अवकलज अनुप्रयोग अभ्यास क्विज़
इस अभ्यास में परिवर्तन दर, संबंधित दरें, अनुकूलन, महत्वपूर्ण बिंदु, बढ़ता/घटता अंतराल, रैखिक सन्निकटन और माध्य मान प्रमेय को अवकलजों से हल करना सीखें।
यह अभ्यास कैसे काम करता है
- 1. क्विज़ हल करें: मॉडल बनाएँ, अवकलज लें और संदर्भ में उत्तर दें।
- 2. पाठ खोलें: स्थापना के चरण और सामान्य गलतियाँ देखें।
- 3. फिर से प्रयास करें: प्रश्नों में अवकलज का अर्थ और परीक्षण लागू करें।
आप क्या सीखेंगे
दर परिवर्तन
- अवकलज किसी राशि की तात्कालिक परिवर्तन दर बताता है।
- स्थिति का अवकलज वेग और वेग का अवकलज त्वरण है।
- संबंधित दरों में राशियाँ समय से जुड़ी होती हैं, इसलिए श्रृंखला नियम लगता है।
संबंधित दरें
- पहले राशियों को जोड़ने वाला ज्यामिति समीकरण लिखें।
- फिर समय \(t\) के अनुसार अंतर्निहित अवकलन करें।
- अवकलन के बाद दिए गए मान प्रतिस्थापित करें।
अनुकूलन
- जिस राशि को अधिकतम/न्यूनतम करना है, उसका उद्देश्य फलन लिखें।
- बाधा से चर कम करें।
- महत्वपूर्ण बिंदु और अंतबिंदु जाँचें।
अवकलज परीक्षण
- महत्वपूर्ण बिंदु जहाँ \(f^{\prime}(x)=0\) या अपरिभाषित हो।
- \(f^{\prime}>0\) बढ़ता हुआ और \(f^{\prime}<0\) घटता हुआ व्यवहार दिखाता है।
- रैखिक सन्निकटन: \(f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)\)।
अभ्यास सेट
अवकलजों के अनुप्रयोग अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
यदि एक वृत्त की त्रिज्या \(2\) इकाई/सेकंड की दर से बढ़ रही है, तो व्यास कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?
सही उत्तर: C. \(4\) इकाई/सेकंड
व्याख्या: चूँकि व्यास \(d=2r\) है, अवकलन करने पर: \(dd/dt = 2\cdot dr/dt = 2\cdot2 = 4\) इकाई/सेकंड।
स्थिर परिमाप \(P\) वाले एक आयत के लिए, कौन-सा आकार उसका क्षेत्रफल अधिकतम करता है?
सही उत्तर: B. एक वर्ग
व्याख्या: \(2x+2y=P\) और क्षेत्रफल \(A=xy\) के साथ, सममिति (\(x=y\)) \(A\) को अधिकतम करती है, इसलिए आयत एक वर्ग होता है।
यदि एक घन की भुजा की लंबाई \(1\) इकाई/सेकंड की दर से बढ़ रही है, तो जब भुजा \(2\) इकाई है, तब उसका आयतन कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?
सही उत्तर: C. \(12\ \text{units}^3/\text{s}\)
व्याख्या: आयतन \(V = a^3\) है। अवकलन करने पर: \(\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}\)। \(a=2\) और \(\frac{da}{dt}=1\) पर: \(\frac{dV}{dt} = 3\cdot2^2\cdot1 = 12\ \text{units}^3/\text{s}\)।
एक आयत की ऊँचाई \(5\) इकाई स्थिर है, जबकि उसकी चौड़ाई \(2\) इकाई/सेकंड की दर से बढ़ रही है। उसका क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?
सही उत्तर: C. \(10\ \text{units}^2/\text{s}\)
व्याख्या: क्षेत्रफल \(A = 5w\) है। अवकलन करने पर: \(\frac{dA}{dt} = 5\,\frac{dw}{dt} = 5\cdot2 = 10\ \text{units}^2/\text{s}\)।
दो धनात्मक संख्याओं का योग \(10\) है। कौन-सा युग्म उनका गुणनफल अधिकतम करता है?
सही उत्तर: A. \(5\) और \(5\)
व्याख्या: संख्याएँ \(x\) और \(10-x\) मान लें। गुणनफल \(P=x(10-x)\) का अधिकतम \(x=5\) पर होता है, इसलिए युग्म \((5,5)\) है।
नियत आयतन वाले सभी ठोसों में किसका पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे कम होता है?
सही उत्तर: D. गोला
व्याख्या: परिवर्तनशील कलन के अनुसार, दिए गए आयतन के लिए गोला पृष्ठीय क्षेत्रफल को न्यूनतम करता है।
यदि एक वृत्त की त्रिज्या \(1\) इकाई/सेकंड की दर से बढ़ रही है, तो उसका परिमाप कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?
सही उत्तर: B. \(2\pi\ \text{units}/\text{s}\)
व्याख्या: परिमाप \(C = 2\pi r\) है। अवकलन करने पर: \(\frac{dC}{dt} = 2\pi\,\frac{dr}{dt} = 2\pi\cdot1 = 2\pi\ \text{units}/\text{s}\)।
यदि एक वृत्त की त्रिज्या \(2\) इकाई/सेकंड की दर से बढ़ रही है, तो जब \(r=3\) हो, उसका क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?
सही उत्तर: D. \(12\pi\ \text{units}^2/\text{s}\)
व्याख्या: क्षेत्रफल \(A = \pi r^2\) है। अवकलन करने पर: \(\frac{dA}{dt} = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}\)। \(r=3\) और \(\frac{dr}{dt}=2\) पर: \(\frac{dA}{dt} = 2\pi\cdot3\cdot2 = 12\pi\ \text{units}^2/\text{s}\)।
एक वर्ग की भुजा की लंबाई \(2\) इकाई/सेकंड की दर से बढ़ रही है। जब भुजा \(3\) हो, तब उसका क्षेत्रफल कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?
सही उत्तर: A. \(12\ \text{units}^2/\text{s}\)
व्याख्या: क्षेत्रफल \(A = s^2\) है, इसलिए \(dA/dt = 2s\,ds/dt = 2\cdot3\cdot2 = 12\)।
यदि एक वर्ग की भुजा \(1\) इकाई/मिनट की दर से बढ़ रही है, तो उसका परिमाप कितनी तेज़ी से बढ़ रहा है?
सही उत्तर: A. \(4\ \text{units}/\text{min}\)
व्याख्या: परिमाप \(P = 4s\) है, इसलिए \(dP/dt = 4\,ds/dt = 4\cdot1 = 4\)।
परिणाम
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