) pour simplifier correctement des expressions, y compris avec des valeurs absolues imbriquées et des signes négatifs devant les barres.
Idée clé
La valeur absolue peut être définie par morceaux : \[
\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
Cette définition explique pourquoi \(\lvert x\rvert\) est toujours positif ou nul. Une erreur courante consiste à confondre \(\lvert -x\rvert\) et \(-\lvert x\rvert\) : \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\), mais \(-\lvert x\rvert\) est l’opposé d’un nombre positif ou nul.
Commencez par simplifier la valeur absolue intérieure : \(\lvert -1\rvert=1\). L’expression devient \( -\lvert -1 - 2 \rvert = -\lvert -3\rvert\). Comme \(\lvert -3\rvert=3\), la réponse finale est : \[
-\lvert -\lvert -1 \rvert - 2 \rvert = -3.
\]
À vous
À vous 1 : Simplifiez \(-\lvert \lvert -3 \rvert \rvert\).
Indice : à l’intérieur, \(\lvert -3\rvert=3\). La valeur absolue extérieure garde \(3\), puis le signe négatif donne \(-3\).
À vous 2 : Que vaut \(\lvert 3 - 8 \rvert\) ?
Indice : \(\lvert 3-8\rvert=\lvert -5\rvert\).
Résumé
\(\lvert x\rvert\) est toujours positif ou nul et peut être défini par morceaux.
Attention au signe négatif devant les barres : \(-\lvert x\rvert\) est négatif (sauf si \(x=0\)).
Distance
La valeur absolue comme distance sur la droite graduée
Objectif : Utiliser la valeur absolue pour mesurer une distance à zéro et une distance entre deux nombres, puis utiliser ce sens pour raisonner sur les inéquations.
Idée clé
\(\lvert x\rvert\) est la distance de \(0\) à \(x\). Plus généralement, la distance entre deux nombres \(a\) et \(b\) est : \[
\text{distance}(a,b)=\lvert a-b\rvert.
\]
C’est pourquoi \(\lvert a-b\rvert=\lvert b-a\rvert\) : une distance ne dépend pas du sens.
Exemple guidé
Exemple : Trouvez la distance entre \(-1\) et \(4\).
Utilisez \(\lvert a-b\rvert\) : \[
\lvert -1-4\rvert=\lvert -5\rvert=5.
\]
Les deux nombres sont donc séparés de 5 unités sur la droite graduée.
À vous
À vous 1 : Quelle valeur est la plus grande : \(\lvert 2 - 7 \rvert\) ou \(\lvert -1 - 4 \rvert\) ?
Indice : dans les deux cas, la différence à l’intérieur de la valeur absolue est \(-5\).
À vous 2 : Combien d’entiers vérifient \(\lvert x + 1 \rvert < 2\) ?
Indice : réécrivez sous la forme \(-2<x+1<2\), puis listez les entiers qui conviennent.
Résumé
\(\lvert x\rvert\) est la distance à \(0\).
\(\lvert a-b\rvert\) est la distance entre \(a\) et \(b\).
Équations
Résoudre des équations avec valeur absolue
Objectif : Résoudre des équations comme \(\lvert ax+b\rvert=c\) en séparant en deux cas linéaires.
Idée clé
Si \(c \ge 0\), alors : \[
\lvert A\rvert=c \quad \Rightarrow \quad A=c \text{ ou } A=-c.
\]
Si \(c < 0\), il n’y a aucune solution, car une valeur absolue ne peut pas être négative.
Exemple guidé
Exemple : Résolvez pour \(x\) : \(\lvert 3x + 1 \rvert = 7\).
Posez l’expression à l’intérieur égale à \(7\) puis à \(-7\) : \(3x+1=7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\). \(3x+1=-7 \Rightarrow 3x=-8 \Rightarrow x=-\dfrac{8}{3}\). L’ensemble de solutions est donc \(\left\{2,-\dfrac{8}{3}\right\}\).
À vous
À vous 1 : Résolvez pour \(x\) : \(\lvert 2x - 5 \rvert = 3\).
Indice : posez \(\dfrac{x}{3}-2=1\) ou \(\dfrac{x}{3}-2=-1\).
Résumé
Pour \(\lvert A\rvert=c\) avec \(c\ge 0\), résolvez \(A=c\) et \(A=-c\).
Si \(c<0\), il n’y a aucune solution.
Inéquations Inférieur à
Inéquations avec valeur absolue : inférieur à et au plus
Objectif : Résoudre \(\lvert A\rvert<c\) et \(\lvert A\rvert\le c\) en les transformant en une seule inéquation composée.
Idée clé
Quand \(c \ge 0\) : \[
\lvert A\rvert < c \;\Rightarrow\; -c < A < c,
\qquad
\lvert A\rvert \le c \;\Rightarrow\; -c \le A \le c.
\]
Cela correspond au sens de distance : \(\lvert A\rvert < c\) signifie « \(A\) est à moins de \(c\) unités de \(0\) ».
Exemple guidé
Exemple : Combien de valeurs entières vérifient \(\lvert n + 4 \rvert < 3\) ?
Réécrivez sous forme d’inéquation composée : \[
-3 < n+4 < 3.
\]
Soustrayez 4 : \[
-7 < n < -1.
\]
Les entiers sont \(-6,-5,-4,-3,-2\), donc il y a 5 solutions entières.
À vous
À vous 1 : Combien de solutions entières vérifient \(\lvert 2k + 1 \rvert < 5\) ?
Indice : réécrivez \(-5<2k+1<5\), puis résolvez pour \(k\) et comptez les entiers.
À vous 2 : Combien de valeurs entières vérifient \(\lvert k + 2 \rvert \le 1\) ?
\(\lvert A\rvert<c\) devient \(-c<A<c\) (une seule inéquation d’encadrement).
\(\lvert A\rvert\le c\) devient \(-c\le A\le c\).
Inéquations Supérieur à
Inéquations avec valeur absolue : supérieur à et au moins
Objectif : Résoudre \(\lvert A\rvert>c\) et \(\lvert A\rvert\ge c\) en séparant en deux cas (une réunion d’intervalles).
Idée clé
Quand \(c \ge 0\) : \[
\lvert A\rvert > c \;\Rightarrow\; A > c \text{ ou } A < -c,
\qquad
\lvert A\rvert \ge c \;\Rightarrow\; A \ge c \text{ ou } A \le -c.
\]
Cela correspond à la distance : \(\lvert A\rvert>c\) signifie que \(A\) est à plus de \(c\) unités de \(0\), donc on obtient deux zones séparées.
Exemple guidé
Exemple : Résolvez \(\lvert x - 1\rvert > 2\).
Séparez en deux cas : \[
x-1>2 \quad \text{ou} \quad x-1<-2.
\]
Résolvez chaque cas : \[
x>3 \quad \text{ou} \quad x<-1.
\]
En notation d’intervalle : \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\).
À vous
À vous 1 : Résolvez \(\lvert x + 5 \rvert > 2\).
Indice : écrivez \(x+5>2\) ou \(x+5<-2\).
À vous 2 : Résolvez \(\lvert x - 2 \rvert \ge 5\).
Indice : écrivez \(x-2\ge 5\) ou \(x-2\le -5\).
Résumé
\(\lvert A\rvert>c\) devient \(A>c\) ou \(A<-c\) (réunion de deux intervalles).
\(\lvert A\rvert\ge c\) devient \(A\ge c\) ou \(A\le -c\).
Graphiques Par morceaux
Graphiques de la valeur absolue et point de vue par morceaux
Objectif : Reconnaître la forme en V de \(y=\lvert x\rvert\), utiliser les translations du sommet et relier les graphiques à la définition par morceaux.
Idée clé
Le graphe de \(y=\lvert x\rvert\) a une forme en V avec un sommet en \((0,0)\). On peut le voir comme deux droites : \[
y=\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
Un modèle de transformation utile est : \[
y=\lvert x-h\rvert + k,
\]
ce qui déplace le sommet en \((h,k)\).
Exemple guidé
Exemple : Quel est le sommet de \(y=\lvert x-2\rvert+1\) ?
Le sommet se trouve quand l’intérieur vaut zéro : \(x-2=0 \Rightarrow x=2\). Ensuite \(y=\lvert 0\rvert+1=1\). Le sommet est donc \((2,1)\).
À vous
À vous 1 : Quel est le sommet de \(y=\lvert x+3\rvert-2\) ?
Indice : le sommet est \((h,k)\) pour \(y=\lvert x-h\rvert+k\). Réécrivez \(\lvert x+3\rvert\) sous la forme \(\lvert x-(-3)\rvert\).
À vous 2 : Quelle fonction définie par morceaux est égale à \(\lvert x\rvert\) ?
Indice : la valeur absolue conserve les positifs et transforme les négatifs en positifs.
Résumé
\(y=\lvert x\rvert\) est une courbe en V avec un sommet en \((0,0)\).
\(y=\lvert x-h\rvert+k\) déplace le sommet en \((h,k)\).
La définition par morceaux explique la forme : une droite pour \(x\ge 0\), une autre pour \(x<0\).
Applications Vue d’ensemble
Pourquoi la valeur absolue est importante
Objectif : Relier la valeur absolue aux tolérances réelles et terminer par une vérification finale des règles clés.
Où retrouve-t-on la valeur absolue ?
Distance et géométrie : distance entre deux valeurs sur une droite (\(\lvert a-b\rvert\)).
Erreur et tolérance : être à moins d’une valeur cible (\(\lvert x-\text{cible}\rvert \le \text{tolérance}\)).
Algèbre et graphiques : fonctions en V et transformations.
Inéquations : transformer les énoncés « à moins de » ou « au moins à cette distance » en intervalles.
Exemple guidé : inéquation de tolérance
Exemple : Une mesure \(T\) est à une distance d’au plus \(0.5\) de \(20\). Écrivez l’inéquation et résolvez-la.
« À une distance d’au plus \(0.5\) de \(20\) » signifie : \[
\lvert T-20\rvert \le 0.5.
\]
Réécrivez sous forme d’inéquation composée : \[
-0.5 \le T-20 \le 0.5 \quad \Rightarrow \quad 19.5 \le T \le 20.5.
\]
À vous
À vous 1 : Résolvez \(\lvert x-10\rvert \le 0.5\) en notation d’intervalle.
Indice : « \(\le\) » donne un intervalle fermé entre les deux extrémités.
À vous 2 : Combien de solutions l’équation \(\lvert 3x+1\rvert = -2\) a-t-elle ?
Indice : une valeur absolue est toujours \(\ge 0\), donc elle ne peut pas être égale à un nombre négatif.
Résumé final
\(\lvert x\rvert\) est une distance et est toujours positive ou nulle.
Simplifiez soigneusement : \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\), mais \(-\lvert x\rvert\) est négatif (sauf si \(x=0\)).
Inéquation (supérieur à) : \(\lvert A\rvert>c \Rightarrow A>c\) ou \(A<-c\).
Graphe : \(y=\lvert x-h\rvert+k\) a pour sommet \((h,k)\).
Étape suivante : fermez cette leçon et refaites le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et revoyez la page qui correspond à la compétence sur la valeur absolue dont vous avez besoin.
Série 5+
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