चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ निरपेक्ष मान अभ्यास प्रश्नोत्तरी
पृष्ठ के ऊपर दिए प्रश्नोत्तरी से निरपेक्ष मान का अभ्यास करें: निरपेक्ष मान निकालना (जैसे \(\lvert -7\rvert\)), निरपेक्ष मान व्यंजक सरल करना (अंदर-अंदर पट्टियों और ऋण चिह्नों सहित), संख्या रेखा पर दूरी के रूप में निरपेक्ष मान (\(\lvert a-b\rvert\)), \(\lvert ax+b\rvert=c\) जैसे निरपेक्ष मान समीकरण हल करना, \(\lvert ax+b\rvert<c\) और \(\lvert ax+b\rvert\ge c\) जैसी निरपेक्ष मान असमिकाएं हल करना, अंतराल संकेतन में हल लिखना, और \(y=\lvert x\rvert\) तथा \(y=\lvert x-h\rvert+k\) जैसे निरपेक्ष मान फलनों के ग्राफ समझना। यदि आपको पुनरावृत्ति चाहिए, तो उदाहरणों और त्वरित जांचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
यह निरपेक्ष मान अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए निरपेक्ष मान प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): निरपेक्ष मान की परिभाषा, दूरी का अर्थ, और समीकरणों/असमिकाओं के भरोसेमंद हल चरण दोहराएं।
3. फिर प्रयास करें: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और निरपेक्ष मान नियम तुरंत लागू करें।
निरपेक्ष मान पाठ में आप क्या सीखेंगे
आधार और अर्थ
निरपेक्ष मान की परिभाषा और क्यों \(\lvert a\rvert \ge 0\)
शून्य से दूरी और दो संख्याओं के बीच दूरी: \(\lvert a-b\rvert\)
\(\lvert x\rvert\) का खंडों में रूप और कब कौन सा मामला लागू होता है
निरपेक्ष मान व्यंजक सरल करें
अंदर-अंदर आए निरपेक्ष मानों और ऋण चिह्नों के साथ सरलीकरण
निरपेक्ष मान पट्टियों के साथ क्रियाओं का क्रम
आम गलतियां, जैसे \(-\lvert a\rvert\) और \(\lvert -a\rvert\) को मिलाना
निरपेक्ष मान समीकरण हल करें
मुख्य नियम: \(\lvert A\rvert=c \Rightarrow A=c \text{ or } A=-c\), जब \(c\ge 0\)
\(\lvert ax+b\rvert=c\) जैसे रैखिक रूप हल करना और हल जांचना
\(\lvert A\rvert=-2\) जैसे कोई-हल-नहीं मामलों को पहचानना
असमिकाएं, अंतराल और ग्राफ
से कम: \(\lvert A\rvert<c \Rightarrow -c<A<c\) (संयुक्त असमिकाएं)
से अधिक: \(\lvert A\rvert>c \Rightarrow A>c \text{ or } A<-c\) (दो-अंतराल वाले हल)
\(y=\lvert x\rvert\) और \(y=\lvert x-h\rvert+k\) रूपांतरणों का ग्राफ बनाना
प्रश्नोत्तरी पर वापस
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर वाले प्रश्नोत्तरी पर लौटें और निरपेक्ष मान का अभ्यास जारी रखें।
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निरपेक्ष मान
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निरपेक्ष मान पाठ
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पाठ सारांश
पाठ सारांश
उद्देश्य:निरपेक्ष मान की स्पष्ट समझ बनाएँ ताकि आप व्यंजकों को सरल कर सकें, दूरी समझ सकें, निरपेक्ष मान समीकरण और असमिकाएं हल कर सकें, और इन्हें ग्राफ तथा अंतराल संकेतन से जोड़ सकें।
सफलता मानदंड
\(\lvert -7\rvert\) जैसे निरपेक्ष मान निकालें और समझाएं कि परिणाम ऋणात्मक क्यों नहीं होता।
\(\lvert x\rvert\) की खंडों में परिभाषा का उपयोग करें और तय करें कि कौन सा मामला लागू होता है।
एक-दूसरे के अंदर आए निरपेक्ष मानों और ऋण चिह्नों वाले व्यंजक सरल करें, जैसे \(-\lvert \lvert -3\rvert\rvert\)।
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी निकालने के लिए \(\lvert a-b\rvert\) का उपयोग करें।
\(\lvert ax+b\rvert=c\) रूप के समीकरण हल करें और पहचानें कि कब कोई हल नहीं होता।
\(\lvert ax+b\rvert<c\), \(\lvert ax+b\rvert\le c\), \(\lvert ax+b\rvert>c\), और \(\lvert ax+b\rvert\ge c\) रूप की असमिकाएं हल करें।
अंतराल संकेतन और संख्या-रेखा तर्क से हल समुच्चय लिखें।
\(y=\lvert x\rvert\) और \(y=\lvert x-h\rvert+k\) जैसे रूपांतरणों (शीर्ष के खिसकाव) के ग्राफ बनाएँ।
मुख्य शब्दावली
निरपेक्ष मान: संख्या रेखा पर किसी संख्या की \(0\) से दूरी (हमेशा \(\ge 0\))।
दूरी: \(a\) और \(b\) के बीच दूरी \(\lvert a-b\rvert\) होती है।
खंडों में परिभाषा: ऐसी परिभाषा जो इस पर निर्भर करती है कि कोई मात्रा ऋणात्मक नहीं है या ऋणात्मक है।
हल समुच्चय: वे सभी मान जो किसी समीकरण या असमिका को सही बनाते हैं।
अंतराल संकेतन: \(( -3, 1 )\) या \((-\infty,-7)\cup(-3,\infty)\) जैसे हल लिखने का संक्षिप्त तरीका।
त्वरित पूर्व-जांच
पूर्व-जांच 1: \(\lvert -8\rvert\) कितना है?
संकेत: निरपेक्ष मान \(0\) से दूरी है, इसलिए यह ऋणात्मक नहीं हो सकता।
संकेत: \(\lvert x\rvert=5\) का अर्थ है कि \(x\), 0 से 5 इकाई दूर है, इसलिए दो सममित हल होते हैं।
परिभाषा और सरलीकरण
निरपेक्ष मान की परिभाषा और व्यंजकों का सरलीकरण
सीखने का लक्ष्य: \(\lvert x\rvert\) की परिभाषा से व्यंजकों को सही तरह सरल करें, जिनमें अंदर-अंदर निरपेक्ष मान और पट्टियों के बाहर ऋण चिह्न शामिल हों।
मुख्य विचार
निरपेक्ष मान को खंडों में परिभाषित किया जा सकता है: \[
\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
यह परिभाषा बताती है कि \(\lvert x\rvert\) हमेशा ऋणात्मक नहीं होता। एक आम गलती \(\lvert -x\rvert\) और \(-\lvert x\rvert\) को मिलाना है: \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\), लेकिन \(-\lvert x\rvert\) एक ऋणात्मक-न-होने वाली संख्या का ऋणात्मक है।
पहले अंदर का निरपेक्ष मान सरल करें: \(\lvert -1\rvert=1\)। अब व्यंजक \( -\lvert -1 - 2 \rvert = -\lvert -3\rvert\) बनता है। क्योंकि \(\lvert -3\rvert=3\), अंतिम उत्तर है: \[
-\lvert -\lvert -1 \rvert - 2 \rvert = -3.
\]
संकेत: अंदर \(\lvert -3\rvert=3\) है। बाहरी निरपेक्ष मान इसे \(3\) ही रखता है, फिर ऋण चिह्न इसे \(-3\) बनाता है।
खुद कोशिश 2: \(\lvert 3 - 8 \rvert\) कितना है?
संकेत: \(\lvert 3-8\rvert=\lvert -5\rvert\)।
सारांश
\(\lvert x\rvert\) हमेशा ऋणात्मक नहीं होता और इसे खंडों में परिभाषित किया जा सकता है।
पट्टियों के बाहर ऋण चिह्न से सावधान रहें: \(-\lvert x\rvert\) ऋणात्मक होता है, जब तक \(x=0\) न हो।
दूरी
संख्या रेखा पर दूरी के रूप में निरपेक्ष मान
सीखने का लक्ष्य: शून्य से दूरी और दो संख्याओं के बीच दूरी मापने के लिए निरपेक्ष मान का उपयोग करें, और इसी अर्थ से असमिकाओं पर तर्क करें।
मुख्य विचार
\(\lvert x\rvert\), \(0\) से \(x\) तक की दूरी है। सामान्य रूप से, दो संख्याओं \(a\) और \(b\) के बीच दूरी है: \[
\text{distance}(a,b)=\lvert a-b\rvert.
\]
इसीलिए \(\lvert a-b\rvert=\lvert b-a\rvert\): दूरी दिशा पर निर्भर नहीं करती।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(-1\) और \(4\) के बीच दूरी निकालें।
\(\lvert a-b\rvert\) का उपयोग करें: \[
\lvert -1-4\rvert=\lvert -5\rvert=5.
\]
इसलिए ये संख्याएं संख्या रेखा पर 5 इकाई दूर हैं।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: कौन सा बड़ा है: \(\lvert 2 - 7 \rvert\) या \(\lvert -1 - 4 \rvert\)?
संकेत: दोनों में निरपेक्ष मान के अंदर अंतर \(-5\) है।
खुद कोशिश 2: कितने पूर्णांक \(\lvert x + 1 \rvert < 2\) को संतुष्ट करते हैं?
संकेत: इसे \(-2<x+1<2\) लिखें और काम करने वाले पूर्णांक सूचीबद्ध करें।
सारांश
\(\lvert x\rvert\), \(0\) से दूरी है।
\(\lvert a-b\rvert\), \(a\) और \(b\) के बीच दूरी है।
समीकरण
निरपेक्ष मान समीकरण हल करना
सीखने का लक्ष्य: \(\lvert ax+b\rvert=c\) जैसे समीकरणों को दो रैखिक मामलों में बांटकर हल करें।
मुख्य विचार
यदि \(c \ge 0\), तो: \[
\lvert A\rvert=c \quad \Rightarrow \quad A=c \text{ या } A=-c.
\]
यदि \(c < 0\), तो कोई हल नहीं, क्योंकि निरपेक्ष मान ऋणात्मक नहीं हो सकता।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(x\) के लिए हल करें: \(\lvert 3x + 1 \rvert = 7\)।
अंदर के भाग को \(7\) और \(-7\) के बराबर रखें: \(3x+1=7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\)। \(3x+1=-7 \Rightarrow 3x=-8 \Rightarrow x=-\dfrac{8}{3}\)। इसलिए हल समुच्चय \(\left\{2,-\dfrac{8}{3}\right\}\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(x\) के लिए हल करें: \(\lvert 2x - 5 \rvert = 3\)।
संकेत: \(\dfrac{x}{3}-2=1\) या \(\dfrac{x}{3}-2=-1\) रखें।
सारांश
\(\lvert A\rvert=c\) में \(c\ge 0\) हो तो \(A=c\) और \(A=-c\) हल करें।
यदि \(c<0\), तो कोई हल नहीं होता।
असमिकाएं से कम
निरपेक्ष मान असमिकाएं: से कम और अधिकतम
सीखने का लक्ष्य: \(\lvert A\rvert<c\) और \(\lvert A\rvert\le c\) को एक संयुक्त असमिका में बदलकर हल करें।
मुख्य विचार
जब \(c \ge 0\): \[
\lvert A\rvert < c \;\Rightarrow\; -c < A < c,
\qquad
\lvert A\rvert \le c \;\Rightarrow\; -c \le A \le c.
\]
यह दूरी वाले अर्थ से मेल खाता है: \(\lvert A\rvert < c\) का अर्थ है कि \(A\), \(0\) से \(c\) इकाइयों के अंदर है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: कितने पूर्णांक मान \(\lvert n + 4 \rvert < 3\) को संतुष्ट करते हैं?
इसे संयुक्त असमिका के रूप में लिखें: \[
-3 < n+4 < 3.
\]
4 घटाएं: \[
-7 < n < -1.
\]
पूर्णांक \(-6,-5,-4,-3,-2\) हैं, इसलिए 5 पूर्णांक हल हैं।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: कितने पूर्णांक हल \(\lvert 2k + 1 \rvert < 5\) को संतुष्ट करते हैं?
संकेत: इसे \(-5<2k+1<5\) लिखें, फिर \(k\) के लिए हल करें और पूर्णांक गिनें।
खुद कोशिश 2: कितने पूर्णांक मान \(\lvert k + 2 \rvert \le 1\) को संतुष्ट करते हैं?
संकेत: \(\lvert k+2\rvert\le 1\) का अर्थ है \(-1\le k+2\le 1\)।
सारांश
\(\lvert A\rvert<c\), \(-c<A<c\) बनता है, यानी एक बीच वाली असमिका।
\(\lvert A\rvert\le c\), \(-c\le A\le c\) बनता है।
असमिकाएं से अधिक
निरपेक्ष मान असमिकाएं: से अधिक और कम-से-कम
सीखने का लक्ष्य: \(\lvert A\rvert>c\) और \(\lvert A\rvert\ge c\) को दो मामलों में बांटकर हल करें (अंतरालों का संघ)।
मुख्य विचार
जब \(c \ge 0\): \[
\lvert A\rvert > c \;\Rightarrow\; A > c \text{ या } A < -c,
\qquad
\lvert A\rvert \ge c \;\Rightarrow\; A \ge c \text{ या } A \le -c.
\]
यह दूरी से मेल खाता है: \(\lvert A\rvert>c\) का अर्थ है कि \(A\), \(0\) से \(c\) इकाइयों से अधिक दूर है, इसलिए दो अलग क्षेत्र मिलते हैं।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(\lvert x - 1\rvert > 2\) हल करें।
दो मामलों में बांटें: \[
x-1>2 \quad \text{या} \quad x-1<-2.
\]
हर एक को हल करें: \[
x>3 \quad \text{या} \quad x<-1.
\]
अंतराल संकेतन में: \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\)।
\(\lvert A\rvert>c\), \(A>c\) या \(A<-c\) बनता है (दो अंतरालों का संघ)।
\(\lvert A\rvert\ge c\), \(A\ge c\) या \(A\le -c\) बनता है।
ग्राफ और खंडों में रूप
निरपेक्ष मान के ग्राफ और खंडों में फलन का दृष्टिकोण
सीखने का लक्ष्य: \(y=\lvert x\rvert\) के V आकार को पहचानें, शीर्ष खिसकाव का उपयोग करें, और ग्राफ को खंडों में परिभाषा से जोड़ें।
मुख्य विचार
\(y=\lvert x\rvert\) का ग्राफ \((0,0)\) शीर्ष वाला V है। इसे आप दो रेखाओं की तरह देख सकते हैं: \[
y=\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
एक उपयोगी रूपांतरण पैटर्न है: \[
y=\lvert x-h\rvert + k,
\]
जो शीर्ष को \((h,k)\) पर खिसकाता है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(y=\lvert x-2\rvert+1\) का शीर्ष क्या है?
शीर्ष वहां होता है जहां अंदर का भाग शून्य हो: \(x-2=0 \Rightarrow x=2\)। फिर \(y=\lvert 0\rvert+1=1\)। इसलिए शीर्ष \((2,1)\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(y=\lvert x+3\rvert-2\) का शीर्ष क्या है?
संकेत: \(y=\lvert x-h\rvert+k\) में शीर्ष \((h,k)\) है। \(\lvert x+3\rvert\) को \(\lvert x-(-3)\rvert\) की तरह लिखें।
खुद कोशिश 2: कौन सा खंडों में फलन \(\lvert x\rvert\) के बराबर है?
संकेत: निरपेक्ष मान धनात्मकों को वही रखता है और ऋणात्मकों को धनात्मक बना देता है।
सारांश
\(y=\lvert x\rvert\), \((0,0)\) शीर्ष वाला V आकार है।
\(y=\lvert x-h\rvert+k\) शीर्ष को \((h,k)\) पर खिसकाता है।
खंडों में परिभाषा आकार समझाती है: \(x\ge 0\) के लिए एक रेखा, और \(x<0\) के लिए दूसरी।
अनुप्रयोग और बड़ी तस्वीर
निरपेक्ष मान क्यों महत्वपूर्ण है
सीखने का लक्ष्य: निरपेक्ष मान को वास्तविक जीवन की सहनशीलताओं से जोड़ें और मुख्य नियमों को मजबूत करने वाली अंतिम जांच करें।
निरपेक्ष मान कहां दिखाई देता है
दूरी और ज्यामिति: रेखा पर मान कितनी दूर हैं (\(\lvert a-b\rvert\))।
त्रुटि और सहनशीलता: लक्ष्य मान के अंदर होना (\(\lvert x-\text{target}\rvert \le \text{tolerance}\))।
बीजगणित और ग्राफ: V आकार वाले फलन और रूपांतरण।
असमिकाएं: अंदर या कम-से-कम इतनी दूर वाले कथनों को अंतरालों में बदलना।
हल किया गया उदाहरण: सहनशीलता असमिका
उदाहरण: एक माप \(T\), \(20\) से \(0.5\) इकाई के अंदर है। असमिका लिखें और हल करें।
\(20\) से \(0.5\) के अंदर का अर्थ है: \[
\lvert T-20\rvert \le 0.5.
\]
इसे संयुक्त असमिका के रूप में लिखें: \[
-0.5 \le T-20 \le 0.5 \quad \Rightarrow \quad 19.5 \le T \le 20.5.
\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\lvert x-10\rvert \le 0.5\) को अंतराल संकेतन में हल करें।
संकेत: \(\le\) दो सिरों के बीच बंद अंतराल बनाता है।
असमिका (से अधिक): \(\lvert A\rvert>c \Rightarrow A>c\) या \(A<-c\)।
ग्राफ: \(y=\lvert x-h\rvert+k\) का शीर्ष \((h,k)\) होता है।
अगला कदम: इस पाठ को बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूटे, तो पुस्तक दोबारा खोलें और उस पृष्ठ को दोहराएं जो आपके निरपेक्ष मान कौशल से मेल खाता है।
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