Метрика - это абстрактное расстояние с конкретными проверками шаров

Ключевая идея

Метрика \(d\) на \(X\) сопоставляет неотрицательное число каждой паре точек. Она должна удовлетворять \(d(x,y)=0\) ровно тогда, когда \(x=y\), симметрии \(d(x,y)=d(y,x)\) и неравенству треугольника \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\). Неравенство треугольника - главный механизм за единственностью пределов и оценками непрерывности.

Примеры

• Обычная метрика: на \(\mathbb{R}\), \(d(x,y)=|x-y|\).
• Дискретная метрика: \(d(x,y)=0\), если \(x=y\), и \(d(x,y)=1\), если \(x≠ y\).
• Метрика произведения: \(d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')\) является метрикой на \(X\times Y\).
• Диаметр: \(\operatorname{diam}(A)=\sup\{d(a,b):a,b\in A\}\).

Шары

Открытый шар - это \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\). Замкнутый шар - это \(\overline{B}(a,r)=\{x:d(x,a)\le r\}\). В необычных метриках шары могут выглядеть совсем не как интервалы или круглые диски.

Разобранный пример

Попробуйте

Метрическая топология управляется шарами

Ключевая идея

Множество \(U\subseteq X\) открыто, если у каждой точки \(u\in U\) есть шар \(B(u,r)\subseteq U\). Множество \(F\) замкнуто, если оно содержит пределы всех сходящихся последовательностей из \(F\). В метрических пространствах языка последовательностей обычно достаточно для проверки замкнутости.

Контрольный список распознавания

• Внутренность: \(x\) является внутренней точкой \(A\), если некоторый шар вокруг \(x\) лежит внутри \(A\).
• Замыкание: \(x\in\overline{A}\), если каждый шар вокруг \(x\) пересекает \(A\).
• Граница: каждый шар вокруг \(x\) пересекает и \(A\), и \(X\setminus A\).
• Замкнутость: \(A=\overline{A}\), или, что эквивалентно, \(A\) содержит все свои последовательностные пределы.
• В дискретной метрике: каждое подмножество открыто, и каждое подмножество также замкнуто.

Плотность

Подмножество \(D\) плотно в \(X\), когда \(\overline{D}=X\). Эквивалентно, каждый непустой открытый шар в \(X\) пересекает \(D\). Плотность не означает \(D=X\); она означает, что \(D\) присутствует на любом положительном масштабе.

Разобранный пример

Попробуйте

Метрическая сходимость - это сходимость расстояний к нулю

Ключевая идея

Последовательность \(x_n\) сходится к \(x\), если \(d(x_n,x)\to0\). Она является последовательностью Коши, если для каждого \(\varepsilon>0\) существует \(N\), такое что \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\) при всех \(m,n\ge N\). Сходимость дает цель; условие Коши говорит только, что хвост последовательности внутренне сгущается.

Проверки последовательностей

• Пределы единственны: если \(x_n\to x\) и \(x_n\to y\), то неравенство треугольника дает \(d(x,y)=0\).
• Каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши.
• Каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.
• Последовательность Коши не обязана сходиться, если пространство неполно.

Разобранный пример

Попробуйте

Полнота означает, что пределы последовательностей Коши остаются внутри

Ключевая идея

Метрическое пространство полно, когда каждая последовательность Коши сходится к точке этого же пространства. Вещественная прямая с обычной метрикой полна. Рациональные числа с обычной метрикой неполны, потому что рациональные последовательности Коши могут сходиться к иррациональным вещественным числам.

Факты, которые нужно помнить

• Пополнение \(\mathbb{Q}\) с обычной метрикой есть \(\mathbb{R}\).
• Замкнутое подмножество полного метрического пространства полно с индуцированной метрикой.
• Полное подпространство любого метрического пространства замкнуто в объемлющем пространстве.
• Полнота - не компактность: полные пространства могут быть некомпактными.

Разобранный пример

Попробуйте

Непрерывность можно проверять шарами, последовательностями или открытыми множествами

Ключевая идея

Отображение \(f:X\to Y\) непрерывно в точке \(x\), если любую малую целевую погрешность можно обеспечить, взяв \(y\) достаточно близко к \(x\). Эквивалентно в метрических пространствах: из \(x_n\to x\) следует \(f(x_n)\to f(x)\). Глобально \(f\) непрерывно ровно тогда, когда прообразы открытых множеств в \(Y\) открыты в \(X\).

Практические проверки

• \(\varepsilon\)-\(\delta\): контролируйте \(d_Y(f(x),f(y))\) через ограничение на \(d_X(x,y)\).
• Последовательностная форма: сохраняйте пределы сходящихся последовательностей.
• Топологическая форма: прообразы открытых множеств открыты.
• Изометрия: \(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\), поэтому каждая изометрия непрерывна.
• Метрика произведения: покомпонентные оценки часто доказывают непрерывность на произведениях.

Разобранный пример

Попробуйте

В метрических пространствах компактность можно читать по последовательностям

Ключевая идея

Компактное метрическое пространство обладает последовательностным свойством: каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой лежит в пространстве. Компактные метрические пространства всегда полны и вполне ограничены. Обратно, метрическое пространство компактно, когда оно полно и вполне ограничено.

Факты, которые нужно помнить

• Компактные метрические пространства замкнуты и ограничены, когда рассматриваются как подмножества другого метрического пространства.
• Одна лишь замкнутость и ограниченность не являются универсальной проверкой компактности в каждом метрическом пространстве.
• Вполне ограниченность означает, что для каждого \(\varepsilon>0\) существуют конечные \(\varepsilon\)-сети.
• Непрерывные функции переводят компактные множества в компактные.
• Последовательность в компактном метрическом пространстве всегда имеет сходящуюся подпоследовательность.

Разобранный пример

Попробуйте

Большинство ошибок смешивает компактность, полноту, замкнутость и ограниченность

Типичные ошибки

• Нулевое расстояние: если разные точки могут иметь расстояние \(0\), формула не является метрикой.
• Открытый и замкнутый шар: строгие неравенства \(d<r\) и нестрогие неравенства \(d\le r\) ведут себя по-разному.
• Плотное и равное: плотное подмножество все еще может пропускать много точек.
• Коши и сходящееся: последовательностям Коши нужна полнота, чтобы гарантировать предел внутри пространства.
• Полное и компактное: \(\mathbb{R}\) полно, но не компактно.
• Замкнутое и ограниченное: компактность влечет замкнутость и ограниченность, но обратное верно не автоматически в каждом метрическом пространстве.
• Дискретная метрика: каждое подмножество открыто и замкнуто, а бесконечные дискретные пространства не компактны.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоговое повторение

• Метрика отделяет точки: \(d(x,y)=0\) тогда и только тогда, когда \(x=y\).
• Открытые шары задают открытость; замкнутые множества содержат последовательностные пределы.
• Плотность означает, что каждый непустой открытый шар пересекает подмножество.
• Сходимость означает \(d(x_n,x)\to0\); каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши.
• Полнота означает, что каждая последовательность Коши сходится внутри пространства.
• Замкнутые подмножества полных пространств полны.
• Непрерывность эквивалентна открытости прообразов открытых множеств.
• Изометрии сохраняют расстояния и непрерывны.
• Компактные метрические пространства секвенциально компактны.
• Метрическая компактность эквивалентна полноте вместе с вполне ограниченностью.