मेट्रिक एक अमूर्त दूरी है, जिसे ठोस गोला-परीक्षणों से समझते हैं

मुख्य विचार

समष्टि \(X\) पर मेट्रिक \(d\) हर दो बिंदुओं को एक अऋणात्मक संख्या देता है। इसमें \(d(x,y)=0\) ठीक तब होना चाहिए जब \(x=y\), सममिति \(d(x,y)=d(y,x)\) होनी चाहिए, और त्रिभुज असमानता \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\) पूरी होनी चाहिए। त्रिभुज असमानता सीमाओं की अद्वितीयता और सततता के अनुमानों का मुख्य आधार है।

उदाहरण

• सामान्य मेट्रिक: \(\mathbb{R}\) पर \(d(x,y)=|x-y|\)।
• धनात्मक पुनर्मापन: यदि \(d\) मेट्रिक है, तो \(d_2(x,y)=2d(x,y)\) भी मेट्रिक है।
• वियुक्त मेट्रिक: \(d(x,y)=0\) यदि \(x=y\), और \(d(x,y)=1\) यदि \(x≠ y\)।
• गुणनफल मेट्रिक: \(d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')\), \(X\times Y\) पर मेट्रिक है।
• व्यास: \(\operatorname{diam}(A)=\sup\{d(a,b):a,b\in A\}\)।

गोले

खुला गोला \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\) होता है। बंद गोला \(\overline{B}(a,r)=\{x:d(x,a)\le r\}\) होता है। असामान्य मेट्रिकों में गोले अंतरालों या गोल चक्रों से बहुत अलग दिख सकते हैं।

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मेट्रिक टोपोलॉजी गोलों से निर्धारित होती है

मुख्य विचार

समुच्चय \(U\subseteq X\) खुला है यदि हर \(u\in U\) के लिए कोई गोला \(B(u,r)\subseteq U\) हो। समुच्चय \(F\) बंद है यदि \(F\) से लिए गए सभी अभिसारी अनुक्रमों की सीमाएँ उसी समुच्चय में ही हों। मेट्रिक समष्टियों में बंदपन जाँचने के लिए अनुक्रमों की भाषा अक्सर पर्याप्त होती है।

पहचान सूची

• आंतरिक भाग: \(x\), \(A\) का आंतरिक बिंदु है यदि \(x\) के चारों ओर कोई गोला \(A\) के भीतर हो।
• संवरण: \(x\in\overline{A}\) यदि \(x\) के चारों ओर हर गोला \(A\) से मिलता है।
• सीमा: \(x\) के चारों ओर हर गोला \(A\) और \(X\setminus A\), दोनों से मिलता है।
• एकाकी बिंदु: \(a\) एकाकी है यदि \(a\) के चारों ओर कोई खुला गोला केवल \(a\) को रखता है।
• समान टोपोलॉजी: दो मेट्रिक समान खुले समुच्चय देते हैं, तो वे समान टोपोलॉजी परिभाषित करते हैं।
• बंद: \(A=\overline{A}\), या तुल्य रूप से \(A\) अपनी सभी अनुक्रमिक सीमाएँ रखता है।
• वियुक्त मेट्रिक में: हर उपसमुच्चय खुला है और हर उपसमुच्चय बंद भी है।

सघनता

उपसमुच्चय \(D\), \(X\) में सघन है जब \(\overline{D}=X\)। तुल्य रूप से, \(X\) का हर अरिक्त खुला गोला \(D\) को काटता है। सघनता का अर्थ \(D=X\) नहीं है; इसका अर्थ है कि \(D\) हर धनात्मक पैमाने पर उपस्थित है।

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मेट्रिक अभिसरण में दूरियाँ शून्य की ओर जाती हैं

मुख्य विचार

अनुक्रम \(x_n\), \(x\) पर अभिसरित होता है यदि \(d(x_n,x)\to0\)। यह कौशी है यदि हर \(\varepsilon>0\) के लिए कोई \(N\) हो ताकि जब भी \(m,n\ge N\), तब \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\)। अभिसरण लक्ष्य देता है; कौशी होना केवल यह कहता है कि अंतिम भाग के पद आपस में मनचाहे पास आ जाते हैं।

अनुक्रम परीक्षण

• सीमाएँ अद्वितीय होती हैं: यदि \(x_n\to x\) और \(x_n\to y\), तो त्रिभुज असमानता \(d(x,y)=0\) देती है।
• हर अभिसारी अनुक्रम कौशी होता है।
• अभिसारी अनुक्रम का हर उपअनुक्रम उसी सीमा पर अभिसरित होता है।
• जब तक समष्टि पूर्ण न हो, कौशी अनुक्रम का अभिसरित होना आवश्यक नहीं है।

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पूर्णता का अर्थ है कि कौशी अनुक्रमों की सीमाएँ भीतर होती हैं

मुख्य विचार

मेट्रिक समष्टि पूर्ण होती है जब हर कौशी अनुक्रम उसी समष्टि के किसी बिंदु पर अभिसरित होता है। सामान्य मेट्रिक वाली वास्तविक रेखा पूर्ण है। सामान्य मेट्रिक वाले परिमेय पूर्ण नहीं हैं, क्योंकि परिमेय कौशी अनुक्रम अपरिमेय वास्तविक संख्याओं पर अभिसरित हो सकते हैं।

याद रखने योग्य तथ्य

• सामान्य मेट्रिक के साथ \(\mathbb{Q}\) का पूर्णीकरण \(\mathbb{R}\) है।
• परिमित मेट्रिक समष्टि पूर्ण होती है, क्योंकि कौशी अनुक्रम अंततः नियत हो जाते हैं।
• पूर्ण मेट्रिक समष्टि का बंद उपसमुच्चय प्रतिबंधित मेट्रिक के साथ पूर्ण होता है।
• किसी भी मेट्रिक समष्टि की पूर्ण उपसमष्टि परिवेशी समष्टि में बंद होती है।
• पूर्णता संहतता नहीं है: पूर्ण समष्टियाँ असंहत हो सकती हैं।

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सततता को गोलों, अनुक्रमों या खुले समुच्चयों से जाँचा जा सकता है

मुख्य विचार

प्रतिचित्रण \(f:X\to Y\), \(x\) पर सतत है यदि लक्ष्य में हर छोटी सहन-सीमा \(x\) के पर्याप्त पास \(y\) लेने से प्राप्त की जा सके। मेट्रिक समष्टियों में तुल्य रूप से, \(x_n\to x\) से \(f(x_n)\to f(x)\) निकलता है। वैश्विक रूप से, \(f\) ठीक तब सतत है जब \(Y\) के खुले समुच्चयों की पूर्वप्रतिमाएँ \(X\) में खुली हों।

व्यावहारिक परीक्षण

• \(\varepsilon\)-\(\delta\): \(d_X(x,y)\) पर नियंत्रण से \(d_Y(f(x),f(y))\) नियंत्रित करें।
• अनुक्रमिक सततता: अभिसारी अनुक्रमों की सीमाएँ सुरक्षित रखें।
• एकसमान सततता: \(X\) के कौशी अनुक्रमों को \(Y\) के कौशी अनुक्रमों में भेजती है।
• टोपोलॉजी वाला रूप: खुले समुच्चयों की पूर्वप्रतिमाएँ खुली होती हैं।
• दूरी-संरक्षी प्रतिचित्रण: \(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\), इसलिए हर दूरी-संरक्षी प्रतिचित्रण सतत होता है।
• गुणनफल मेट्रिक: गुणनफलों पर सततता अक्सर घटकवार अनुमानों से सिद्ध होती है।

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मेट्रिक समष्टियों में संहतता अनुक्रमों से पढ़ी जा सकती है

मुख्य विचार

संहत मेट्रिक समष्टि में यह अनुक्रमिक गुण होता है कि हर अनुक्रम का कोई अभिसारी उपअनुक्रम होता है जिसकी सीमा उसी समष्टि में होती है। संहत मेट्रिक समष्टियाँ हमेशा पूर्ण और पूर्णतः परिबद्ध होती हैं। उल्टा, कोई मेट्रिक समष्टि पूर्ण और पूर्णतः परिबद्ध हो तो वह संहत होती है।

याद रखने योग्य तथ्य

• किसी दूसरी मेट्रिक समष्टि के उपसमुच्चय के रूप में देखने पर संहत मेट्रिक समष्टियाँ बंद और परिबद्ध होती हैं।
• केवल बंद और परिबद्ध होना हर मेट्रिक समष्टि में सार्वभौमिक संहतता-परीक्षण नहीं है।
• पूर्णतः परिबद्धता का अर्थ है कि हर \(\varepsilon>0\) के लिए परिमित \(\varepsilon\)-जाल मौजूद हैं।
• सतत फलन संहत समुच्चयों को संहत समुच्चयों में भेजते हैं।
• संहत मेट्रिक समष्टि में हर अनुक्रम का कोई अभिसारी उपअनुक्रम होता है।

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अधिकतर गलतियाँ संहत, पूर्ण, बंद और परिबद्ध को मिला देती हैं

सामान्य भूलें

• शून्य दूरी: यदि अलग-अलग बिंदुओं की दूरी \(0\) हो सकती है, तो सूत्र मेट्रिक नहीं है।
• खुला बनाम बंद गोला: सख्त \(d<r\) और असख्त \(d\le r\) असमानताएँ अलग व्यवहार करती हैं।
• सघन बनाम बराबर: सघन उपसमुच्चय फिर भी कई बिंदु छोड़ सकता है।
• कौशी बनाम अभिसारी: कौशी अनुक्रमों को समष्टि के भीतर सीमा की गारंटी देने के लिए पूर्णता चाहिए।
• पूर्ण बनाम संहत: \(\mathbb{R}\) पूर्ण है पर संहत नहीं।
• बंद और परिबद्ध: संहत होने से बंद और परिबद्ध होना मिलता है, पर उल्टा हर मेट्रिक समष्टि में स्वतः नहीं मिलता।
• वियुक्त मेट्रिक: हर उपसमुच्चय खुला और बंद होता है, जबकि अनंत वियुक्त समष्टियाँ संहत नहीं होतीं।

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अंतिम सार

• मेट्रिक बिंदुओं को अलग करता है: \(d(x,y)=0\) ठीक तब जब \(x=y\), और \(2d\) जैसे धनात्मक पुनर्मापन फिर भी मेट्रिक रहते हैं।
• खुले गोले खुलेपन को परिभाषित करते हैं; एकाकी बिंदुओं के लिए छोटा गोला केवल वही बिंदु रखता है।
• बंद समुच्चय अनुक्रमिक सीमाएँ रखते हैं, और समान खुले समुच्चय देने वाले मेट्रिक समान टोपोलॉजी परिभाषित करते हैं।
• सघन का अर्थ है कि हर अरिक्त खुला गोला उपसमुच्चय से मिलता है।
• अभिसरण का अर्थ है \(d(x_n,x)\to0\); हर अभिसारी अनुक्रम कौशी होता है।
• पूर्ण का अर्थ है कि हर कौशी अनुक्रम समष्टि के भीतर अभिसरित होता है, और परिमित मेट्रिक समष्टियाँ पूर्ण होती हैं।
• पूर्ण समष्टियों के बंद उपसमुच्चय पूर्ण होते हैं।
• सततता खुले समुच्चयों की पूर्वप्रतिमाओं के खुले होने के तुल्य है; एकसमान सततता कौशी अनुक्रमों को सुरक्षित रखती है।
• दूरी-संरक्षी प्रतिचित्रण दूरियाँ सुरक्षित रखते हैं और सतत होते हैं।
• संहत मेट्रिक समष्टियाँ अनुक्रमिक रूप से संहत होती हैं।
• मेट्रिक संहतता, पूर्णता और पूर्णतः परिबद्धता के तुल्य है।