Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Transformasi Fungsi Lanjutan - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Transformasi Fungsi Lanjutan dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih transformasi fungsi lanjutan dan transformasi grafik dengan aturan yang paling sering diuji: notasi fungsi dan substitusi (seperti \(f(x+1)\), \(f(x-4)\), \(f(-x)\), \(f(0.5x)\)), transformasi vertikal \(y=a\,f(x)+k\) (peregangan/pemampatan vertikal, refleksi terhadap sumbu-\(x\), dan pergeseran vertikal), transformasi horizontal \(y=f(b(x-h))\) (peregangan/pemampatan horizontal, refleksi terhadap sumbu-\(y\), dan pergeseran kiri/kanan), serta transformasi komposit dalam bentuk standar \(y=a\,f(b(x-h))+k\). Anda juga akan berlatih membaca dan menulis transformasi beberapa langkah seperti \(y=f(0.5(x-4))-2\) dan \(y=-f(3(x-1))+4\), ditambah soal cepat “urutan transformasi” yang muncul dalam aljabar dan prekalkulus. Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Cara kerja latihan transformasi fungsi lanjutan ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal transformasi fungsi dan notasi fungsi di awal halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau pergeseran horizontal dan vertikal, peregangan dan pemampatan, refleksi, serta urutan transformasi komposit dengan contoh jelas.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan langsung terapkan aturan transformasi grafik.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran transformasi fungsi lanjutan
Toolkit transformasi & bentuk standar
Baca transformasi memakai bentuk standar \(y=a\,f(b(x-h))+k\)
Pahami perubahan di dalam vs. di luar (mengapa perubahan horizontal bekerja “terbalik”)
Gunakan aturan pemetaan titik untuk memindahkan titik dan fitur kunci dengan cepat
Transformasi vertikal (output)
Pergeseran vertikal: \(y=f(x)+k\) dan \(y=f(x)-k\)
Peregangan/pemampatan vertikal: \(y=a\,f(x)\) dan efek \(|a|\)
Refleksi terhadap sumbu-\(x\): \(y=-f(x)\) dan \(y=-f(x)+c\)
Transformasi horizontal (input)
Pergeseran horizontal: \(y=f(x-h)\) (kanan) dan \(y=f(x+h)\) (kiri)
Peregangan/pemampatan horizontal: \(y=f(bx)\) dan faktor \(\tfrac@@P2@@{|b|}\)
Refleksi terhadap sumbu-\(y\): \(y=f(-x)\) dan bentuk campuran seperti \(f(-x+1)\)
Transformasi komposit & fungsi induk umum
Transformasi beberapa langkah seperti \(y=f(0.5(x-4))-2\), \(y=-f(3(x-1))+4\), dan \(y=-3f(x+2)+5\)
Mentransformasi fungsi nilai mutlak, akar kuadrat, eksponensial, dan trigonometri
Memeriksa pekerjaan dengan melacak titik kunci, intersep, dan perubahan domain/rentang
Kembali ke kuis
Saat Anda siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih transformasi fungsi lanjutan.
⭐⭐⭐⭐⭐
🔄
Transformasi Fungsi
Lanjutan langkah demi langkah
Ketuk untuk membuka ->
Memuat...
Pelajaran Transformasi Fungsi Lanjutan
1 / 8
Ringkasan Pelajaran
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas dan siap ujian tentang transformasi fungsi lanjutan. Anda akan belajar membaca dan menulis fungsi yang ditransformasi memakai notasi fungsi, mendeskripsikan transformasi grafik (pergeseran vertikal dan horizontal, peregangan dan pemampatan, refleksi), serta menangani transformasi komposit dalam bentuk standar \(y=a\,f(b(x-h))+k\). Anda juga akan berlatih urutan yang benar untuk transformasi beberapa langkah dan aturan pemetaan titik yang memindahkan titik kunci dengan cepat dan akurat.
Kriteria keberhasilan
Evaluasi substitusi seperti \(f(x+1)\), \(f(x-4)\), \(f(-x)\), \(f(0.5x)\), dan \(f(-x+1)\) dengan benar.
Identifikasi transformasi vertikal dalam \(y=a\,f(x)+k\): peregangan/pemampatan vertikal, refleksi terhadap sumbu-\(x\), dan pergeseran vertikal.
Identifikasi transformasi horizontal dalam \(y=f(b(x-h))\): peregangan/pemampatan horizontal, refleksi terhadap sumbu-\(y\), dan pergeseran kiri/kanan.
Deskripsikan transformasi komposit apa pun \(y=a\,f(b(x-h))+k\) dengan urutan dan arah yang benar.
Gunakan aturan pemetaan titik \((x,y)\mapsto\left(\dfrac@@P14@@@@P15@@+h,\;ay+k\right)\) (dengan b≠ 0) untuk mentransformasi titik dan fitur kunci.
Bekerja dengan transformasi fungsi induk umum: linear, kuadrat/kubik, nilai mutlak, akar kuadrat, eksponensial, dan sinus.
Periksa jawaban dengan melacak bagaimana intersep, titik puncak, dan batasan domain bergerak di bawah transformasi.
Kosakata kunci
Transformasi: perubahan pada grafik (pergeseran, peregangan/pemampatan, refleksi) yang membuat fungsi baru dari fungsi lama.
Pergeseran vertikal: \(y=f(x)+k\) menggeser grafik ke atas \(k\) (ke bawah jika \(k@@P24@@0\)).
Pergeseran horizontal: \(y=f(x-h)\) menggeser grafik ke kanan \(h\) (ke kiri jika \(h@@P25@@0\)).
Refleksi: \(y=-f(x)\) memantulkan terhadap sumbu-\(x\); \(y=f(-x)\) memantulkan terhadap sumbu-\(y\).
Peregangan/pemampatan: \(y=a\,f(x)\) menskalakan vertikal sebesar \(|a|\); \(y=f(bx)\) menskalakan horizontal sebesar \(\tfrac@@P26@@{|b|}\).
Transformasi komposit: beberapa transformasi dalam satu ekspresi, sering \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
Cek awal cepat
Cek awal 1: Transformasi apa yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=f(x)-5\)?
Petunjuk: Mengurangkan konstanta di luar \(f\) menggeser grafik ke bawah.
Cek awal 2: Pada \(y=f(2x)\), grafik \(f\) ditransformasi bagaimana?
Petunjuk: Mengalikan \(x\) di dalam \(f(\,\cdot\,)\) membuat perubahan horizontal dalam arah kebalikan.
Template Transformasi
Template \(y=a\,f(b(x-h))+k\)
Tujuan pembelajaran: Baca fungsi yang ditransformasi dan ubah menjadi daftar transformasi grafik yang benar (dengan arah dan skala yang tepat).
Ide utama
Banyak soal "transformasi fungsi lanjutan" memakai bentuk standar \[ y=a\,f(b(x-h))+k. \] Bentuk ini memberi tahu bagaimana grafik \(y=f(x)\) berubah:
\(a\) mengontrol peregangan/pemampatan vertikal sebesar \(|a|\) dan refleksi terhadap sumbu-\(x\) jika \(a@@P32@@0\).
\(k\) mengontrol pergeseran vertikal: naik \(k\), turun jika \(k@@P33@@0\).
\(b\) mengontrol peregangan/pemampatan horizontal sebesar \(\tfrac@@P36@@{|b|}\) dan refleksi terhadap sumbu-\(y\) jika \(b@@P34@@0\).
\(h\) mengontrol pergeseran horizontal: kanan \(h\), kiri jika \(h@@P35@@0\).
Aturan pemetaan titik (cepat + andal)
Jika \((x,y)\) adalah titik pada \(y=f(x)\), maka titik yang bersesuaian pada \[ y=a\,f(b(x-h))+k \] adalah \[ \left(\frac@@P2@@@@P3@@+h,\; ay+k\right)\quad (b\neq 0). \] Ini salah satu cara tercepat untuk menghindari kesalahan tanda pada transformasi di dalam fungsi.
Contoh dikerjakan
Contoh: Deskripsikan transformasi dari \(y=f(x)\) ke \(y=-f(3(x-1))+4\).
Tulis dalam template \(a\,f(b(x-h))+k\). Di sini \(a=-1\), \(b=3\), \(h=1\), \(k=4\). Jadi:
Pemampatan horizontal dengan faktor \(\tfrac@@P26@@@@P27@@\) (karena ada \(3\) di dalam).
Geser kanan 1 (karena \(x-1\)).
Refleksi terhadap sumbu-\(x\) (karena tanda negatif di luar \(f\)).
Pergeseran, peregangan, dan refleksi vertikal: \(y=a\,f(x)+k\)
Tujuan pembelajaran: Kenali dan hitung transformasi vertikal dengan cepat, serta hubungkan rumus dengan perubahan grafik.
Ide utama
Pergeseran vertikal: \(y=f(x)+k\) menggeser naik \(k\); \(y=f(x)-k\) menggeser turun \(k\).
Peregangan/pemampatan vertikal: \(y=a\,f(x)\) mengalikan semua nilai \(y\) dengan \(a\). Jika \(|a|@@P12@@1\), grafik meregang; jika \(0@@P13@@|a|@@P14@@1\), grafik memampat.
Refleksi terhadap sumbu-\(x\): \(y=-f(x)\) membalik grafik secara vertikal.
Contoh dikerjakan
Contoh: Jika \(f(x)=x^3-1\), cari \(f(x)+5\) dan \(-f(x)+1\). Lalu deskripsikan transformasinya.
\(y=-f(x)+1\): refleksi terhadap sumbu-\(x\), lalu geser naik 1.
Coba
Coba 1: Berapa \(-f(x)\) jika \(f(x)=2x-1\)?
Petunjuk: Kalikan seluruh ekspresi \(2x-1\) dengan \(-1\).
Coba 2: Transformasi apa yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=\tfrac@@P2@@@@P3@@f(x)\)?
Petunjuk: Mengalikan \(f(x)\) dengan \(\tfrac@@P0@@@@P1@@\) membagi semua nilai \(y\) menjadi setengah.
Ringkasan
Perubahan di luar memengaruhi nilai \(y\): \(y=a\,f(x)+k\).
Negatif di luar \(f\) memantulkan terhadap sumbu-\(x\).
Transformasi Horizontal
Notasi fungsi dan transformasi di dalam
Tujuan pembelajaran: Substitusi dengan benar (untuk mencari rumus baru) dan tafsirkan perubahan di dalam sebagai pergeseran, peregangan/pemampatan, dan refleksi horizontal.
Ide utama
Saat melihat \(f(\,\text\(f(x)\)\,)\), Anda mengganti \(x\) dengan "something" di mana pun \(x\) muncul dalam aturan \(f(x)\). Lalu tafsirkan perubahan grafik:
\(y=f(x-h)\): geser kanan \(h\).
\(y=f(x+h)\): geser kiri \(h\).
\(y=f(bx)\): skala horizontal sebesar \(\tfrac@@P22@@{|b|}\) (pemampatan jika \(|b|@@P18@@1\), peregangan jika \(0@@P19@@|b|@@P20@@1\)).
\(y=f(-x)\): refleksi terhadap sumbu-\(y\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Jika \(f(x)=2x+3\), apa \(f(x-4)\)? Jika \(f(x)=3^x\), apa \(f(x+1)\)?
Substitusikan \(x-4\) ke \(2x+3\): \[ f(x-4)=2(x-4)+3=2x-8+3=2x-5. \] Substitusikan \(x+1\) ke \(3^x\): \[ f(x+1)=3^{x+1}. \] (Catatan: \(3^{x+1}=3\cdot 3^x\).)
Coba
Coba 1: Berapa \(f(-x+1)\) jika \(f(x)=3x\)?
Petunjuk: Ganti \(x\) dengan \(-x+1\): \(f(-x+1)=3(-x+1)\).
Coba 2: Berapa \(f(0.5x)\) jika \(f(x)=|x|\)?
Petunjuk: Substitusikan \(0.5x\) ke dalam nilai mutlak: \(|0.5x|\).
Ringkasan
Perubahan di dalam memengaruhi nilai \(x\) (pergeseran/skala/refleksi horizontal).
Selalu substitusi dulu, lalu sederhanakan.
Transformasi Komposit
Transformasi komposit dan urutan yang benar
Tujuan pembelajaran: Deskripsikan transformasi beberapa langkah seperti \(y=f(0.5(x-4))-2\) dan \(y=-f(3(x-1))+4\) tanpa kesalahan arah/urutan.
Ide utama
Jika transformasi memuat perubahan di dalam dan di luar, gunakan template: \[ y=a\,f(b(x-h))+k. \] Urutan transformasi yang andal (dari \(y=f(x)\) ke grafik baru) adalah:
1) Skala / refleksi horizontal: berdasarkan \(b\) (skala \(\tfrac@@P22@@{|b|}\); refleksi terhadap sumbu-\(y\) jika \(b@@P20@@0\)).
2) Pergeseran horizontal: berdasarkan \(h\) (kanan \(h\)).
3) Skala / refleksi vertikal: berdasarkan \(a\) (skala \(|a|\); refleksi terhadap sumbu-\(x\) jika \(a@@P21@@0\)).
4) Pergeseran vertikal: berdasarkan \(k\) (naik \(k\)).
Contoh dikerjakan
Contoh: Urutan mana yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=f(0.5(x-4))-2\)?
Di sini \(b=0.5\), \(h=4\), \(a=1\), \(k=-2\). Jadi:
Skala horizontal sebesar \(\tfrac@@P22@@{0.5}=2\): peregangan horizontal dengan faktor 2.
Coba 1: Urutan mana yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=f(0.5(x-4))-2\)?
Petunjuk: Identifikasi \(b\), lalu \(h\), lalu \(k\). Skala horizontal berasal dari \(b\).
Coba 2: Urutan mana yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=-f(3(x-1))+4\)?
Petunjuk: Untuk \(3(x-1)\), lakukan pemampatan horizontal dahulu, lalu geser kanan 1.
Ringkasan
Gunakan \(y=a\,f(b(x-h))+k\) untuk membaca transformasi komposit.
Skala horizontal (dari \(b\)) datang sebelum pergeseran horizontal (dari \(h\)).
Fungsi Induk Khusus
Transformasi \(|x|\), \(\sqrt@@P0@@\), \(a^x\), dan \(\sin(x)\)
Tujuan pembelajaran: Terapkan aturan transformasi yang sama pada fungsi induk umum dan lacak fitur kunci seperti titik puncak, intersep, amplitudo/periode, dan batasan domain.
Ide utama
Nilai mutlak \(y=|x|\): fitur kuncinya adalah titik puncak di \((0,0)\).
Akar kuadrat \(y=\sqrt@@P21@@\): domain mulai dari \(x\ge 0\). Transformasi memindahkan titik awal dan dapat mengubah domain.
Eksponensial \(y=a^x\) (\(a@@P20@@0\), a≠ 1): memiliki asimtot horizontal di \(y=0\) (sebelum pergeseran vertikal).
Sinus \(y=\sin(x)\): untuk \(y=A\sin(B(x-h))+k\), amplitudo adalah \(|A|\) dan periode adalah \(\dfrac{2\pi}{|B|}\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa \((f(x))^{1/2}\) jika \(f(x)=x+9\)? Apa maknanya untuk domain (output real)?
\[ (f(x))^{1/2}=\sqrt{f(x)}=\sqrt{x+9}. \] Untuk nilai real, perlu \(x+9\ge 0\), jadi domain menjadi \(x\ge -9\).
Coba
Coba 1: Berapa \(f(x+\pi)\) jika \(f(x)=\sin(x)\)?
Petunjuk: Substitusikan \(x+\pi\) ke \(\sin(x)\). (Anda juga bisa menyederhanakan: \(\sin(x+\pi)=-\sin(x)\).)
Coba 2: Berapa \((f(x))^{1/2}\) jika \(f(x)=x+9\)?
Petunjuk: \((f(x))^{1/2}=\sqrt{f(x)}\). Ganti \(f(x)\) dengan \(x+9\).
Ringkasan
Transformasi berlaku pada semua fungsi induk, tetapi perhatikan fitur kunci (titik puncak, asimtot, periode) dan batasan domain.
Rekayasa Balik
Rekayasa balik langkah-langkah (dan bangun persamaan)
Tujuan pembelajaran: Berangkat dari persamaan menuju urutan transformasi yang rapi (dan dari deskripsi menuju persamaan yang benar) dengan kesalahan tanda minimal.
Strategi andal
1) Tulis ulang bagian dalam sebagai \(b(x-h)\) jika mungkin.
2) Identifikasi \(a,b,h,k\) dari \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
3) Daftar transformasi dalam urutan: skala/refleksi horizontal → pergeseran horizontal → skala/refleksi vertikal → pergeseran vertikal.
4) Cek dengan memetakan satu titik mudah (atau fitur kunci).
Contoh dikerjakan
Contoh: Deskripsikan transformasi dari \(y=f(x)\) ke \(y=-3f(x+2)+5\).
\(x+2\) di dalam: geser kiri 2.
\(-3\) di luar: refleksi terhadap sumbu-\(x\) dan peregangan vertikal dengan faktor 3.
\(+5\): geser naik 5.
Pemetaan titik: \((x,y)\mapsto(x-2,\; -3y+5)\).
Coba
Coba 1: Urutan mana yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=-3f(x+2)+5\)?
Petunjuk: Bagian dalam \(x+2\) adalah geser kiri. Bagian luar \(-3\) adalah refleksi + peregangan vertikal. Lalu terapkan \(+5\).
Coba 2: Transformasi apa yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=f(-x)+5\)?
Petunjuk: \(f(-x)\) memantulkan terhadap sumbu-\(y\). Menambahkan \(+5\) menggeser naik.
Ringkasan
Tulis ulang → identifikasi \(a,b,h,k\) → daftar transformasi dalam urutan konsisten → cek dengan titik yang dipetakan.
Aplikasi & Gambaran Besar
Mengapa transformasi fungsi lanjutan penting
Tujuan pembelajaran: Hubungkan transformasi dengan grafik cepat, pemodelan, dan soal membangun persamaan, lalu akhiri dengan cek final.
Di mana transformasi fungsi muncul
Membuat grafik cepat: sketsa fungsi kompleks dengan mentransformasi grafik induk alih-alih memplot banyak titik.
Pemodelan: cocokkan data dengan menggeser/menskalakan bentuk yang dikenal (eksponensial, kurva trigonometri, bentuk V nilai mutlak).
Menyelesaikan persamaan: pahami bagaimana pergeseran dan skala memindahkan intersep dan titik potong.
Prekalkulus & kalkulus: transformasi membantu Anda menalar domain, rentang, asimtot, dan perilaku tanpa komputasi berat.
Contoh dikerjakan: transformasi fungsi induk
Contoh: Deskripsikan transformasi dari \(y=|x|\) ke \(y=-\tfrac@@P20@@@@P21@@|x-4|+3\).
\(|x-4|\): geser kanan 4 (titik puncak berpindah dari \((0,0)\) ke \((4,0)\)).
\(-\tfrac@@P22@@@@P23@@\cdot |x-4|\): pemampatan vertikal dengan faktor \(\tfrac@@P24@@@@P25@@\) dan refleksi terhadap sumbu-\(x\).
\(+3\): geser naik 3 (titik puncak menjadi \((4,3)\)).
Coba
Coba 1: Transformasi apa yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=\tfrac@@P2@@@@P3@@f(x-4)\)?
Petunjuk: \(x-4\) adalah geser kanan 4. Faktor \(\tfrac@@P0@@@@P1@@\) menskalakan nilai \(y\).
Coba 2: Transformasi apa yang memetakan \(y=f(x)\) ke \(y=-f(x)+0\)?
Petunjuk: Tanda negatif di depan \(f(x)\) memantulkan grafik terhadap sumbu-\(x\).
Rekap akhir
Bentuk standar: \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
Horizontal: skala sebesar \(\tfrac\(y\){|b|}\), refleksi terhadap sumbu-\(y\) jika \(b@@P10@@0\), lalu geser kanan sebesar \(h\).
Vertikal: skala sebesar \(|a|\), refleksi terhadap sumbu-\(x\) jika \(a@@P11@@0\), lalu geser naik sebesar \(k\).
Keterampilan substitusi: hitung ekspresi seperti \(f(x+1)\), \(f(x-4)\), \(f(-x+1)\), dan \(f(0.5x)\) dengan mengganti \(x\).
Pemetaan titik (cek cepat): \((x,y)\mapsto\left(\tfrac@@P13@@@@P14@@+h,\;ay+k\right)\) untuk \(y=a\,f(b(x-h))+k\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan jenis transformasi (vertikal, horizontal, atau komposit) yang menyebabkan kesalahan.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+