Quiz d’entraînement sur les espaces métriques avec une leçon interactive pas à pas
Utilisez la série de questions plus bas sur la page pour vous entraîner aux espaces métriques : axiomes de métrique, changements d’échelle positifs de métriques, boules ouvertes \(B(a,r)\), boules fermées, ouverts et fermés, points isolés, adhérence, intérieur et frontière, sous-ensembles denses, métriques ayant les mêmes ouverts, convergence \(x_n\to x\), suites de Cauchy, complétude, complétions comme \(\mathbb{Q}\) qui se complète en \(\mathbb{R}\), continuité, continuité uniforme, isométries, métriques produit, compacité et précompacité. Pour réviser, ouvrez la leçon : vous y trouverez des exemples faciles à suivre et des vérifications rapides.
Répondez à la série de questions et révisez vos erreurs à la fin.
Comment fonctionne cet entraînement sur les espaces métriques
1. Faites la série de questions : répondez aux questions sur la métrique, la topologie, la convergence, la complétude et la compacité plus bas sur la page.
2. Ouvrez la leçon : revoyez les définitions et les tests de reconnaissance avec de courts exemples corrigés.
3. Réessayez : revenez à la série de questions et traduisez chaque question en définition ou en théorème avant de choisir.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les espaces métriques
Métriques, boules et exemples
Axiomes de métrique : positivité, séparation, symétrie et inégalité triangulaire.
Boules : \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\) et boules fermées \(\{x:d(x,a)\le r\}\).
Exemples : distance usuelle, changements d’échelle positifs comme \(2d\), métrique discrète et métriques produit.
Ouvert, fermé, dense, frontière
Ouvert et isolé : chaque point d’un ouvert possède une boule contenue dans l’ensemble ; un point isolé possède une boule qui ne contient que lui.
Fermé : les limites des suites convergentes de l’ensemble restent dans l’ensemble.
Dense et topologie : chaque boule ouverte non vide rencontre le sous-ensemble ; deux métriques ayant les mêmes ouverts définissent la même topologie.
Objectif : construire une boîte à outils fiable pour les espaces métriques : vérifier les axiomes de métrique, lire les boules ouvertes et fermées, reconnaître les comportements des ouverts, fermés, ensembles denses, points isolés, intérieurs, frontières et adhérences, traduire les définitions de convergence et de Cauchy en inégalités, reconnaître la complétude et la compacité, et utiliser la continuité, la continuité uniforme, les isométries, les métriques produit et la précompacité sans se fier seulement aux images.
Critères de réussite
Énoncer les quatre axiomes de métrique et utiliser la séparation : \(d(x,y)=0\) si et seulement si \(x=y\).
Calculer des boules ouvertes et des boules fermées dans les métriques usuelles, discrètes, produit et dans les métriques obtenues par changement d’échelle positif.
Reconnaître les sous-ensembles ouverts, fermés, les points isolés, les intérieurs, frontières, adhérences et ensembles denses avec des boules ou des suites.
Expliquer que deux métriques ayant les mêmes ouverts définissent la même topologie.
Traduire \(x_n\to x\) en \(d(x_n,x)\to0\), et prouver l’unicité des limites.
Utiliser la définition de Cauchy et distinguer une suite convergente d’une suite seulement de Cauchy dans les espaces incomplets.
Savoir que \(\mathbb{R}\) est complet, que \(\mathbb{Q}\) n’est pas complet, que tout espace métrique fini est complet et que la complétion de \(\mathbb{Q}\) est \(\mathbb{R}\).
Utiliser la continuité par \(\varepsilon\)-\(\delta\), les suites, les images réciproques d’ouverts et le fait que la continuité uniforme préserve les suites de Cauchy.
Reconnaître les espaces métriques compacts par la compacité séquentielle et par la complétude plus la précompacité.
Éviter le piège selon lequel fermé et borné impliquerait toujours compact dans tout espace métrique.
Vocabulaire clé
Métrique : une fonction distance \(d:X\times X\to[0,\infty)\) vérifiant la séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire.
Boule ouverte : \(B(a,r)=\{x\in X:d(x,a)<r\}\).
Suite de Cauchy : les termes finissent par devenir arbitrairement proches les uns des autres.
Espace complet : toute suite de Cauchy converge vers un point de l’espace.
Sous-ensemble dense : chaque boule ouverte non vide rencontre le sous-ensemble ; de façon équivalente, l’adhérence est l’espace entier.
Précompact : pour tout \(\varepsilon>0\), un nombre fini de boules de rayon \(\varepsilon\) recouvre l’espace.
Vérification rapide initiale
Vérification initiale : quelle affirmation fait partie de la définition d’une métrique ?
Indice : une métrique doit séparer les points ; la distance nulle est donc réservée aux points identiques.
Une métrique est une distance abstraite avec des tests concrets par boules
Objectif d’apprentissage : vérifier si une formule se comporte comme une distance et calculer des boules dans des métriques simples.
Idée clé
Une métrique \(d\) sur \(X\) associe un nombre positif ou nul à chaque paire de points. Elle doit vérifier \(d(x,y)=0\) exactement lorsque \(x=y\), la symétrie \(d(x,y)=d(y,x)\), et l’inégalité triangulaire \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\). L’inégalité triangulaire est le moteur principal derrière l’unicité des limites et les estimations de continuité.
Exemples
Métrique usuelle : sur \(\mathbb{R}\), \(d(x,y)=|x-y|\).
Changement d’échelle positif : si \(d\) est une métrique, alors \(d_2(x,y)=2d(x,y)\) est aussi une métrique.
Métrique discrète : \(d(x,y)=0\) si \(x=y\), et \(d(x,y)=1\) si \(x≠ y\).
Métrique produit : \(d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')\) est une métrique sur \(X\times Y\).
Une boule ouverte est \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\). Une boule fermée est \(\overline{B}(a,r)=\{x:d(x,a)\le r\}\). Dans des métriques inhabituelles, les boules peuvent être très différentes d’intervalles ou de disques ronds.
Exemple corrigé
Exemple : dans la métrique discrète, que vaut \(B(a,1/2)\) ?
Tout point \(x≠ a\) vérifie \(d(x,a)=1\), ce qui n’est pas strictement inférieur à \(1/2\). Le centre a une distance \(0\). Donc \(B(a,1/2)=\{a\}\).
À vous
À vous : dans la métrique discrète, que vaut \(B(a,1/2)\) ?
Indice : comparez le rayon \(1/2\) avec la distance de \(a\) à tout point différent.
La topologie métrique est contrôlée par les boules
Objectif d’apprentissage : décider si des points sont intérieurs, frontières, adhérents, isolés ou points de densité en utilisant des boules ouvertes.
Idée clé
Un ensemble \(U\subseteq X\) est ouvert si tout \(u\in U\) possède une boule \(B(u,r)\subseteq U\). Un ensemble \(F\) est fermé s’il contient les limites de toutes les suites convergentes issues de \(F\). Dans les espaces métriques, le langage séquentiel suffit généralement pour tester la fermeture.
Liste de reconnaissance
Intérieur : \(x\) est intérieur à \(A\) si une boule autour de \(x\) est contenue dans \(A\).
Adhérence : \(x\in\overline{A}\) si toute boule autour de \(x\) rencontre \(A\).
Frontière : toute boule autour de \(x\) rencontre à la fois \(A\) et \(X\setminus A\).
Point isolé : \(a\) est isolé si une boule ouverte autour de \(a\) ne contient que \(a\).
Même topologie : deux métriques définissent la même topologie lorsqu’elles ont les mêmes ouverts.
Fermé : \(A=\overline{A}\), ou de façon équivalente \(A\) contient toutes ses limites séquentielles.
Dans la métrique discrète : tout sous-ensemble est ouvert, et tout sous-ensemble est aussi fermé.
Densité
Un sous-ensemble \(D\) est dense dans \(X\) lorsque \(\overline{D}=X\). De façon équivalente, toute boule ouverte non vide de \(X\) rencontre \(D\). La densité ne signifie pas \(D=X\) ; elle signifie que \(D\) est présent à toute échelle positive.
Exemple corrigé
Exemple : pourquoi \(\mathbb{Q}\) est-il dense dans \(\mathbb{R}\) pour la distance usuelle ?
Tout intervalle ouvert \((a-r,a+r)\) contient un nombre rationnel. Comme les boules ouvertes de \(\mathbb{R}\) sont des intervalles, toute boule rencontre \(\mathbb{Q}\), donc \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\).
À vous
À vous : un point frontière de \(A\) a toute boule qui rencontre quels ensembles ?
Indice : les points frontières ne peuvent être séparés localement ni de l’ensemble ni de son complémentaire.
La convergence métrique est la convergence des distances vers zéro
Objectif d’apprentissage : utiliser \(d(x_n,x)\to0\) et la condition de Cauchy sans supposer un ordre ou des coordonnées.
Idée clé
Une suite \(x_n\) converge vers \(x\) si \(d(x_n,x)\to0\). Elle est de Cauchy si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\) tel que \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\) dès que \(m,n\ge N\). La convergence donne une cible ; la condition de Cauchy dit seulement que la queue de la suite se resserre sur elle-même.
Tests avec les suites
Les limites sont uniques : si \(x_n\to x\) et \(x_n\to y\), l’inégalité triangulaire donne \(d(x,y)=0\).
Toute suite convergente est de Cauchy.
Toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite.
Une suite de Cauchy ne converge pas nécessairement si l’espace n’est pas complet.
Exemple corrigé
Exemple : pourquoi \(x_n=1/n\) est-elle de Cauchy dans \((0,1)\), mais non convergente dans \((0,1)\) ?
Dans la métrique usuelle, \(1/n\to0\) dans \(\mathbb{R}\), donc les termes finissent par devenir arbitrairement proches les uns des autres. Mais \(0\notin(0,1)\), donc la suite n’a pas de limite dans l’espace \((0,1)\).
À vous
À vous : toute suite convergente dans un espace métrique est :
Indice : utilisez \(d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x_n,x)\) dès que les deux termes sont proches de la même limite.
La complétude signifie que les suites de Cauchy ont leur limite dans l’espace
Objectif d’apprentissage : distinguer les espaces complets des sous-espaces denses incomplets, et connaître la règle des sous-ensembles fermés.
Idée clé
Un espace métrique est complet lorsque toute suite de Cauchy converge vers un point de ce même espace. La droite réelle avec la métrique usuelle est complète. Les rationnels avec la métrique usuelle ne sont pas complets, car des suites de Cauchy rationnelles peuvent converger vers des nombres réels irrationnels.
Faits à retenir
La complétion de \(\mathbb{Q}\) pour la métrique usuelle est \(\mathbb{R}\).
Un espace métrique fini est complet, car ses suites de Cauchy sont finalement constantes.
Un sous-ensemble fermé d’un espace métrique complet est complet pour la métrique induite.
Un sous-espace complet de tout espace métrique est fermé dans l’espace ambiant.
La complétude n’est pas la compacité : des espaces complets peuvent être non compacts.
Exemple corrigé
Exemple : pourquoi \([0,1]\) est-il complet dans \(\mathbb{R}\) ?
La droite réelle est complète, et \([0,1]\) est fermé dans \(\mathbb{R}\). Toute suite de Cauchy dans \([0,1]\) converge dans \(\mathbb{R}\), et la fermeture garde la limite dans \([0,1]\).
À vous
À vous : si \(X\) est complet et si \(A\subseteq X\) est fermé avec la métrique induite, alors \(A\) est :
Indice : une suite de Cauchy dans \(A\) converge dans \(X\), puis la fermeture remet sa limite dans \(A\).
La continuité se teste par boules, par suites ou par ouverts
Objectif d’apprentissage : passer d’une forme courante de la continuité dans les espaces métriques à une autre et reconnaître les applications qui préservent les distances.
Idée clé
Une application \(f:X\to Y\) est continue en \(x\) si toute petite tolérance dans l’espace cible peut être obtenue en prenant \(y\) assez proche de \(x\). De façon équivalente dans les espaces métriques, \(x_n\to x\) implique \(f(x_n)\to f(x)\). Globalement, \(f\) est continue exactement lorsque les images réciproques des ouverts de \(Y\) sont ouvertes dans \(X\).
Tests pratiques
\(\varepsilon\)-\(\delta\) : contrôler \(d_Y(f(x),f(y))\) à partir d’une borne sur \(d_X(x,y)\).
Continuité séquentielle : préserver les limites des suites convergentes.
Continuité uniforme : envoyer les suites de Cauchy de \(X\) sur des suites de Cauchy de \(Y\).
Topologique : les images réciproques des ouverts sont ouvertes.
Isométrie : \(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\), donc toute isométrie est continue.
Métrique produit : les estimations composante par composante prouvent souvent la continuité sur les produits.
Exemple corrigé
Exemple : pourquoi toute isométrie est-elle continue ?
Si \(f\) est une isométrie, alors \(d_Y(f(x_n),f(x))=d_X(x_n,x)\). Dès que \(x_n\to x\), le membre de droite tend vers \(0\), donc \(f(x_n)\to f(x)\).
À vous
À vous : une application entre espaces métriques est continue exactement lorsque les images réciproques des ouverts sont :
Indice : la continuité ramène les voisinages ouverts de la cible à des voisinages ouverts du domaine.
Dans les espaces métriques, la compacité se lit avec les suites
Objectif d’apprentissage : reconnaître la compacité par la compacité séquentielle et par la complétude plus la précompacité.
Idée clé
Un espace métrique compact possède la propriété séquentielle suivante : toute suite admet une sous-suite convergente dont la limite appartient à l’espace. Les espaces métriques compacts sont toujours complets et précompacts. Réciproquement, un espace métrique est compact lorsqu’il est complet et précompact.
Faits à retenir
Les espaces métriques compacts sont fermés et bornés lorsqu’on les voit comme sous-ensembles d’un autre espace métrique.
Fermé et borné à eux seuls ne forment pas un test universel de compacité dans tout espace métrique.
La précompacité signifie qu’il existe des \(\varepsilon\)-réseaux finis pour tout \(\varepsilon>0\).
Les fonctions continues envoient les compacts sur des compacts.
Une suite dans un espace métrique compact possède toujours une sous-suite convergente.
Exemple corrigé
Exemple : pourquoi un ensemble infini muni de la métrique discrète n’est-il pas compact ?
Pour le rayon \(1/2\), chaque boule est un singleton. Recouvrir un espace discret infini par des boules de rayon \(1/2\) demanderait une infinité de boules, donc l’espace n’est pas précompact. Il n’est donc pas compact.
À vous
À vous : dans les espaces métriques, la compacité équivaut à la complétude plus :
Indice : la condition manquante dit qu’à toute échelle positive, il existe un recouvrement fini par boules.
La plupart des erreurs confondent compact, complet, fermé et borné
Objectif d’apprentissage : terminer avec les distinctions qui évitent les erreurs courantes sur les espaces métriques.
Pièges courants
Distance nulle : si deux points différents peuvent avoir une distance \(0\), la formule n’est pas une métrique.
Boule ouverte contre boule fermée : les inégalités strictes \(d<r\) et larges \(d\le r\) se comportent différemment.
Dense contre égal : un sous-ensemble dense peut quand même manquer beaucoup de points.
Cauchy contre convergente : les suites de Cauchy ont besoin de la complétude pour garantir une limite dans l’espace.
Complet contre compact : \(\mathbb{R}\) est complet mais non compact.
Fermé et borné : compact implique fermé et borné, mais la réciproque n’est pas automatique dans tout espace métrique.
Métrique discrète : tout sous-ensemble est ouvert et fermé, tandis que les espaces discrets infinis ne sont pas compacts.
Exemple corrigé
Exemple : donnez un espace métrique complet qui n’est pas compact.
La droite réelle \(\mathbb{R}\) avec \(d(x,y)=|x-y|\) est complète : les suites de Cauchy réelles convergent vers des réels. Elle n’est pas compacte ; par exemple, la suite \(1,2,3,\dots\) n’a aucune sous-suite convergente dans \(\mathbb{R}\).
À vous
À vous : tout espace métrique complet est-il compact ?
Indice : un espace complet peut ne pas être précompact.
Récapitulatif final
Une métrique sépare les points : \(d(x,y)=0\) si et seulement si \(x=y\), et les changements d’échelle positifs comme \(2d\) restent des métriques.
Les boules ouvertes définissent l’ouverture ; les points isolés ont une petite boule qui ne contient qu’eux.
Les fermés contiennent les limites séquentielles, et des métriques ayant les mêmes ouverts définissent la même topologie.
Dense signifie que toute boule ouverte non vide rencontre le sous-ensemble.
La convergence signifie \(d(x_n,x)\to0\) ; toute suite convergente est de Cauchy.
Complet signifie que toute suite de Cauchy converge dans l’espace, et les espaces métriques finis sont complets.
Les sous-ensembles fermés d’espaces complets sont complets.
La continuité équivaut au fait que les images réciproques des ouverts sont ouvertes ; la continuité uniforme préserve les suites de Cauchy.
Les isométries préservent les distances et sont continues.
Les espaces métriques compacts sont séquentiellement compacts.
La compacité métrique équivaut à la complétude plus la précompacité.
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Traduisez chaque problème en énoncé sur une boule, une suite, une propriété de Cauchy, la continuité, la compacité ou la précompacité avant de répondre.
