Kuis Latihan Transformasi Fungsi Lanjutan dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah

Template \(y=a\,f(b(x-h))+k\)

Ide utama

Banyak soal "transformasi fungsi lanjutan" memakai bentuk standar \[ y=a\,f(b(x-h))+k. \] Bentuk ini memberi tahu bagaimana grafik \(y=f(x)\) berubah:

• \(a\) mengontrol peregangan/pemampatan vertikal sebesar \(|a|\) dan refleksi terhadap sumbu-\(x\) jika \(a<0\).
• \(k\) mengontrol pergeseran vertikal: naik \(k\), turun jika \(k<0\).
• \(b\) mengontrol peregangan/pemampatan horizontal sebesar \(\tfrac{1}{|b|}\) dan refleksi terhadap sumbu-\(y\) jika \(b<0\).
• \(h\) mengontrol pergeseran horizontal: kanan \(h\), kiri jika \(h<0\).

Aturan pemetaan titik (cepat + andal)

Jika \((x,y)\) adalah titik pada \(y=f(x)\), maka titik yang bersesuaian pada \[ y=a\,f(b(x-h))+k \] adalah \[ \left(\frac{x}{b}+h,\; ay+k\right)\quad (b≠ 0). \] Ini salah satu cara tercepat untuk menghindari kesalahan tanda pada transformasi di dalam fungsi.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Bentuk standar: \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
• Pemetaan titik: \((x,y)\mapsto\left(\tfrac{x}{b}+h,\;ay+k\right)\) (untuk \(b≠ 0\)).

Pergeseran, peregangan, dan refleksi vertikal: \(y=a\,f(x)+k\)

Ide utama

• Pergeseran vertikal: \(y=f(x)+k\) menggeser naik \(k\); \(y=f(x)-k\) menggeser turun \(k\).
• Peregangan/pemampatan vertikal: \(y=a\,f(x)\) mengalikan semua nilai \(y\) dengan \(a\). Jika \(|a|>1\), grafik meregang; jika \(0<|a|<1\), grafik memampat.
• Refleksi terhadap sumbu-\(x\): \(y=-f(x)\) membalik grafik secara vertikal.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Perubahan di luar memengaruhi nilai \(y\): \(y=a\,f(x)+k\).
• Negatif di luar \(f\) memantulkan terhadap sumbu-\(x\).

Notasi fungsi dan transformasi di dalam

Ide utama

Saat melihat \(f(\,\text{sesuatu}\,)\), Anda mengganti \(x\) dengan "sesuatu" di mana pun \(x\) muncul dalam aturan \(f(x)\). Lalu tafsirkan perubahan grafik:

• \(y=f(x-h)\): geser kanan \(h\).
• \(y=f(x+h)\): geser kiri \(h\).
• \(y=f(bx)\): skala horizontal sebesar \(\tfrac{1}{|b|}\) (pemampatan jika \(|b|>1\), peregangan jika \(0<|b|<1\)).
• \(y=f(-x)\): refleksi terhadap sumbu-\(y\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Perubahan di dalam memengaruhi nilai \(x\) (pergeseran/skala/refleksi horizontal).
• Selalu substitusi dulu, lalu sederhanakan.

Transformasi komposit dan urutan yang benar

Ide utama

Jika transformasi memuat perubahan di dalam dan di luar, gunakan template: \[ y=a\,f(b(x-h))+k. \] Urutan transformasi yang andal (dari \(y=f(x)\) ke grafik baru) adalah:

• 1) Skala / refleksi horizontal: berdasarkan \(b\) (skala \(\tfrac{1}{|b|}\); refleksi terhadap sumbu-\(y\) jika \(b<0\)).
• 2) Pergeseran horizontal: berdasarkan \(h\) (kanan \(h\)).
• 3) Skala / refleksi vertikal: berdasarkan \(a\) (skala \(|a|\); refleksi terhadap sumbu-\(x\) jika \(a<0\)).
• 4) Pergeseran vertikal: berdasarkan \(k\) (naik \(k\)).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Gunakan \(y=a\,f(b(x-h))+k\) untuk membaca transformasi komposit.
• Skala horizontal (dari \(b\)) datang sebelum pergeseran horizontal (dari \(h\)).

Transformasi \(|x|\), \(\sqrt{x}\), \(a^x\), dan \(\sin(x)\)

Ide utama

• Nilai mutlak \(y=|x|\): fitur kuncinya adalah titik puncak di \((0,0)\).
• Akar kuadrat \(y=\sqrt{x}\): domain mulai dari \(x\ge 0\). Transformasi memindahkan titik awal dan dapat mengubah domain.
• Eksponensial \(y=a^x\) (\(a>0\), \(a≠ 1\)): memiliki asimtot horizontal di \(y=0\) (sebelum pergeseran vertikal).
• Sinus \(y=\sin(x)\): untuk \(y=A\sin(B(x-h))+k\), amplitudo adalah \(|A|\) dan periode adalah \(\dfrac{2\pi}{|B|}\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Transformasi berlaku pada semua fungsi induk, tetapi perhatikan fitur kunci (titik puncak, asimtot, periode) dan batasan domain.

Rekayasa balik langkah-langkah (dan bangun persamaan)

Strategi andal

• 1) Tulis ulang bagian dalam sebagai \(b(x-h)\) jika mungkin.
• 2) Identifikasi \(a,b,h,k\) dari \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
• 3) Daftar transformasi dalam urutan: skala/refleksi horizontal → pergeseran horizontal → skala/refleksi vertikal → pergeseran vertikal.
• 4) Cek dengan memetakan satu titik mudah (atau fitur kunci).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Tulis ulang → identifikasi \(a,b,h,k\) → daftar transformasi dalam urutan konsisten → cek dengan titik yang dipetakan.

Mengapa transformasi fungsi lanjutan penting

Di mana transformasi fungsi muncul

• Membuat grafik cepat: sketsa fungsi kompleks dengan mentransformasi grafik induk alih-alih memplot banyak titik.
• Pemodelan: cocokkan data dengan menggeser/menskalakan bentuk yang dikenal (eksponensial, kurva trigonometri, bentuk V nilai mutlak).
• Menyelesaikan persamaan: pahami bagaimana pergeseran dan skala memindahkan intersep dan titik potong.
• Prekalkulus & kalkulus: transformasi membantu Anda menalar domain, rentang, asimtot, dan perilaku tanpa komputasi berat.

Contoh dikerjakan: transformasi fungsi induk

Coba

Rekap akhir

• Bentuk standar: \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
• Horizontal: skala sebesar \(\tfrac{1}{|b|}\), refleksi terhadap sumbu-\(y\) jika \(b<0\), lalu geser kanan sebesar \(h\).
• Vertikal: skala sebesar \(|a|\), refleksi terhadap sumbu-\(x\) jika \(a<0\), lalu geser naik sebesar \(k\).
• Keterampilan substitusi: hitung ekspresi seperti \(f(x+1)\), \(f(x-4)\), \(f(-x+1)\), dan \(f(0.5x)\) dengan mengganti \(x\).
• Pemetaan titik (cek cepat): \((x,y)\mapsto\left(\tfrac{x}{b}+h,\;ay+k\right)\) untuk \(y=a\,f(b(x-h))+k\).