Тренировочный тест по сложным преобразованиям функций с пошаговым интерактивным уроком

Шаблон \(y=a\,f(b(x-h))+k\)

Главная идея

Во многих задачах на "сложные преобразования функций" используется стандартный вид \[ y=a\,f(b(x-h))+k. \] Он показывает, как меняется график \(y=f(x)\):

• \(a\) управляет вертикальным растяжением/сжатием на \(|a|\) и отражает относительно оси \(x\), если \(a<0\).
• \(k\) управляет вертикальным сдвигом: вверх на \(k\), вниз если \(k<0\).
• \(b\) управляет горизонтальным растяжением/сжатием на \(\tfrac{1}{|b|}\) и отражает относительно оси \(y\), если \(b<0\).
• \(h\) управляет горизонтальным сдвигом: вправо на \(h\), влево если \(h<0\).

Правило отображения точек (быстро и надежно)

Если \((x,y)\) - точка на \(y=f(x)\), то соответствующая точка на \[ y=a\,f(b(x-h))+k \] равна \[ \left(\frac{x}{b}+h,\; ay+k\right)\quad (b≠ 0). \] Это один из самых быстрых способов избежать ошибок со знаками во внутренних преобразованиях.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Стандартный вид: \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
• Отображение точек: \((x,y)\mapsto\left(\tfrac{x}{b}+h,\;ay+k\right)\) (для \(b≠ 0\)).

Вертикальные сдвиги, растяжения и отражения: \(y=a\,f(x)+k\)

Главная идея

• Вертикальный сдвиг: \(y=f(x)+k\) сдвигает вверх на \(k\); \(y=f(x)-k\) сдвигает вниз на \(k\).
• Вертикальное растяжение/сжатие: \(y=a\,f(x)\) умножает все значения \(y\) на \(a\). Если \(|a|>1\), это растяжение; если \(0<|a|<1\), это сжатие.
• Отражение относительно оси \(x\): \(y=-f(x)\) переворачивает график вертикально.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Внешние изменения влияют на значения \(y\): \(y=a\,f(x)+k\).
• Минус снаружи \(f\) отражает относительно оси \(x\).

Запись функций и внутренние преобразования

Главная идея

Когда вы видите \(f(\,\text{что-то}\,)\), подставьте это выражение везде, где в правиле \(f(x)\) стоит \(x\). Затем интерпретируйте изменение графика:

• \(y=f(x-h)\): сдвиг вправо на \(h\).
• \(y=f(x+h)\): сдвиг влево на \(h\).
• \(y=f(bx)\): горизонтальный масштаб \(\tfrac{1}{|b|}\) (сжатие при \(|b|>1\), растяжение при \(0<|b|<1\)).
• \(y=f(-x)\): отражение относительно оси \(y\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Внутренние изменения влияют на значения \(x\) (горизонтальные сдвиги/масштабы/отражения).
• Всегда сначала подставляйте, затем упрощайте.

Составные преобразования и правильный порядок

Главная идея

Когда преобразование включает и внутренние, и внешние изменения, используйте шаблон: \[ y=a\,f(b(x-h))+k. \] Надежный порядок преобразований (от \(y=f(x)\) к новому графику):

• 1) Горизонтальный масштаб / отражение: по \(b\) (масштаб \(\tfrac{1}{|b|}\); отражение относительно оси \(y\), если \(b<0\)).
• 2) Горизонтальный сдвиг: по \(h\) (вправо на \(h\)).
• 3) Вертикальный масштаб / отражение: по \(a\) (масштаб \(|a|\); отражение относительно оси \(x\), если \(a<0\)).
• 4) Вертикальный сдвиг: по \(k\) (вверх на \(k\)).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Используйте \(y=a\,f(b(x-h))+k\), чтобы читать составные преобразования.
• Горизонтальное масштабирование (от \(b\)) идет перед горизонтальным сдвигом (от \(h\)).

Преобразования \(|x|\), \(\sqrt{x}\), \(a^x\) и \(\sin(x)\)

Главная идея

• Модуль \(y=|x|\): ключевая особенность - вершина в \((0,0)\).
• Квадратный корень \(y=\sqrt{x}\): область определения начинается с \(x\ge 0\). Преобразования перемещают начальную точку и могут менять область определения.
• Экспонента \(y=a^x\) (\(a>0\), \(a≠ 1\)): имеет горизонтальную асимптоту \(y=0\) (до вертикальных сдвигов).
• Синус \(y=\sin(x)\): для \(y=A\sin(B(x-h))+k\) амплитуда равна \(|A|\), а период равен \(\dfrac{2\pi}{|B|}\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Преобразования применяются ко всем родительским функциям, но следите за ключевыми особенностями (вершина, асимптоты, период) и ограничениями области определения.

Восстановить шаги в обратную сторону (и построить уравнение)

Надежная стратегия

• 1) Перепишите внутреннюю часть как \(b(x-h)\), когда это возможно.
• 2) Определите \(a,b,h,k\) из \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
• 3) Перечислите преобразования в порядке: горизонтальный масштаб/отражение → горизонтальный сдвиг → вертикальный масштаб/отражение → вертикальный сдвиг.
• 4) Проверьте отображением одной простой точки (или ключевой особенности).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Перепишите → определите \(a,b,h,k\) → перечислите преобразования в постоянном порядке → проверьте отображенной точкой.

Почему важны сложные преобразования функций

Где встречаются преобразования функций

• Быстрое построение графиков: изображайте сложные функции через преобразование родительского графика вместо построения множества точек.
• Моделирование: подгоняйте данные сдвигом/масштабированием известной формы (экспоненты, тригонометрические кривые, V-образные графики модуля).
• Решение уравнений: понимайте, как сдвиги и масштабы перемещают пересечения.
• Преданализ и анализ: преобразования помогают рассуждать об областях определения, областях значений, асимптотах и поведении без тяжелых вычислений.

Разобранный пример: преобразование родительской функции

Попробуйте

Итоговое повторение

• Стандартный вид: \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
• Горизонтально: масштаб \(\tfrac{1}{|b|}\), отражение относительно оси \(y\), если \(b<0\), затем сдвиг вправо на \(h\).
• Вертикально: масштаб \(|a|\), отражение относительно оси \(x\), если \(a<0\), затем сдвиг вверх на \(k\).
• Навык подстановки: вычисляйте выражения вроде \(f(x+1)\), \(f(x-4)\), \(f(-x+1)\) и \(f(0.5x)\), заменяя \(x\).
• Отображение точек (быстрая проверка): \((x,y)\mapsto\left(\tfrac{x}{b}+h,\;ay+k\right)\) для \(y=a\,f(b(x-h))+k\).