शिफ्ट, स्ट्रेच, रिफ्लेक्शन और संयुक्त रूपांतरणों को पढ़ना सीखें ताकि आप किसी भी रूपांतरित फलन के ग्राफ को आत्मविश्वास से समझ सकें।
कैसे अभ्यास करें
प्रश्नोत्तरी शुरू करें: समीकरण से ग्राफ में बदलाव पहचानें या ग्राफ से समीकरण चुनें।
पाठ खोलें: जिन रूपांतरणों में गलती हुई है, उनके नियम और उदाहरण देखें।
फिर प्रयास करें: रूपांतरणों को सही क्रम में लागू करें और अपना स्कोर सुधारें।
इस विषय में क्या सीखेंगे
रूपांतरण टूलकिट
मानक रूप a f(b(x-h))+k पढ़ें और हर पैरामीटर की भूमिका पहचानें।
बाहरी बदलाव a, k को ऊर्ध्वाधर और अंदर के बदलाव b, h को क्षैतिज प्रभाव से जोड़ें।
पैरेंट बिंदु (x,y) को नए बिंदु (x/b+h, ay+k) में बदलने का अभ्यास करें।
ऊर्ध्वाधर बदलाव
f(x)+k ग्राफ को ऊपर या नीचे ले जाता है।
a f(x) ऊर्ध्वाधर स्ट्रेच या कम्प्रेशन करता है।
-f(x) ग्राफ को x-अक्ष में प्रतिबिंबित करता है।
क्षैतिज बदलाव
f(x-h) ग्राफ को दाईं ओर और f(x+h) बाईं ओर ले जाता है।
f(bx) क्षैतिज स्केल बदलता है; बड़ा b ग्राफ को संकुचित करता है।
f(-x) ग्राफ को y-अक्ष में प्रतिबिंबित करता है।
संयुक्त रूपांतरण
एक ही समीकरण में कई बदलाव हो सकते हैं; उन्हें व्यवस्थित क्रम में पढ़ें।
रेखा, परवलय, घन, मूल, घातांक और निरपेक्ष मान जैसे पैरेंट फलनों से शुरुआत करें।
महत्वपूर्ण बिंदुओं, इंटरसेप्ट, वर्टेक्स और असिम्प्टोट से अपने रूपांतरण की जाँच करें।
प्रश्नोत्तरी पर वापस
उन्नत रूपांतरणों में गति तभी आती है जब आप समीकरण को ग्राफ की चाल में तुरंत बदलना सीखते हैं।
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उन्नत फलन रूपांतरण
शिफ्ट, स्ट्रेच, रिफ्लेक्शन और संयुक्त ग्राफ चालें
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उन्नत फलन रूपांतरण पाठ
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सारांश
उन्नत फलन रूपांतरण क्यों महत्वपूर्ण हैं
जब कोई फलन बदला जाता है, तो उसका ग्राफ भी अनुमानित तरीके से बदलता है। यह पाठ आपको a f(b(x-h))+k जैसे रूपों को पढ़ना और उन्हें ग्राफ की चालों में बदलना सिखाता है।
सीखने के लक्ष्य
ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रूपांतरणों में अंतर पहचानना।
शिफ्ट, स्ट्रेच, कम्प्रेशन और रिफ्लेक्शन को समीकरण से पढ़ना।
पैरेंट फलन के बिंदुओं को रूपांतरित बिंदुओं में मैप करना।
संयुक्त रूपांतरणों को सही क्रम में लागू करना।
मुख्य शब्दावली
Parent फलन: मूल ग्राफ जिससे रूपांतरण शुरू होता है।
ऊर्ध्वाधर shift: ग्राफ को ऊपर या नीचे ले जाना।
क्षैतिज shift: ग्राफ को बाएँ या दाएँ ले जाना।
Stretch/compression: ग्राफ को किसी दिशा में फैलाना या दबाना।
Reflection: किसी अक्ष के पार ग्राफ को पलटना।
त्वरित जाँच
g(x)=f(x)+3 ग्राफ के साथ क्या करता है?
फलन के बाहर जोड़ा गया स्थिरांक y-मान बदलता है।
g(x)=f(x-4) किस दिशा में शिफ्ट है?
अंदर का x-h दाईं ओर शिफ्ट करता है।
सामान्य रूप
रूप a f(b(x-h))+k पढ़ना
लक्ष्य: हर पैरामीटर को ग्राफ की एक स्पष्ट चाल से जोड़ना।
मुख्य विचार
a और k बाहर हैं, इसलिए वे y-मान बदलते हैं। b और h अंदर हैं, इसलिए वे x-मान बदलते हैं।
बिंदु मैपिंग
यदि (x,y) पैरेंट ग्राफ पर है, तो a f(b(x-h))+k पर संबंधित बिंदु (x/b+h, ay+k) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: g(x)=2f(x-3)-1 ग्राफ को 3 दाएँ, 2 गुना ऊर्ध्वाधर स्ट्रेच और 1 नीचे करता है।
स्वयं प्रयास करें
g(x)=f(x+5)-2 में कौन से शिफ्ट हैं?
x+5=x-(-5) है, इसलिए क्षैतिज शिफ्ट बाईं ओर है।
g(x)=-3f(x)+4 में क्या होता है?
ऋण चिह्न रिफ्लेक्शन देता है और 3 ऊर्ध्वाधर स्ट्रेच देता है।
सारांश
बाहर के बदलाव ऊर्ध्वाधर प्रभाव देते हैं।
अंदर के बदलाव क्षैतिज प्रभाव देते हैं।
बिंदु मैपिंग से उत्तर जाँचना आसान होता है।
ऊर्ध्वाधर रूपांतरण
ऊर्ध्वाधर शिफ्ट, स्ट्रेच और रिफ्लेक्शन
लक्ष्य: उन बदलावों को पहचानना जो सीधे आउटपुट y को बदलते हैं।
मुख्य विचार
f(x)+k: ऊपर या नीचे शिफ्ट।
a f(x): ऊर्ध्वाधर स्ट्रेच या कम्प्रेशन।
-f(x): x-अक्ष में रिफ्लेक्शन।
हल किया हुआ उदाहरण
g(x)=-2f(x)+6 ग्राफ को x-अक्ष में पलटता है, 2 गुना ऊर्ध्वाधर स्ट्रेच करता है और 6 ऊपर ले जाता है।
स्वयं प्रयास करें
g(x)=f(x)-7 का प्रभाव क्या है?
बाहर घटाया गया 7 सभी y-मानों से 7 घटाता है।
g(x)=\frac12 f(x) किस प्रकार का बदलाव है?
गुणांक फलन के बाहर है, इसलिए यह ऊर्ध्वाधर स्केल बदलता है।
सारांश
ऊर्ध्वाधर रूपांतरण आउटपुट बदलते हैं।
ऋण गुणांक x-अक्ष में प्रतिबिंब देता है।
बाहर का स्थिरांक पूरे ग्राफ को ऊपर या नीचे ले जाता है।
क्षैतिज रूपांतरण
क्षैतिज शिफ्ट और स्केलिंग
लक्ष्य: अंदर के बदलावों को सही दिशा और सही स्केल से पढ़ना।
मुख्य विचार
क्षैतिज बदलाव अक्सर उलटे लगते हैं: f(x-h) दाएँ जाता है और f(x+h) बाएँ जाता है। f(bx) में b>1 क्षैतिज कम्प्रेशन देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
g(x)=f(2(x+1)) ग्राफ को 1 बाएँ शिफ्ट करता है और क्षैतिज रूप से \frac12 तक संकुचित करता है।
स्वयं प्रयास करें
g(x)=f(x-6) का प्रभाव क्या है?
x-6 का अर्थ है ग्राफ 6 दाएँ।
g(x)=f(3x) किस स्केल का संकेत देता है?
इनपुट 3 गुना तेज़ बदलता है, इसलिए ग्राफ क्षैतिज रूप से संकुचित होता है।
सारांश
अंदर के बदलाव x-मानों को प्रभावित करते हैं।
क्षैतिज शिफ्ट का संकेत उलटा पढ़ें।
क्षैतिज स्केल में गुणांक का प्रतिलोम उपयोग होता है।
संयुक्त रूपांतरण
कई बदलावों को साथ में पढ़ना
लक्ष्य: एक ही फलन में शिफ्ट, स्ट्रेच, कम्प्रेशन और रिफ्लेक्शन को मिलाकर समझना।
मुख्य विचार
पहले पैरेंट फलन पहचानें, फिर अंदर के बदलाव और बाहर के बदलाव अलग करें। अंत में बिंदुओं या विशेष विशेषताओं से जाँच करें।
हल किया हुआ उदाहरण
g(x)=-2f(x-4)+5: 4 दाएँ, x-अक्ष में रिफ्लेक्शन, 2 गुना ऊर्ध्वाधर स्ट्रेच और 5 ऊपर।
स्वयं प्रयास करें
g(x)=3f(x+2)-1 में कौन सा विवरण सही है?
x+2 बाएँ शिफ्ट है और 3 बाहर है।
g(x)=-f(2x)+7 में क्या शामिल है?
ऋण चिह्न बाहर है और 2 अंदर x को गुणा करता है।
सारांश
रूपांतरणों को अलग-अलग वर्गीकृत करें।
अंदर और बाहर के प्रभाव न मिलाएँ।
बिंदु मैपिंग से अंतिम ग्राफ की पुष्टि करें।
पैरेंट फलन
रूपांतरण से पहले पैरेंट फलन पहचानें
लक्ष्य: सामान्य पैरेंट ग्राफों की आकृति याद रखना ताकि रूपांतरण तुरंत समझ आए।
मुख्य विचार
x^2: परवलय।
|x|: V-आकार।
\sqrt{x}: दाईं ओर शुरू होकर बढ़ता है।
2^x: घातांकीय वृद्धि।
\frac1x: दो शाखाएँ और असिम्प्टोट।
हल किया हुआ उदाहरण
g(x)=-(x-2)^2+3 में पैरेंट फलन x^2 है; ग्राफ नीचे खुलता है और वर्टेक्स (2,3) है।
स्वयं प्रयास करें
g(x)=\sqrt{x+4} का पैरेंट फलन क्या है?
रूपांतरण हटाएँ और मूल अभिव्यक्ति देखें।
g(x)=|x-5|+2 किस प्रकार के ग्राफ से शुरू होता है?
निरपेक्ष मान फलन का ग्राफ V-आकार का होता है।
सारांश
पहले पैरेंट आकृति पहचानें।
फिर रूपांतरण लागू करें।
विशेष बिंदु जैसे वर्टेक्स या शुरुआती बिंदु देखें।
ग्राफ से समीकरण
ग्राफ देखकर रूपांतरण लिखना
लक्ष्य: दिए गए ग्राफ से उसके पैरेंट फलन और रूपांतरणों को उल्टा पढ़ना।
रणनीति
ग्राफ की मूल आकृति पहचानें।
वर्टेक्स, शुरुआती बिंदु, असिम्प्टोट या इंटरसेप्ट खोजें।
शिफ्ट और स्केल का अनुमान लगाएँ।
एक बिंदु लगाकर गुणांक की जाँच करें।
हल किया हुआ उदाहरण
यदि परवलय का वर्टेक्स (3,-2) है और वह ऊपर खुलता है, तो संभावित रूप g(x)=a(x-3)^2-2 है। किसी और बिंदु से a निकालें।
स्वयं प्रयास करें
V-आकार का ग्राफ जिसका वर्टेक्स (-1,4) है, किस रूप में लिखा जा सकता है?
निरपेक्ष मान ग्राफ का वर्टेक्स x=-1 पर हो तो अंदर x+1 आता है।
यदि \sqrt{x} ग्राफ का शुरुआती बिंदु (5,-3) है, तो रूप क्या हो सकता है?
वर्गमूल ग्राफ की शुरुआत x=h, y=k पर होती है।
सारांश
विशेष बिंदुओं से समीकरण बनाएँ।
दिशा और स्केल के लिए अतिरिक्त बिंदु जाँचें।
अंदर के शिफ्ट का संकेत ध्यान से पढ़ें।
रूपांतरणों का उपयोग
मॉडलिंग में फलन रूपांतरण
लक्ष्य: वास्तविक स्थितियों में शिफ्ट और स्केलिंग को अर्थपूर्ण पैरामीटर के रूप में समझना।
कहाँ उपयोग होता है
वृद्धि या क्षय मॉडल में समय की देरी।
भौतिकी में ऊँचाई या दूरी का ऑफसेट।
डेटा फिटिंग में स्केल और बेसलाइन बदलना।
ग्राफिंग कैलकुलेटर में परिवारों की तुलना।
उदाहरण
यदि f(t) किसी प्रक्रिया का सामान्य मॉडल है, तो 2f(t-3)+10 प्रक्रिया को 3 समय इकाई बाद शुरू, दोगुना बड़ा और 10 इकाई ऊँची बेसलाइन पर दिखाता है।
स्वयं प्रयास करें
h(t)=f(t-2)+8 का संदर्भ में क्या अर्थ हो सकता है?
t-2 दाईं ओर समय शिफ्ट है और +8 आउटपुट बढ़ाता है।
p(x)=0.5f(x) मॉडल में क्या बदलता है?
गुणांक बाहर है, इसलिए यह परिणामों को स्केल करता है।
अंतिम पुनरावृत्ति
a: ऊर्ध्वाधर स्केल और संभव रिफ्लेक्शन।
b: क्षैतिज स्केल और संभव रिफ्लेक्शन।
h: क्षैतिज शिफ्ट।
k: ऊर्ध्वाधर शिफ्ट।
ग्राफ की पुष्टि के लिए विशेष बिंदु मैप करें।
अब प्रश्नोत्तरी में वापस जाएँ और हर समीकरण को पहले पैरेंट फलन, फिर अंदर-बाहर रूपांतरणों में विभाजित करके हल करें।
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