Kuis Latihan Aplikasi Turunan dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih aplikasi turunan — keterampilan dunia nyata paling praktis dalam Kalkulus. Anda akan bekerja dengan turunan sebagai laju perubahan sesaat dan sebagai kemiringan garis singgung, menghitung kecepatan dan percepatan dari fungsi posisi, menyelesaikan soal klasik laju terkait memakai diferensiasi implisit (tangga, lingkaran, bola, tabung), dan menguasai soal optimisasi (memaksimalkan pendapatan, meminimalkan biaya, memaksimalkan luas dengan keliling tetap). Anda juga akan memakai titik kritis dan uji turunan (naik/turun, uji turunan pertama), serta menerapkan aproksimasi linear (aproksimasi garis singgung / diferensial) untuk memperkirakan nilai dengan cepat. Jika ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan aplikasi turunan ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal aplikasi turunan di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau laju terkait, optimisasi, gerak (kecepatan/percepatan), uji turunan, dan aproksimasi linear dengan contoh yang jelas.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan alat turunan.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran aplikasi turunan
Laju perubahan & gerak
Makna turunan: laju perubahan sesaat dan kemiringan garis singgung
Kecepatan & percepatan: \(v(t)=s'(t)\), \(a(t)=v'(t)=s''(t)\)
Laju aturan rantai: hubungkan \(dy/dt\) dengan \(dy/dx\cdot dx/dt\)
Tujuan: Bangun keterampilan kuat dalam aplikasi turunan agar Anda dapat memakai turunan sebagai laju perubahan dan kemiringan, menyelesaikan soal gerak (kecepatan dan percepatan), menyusun dan menyelesaikan laju terkait memakai diferensiasi implisit, menangani optimisasi (memaksimalkan pendapatan, meminimalkan biaya, memaksimalkan luas dengan kendala), menganalisis fungsi dengan titik kritis dan uji naik/turun, serta memakai aproksimasi linear (aproksimasi garis singgung) untuk memperkirakan nilai dengan cepat.
Kriteria keberhasilan
Menafsirkan turunan sebagai laju perubahan sesaat dan kemiringan garis singgung.
Menghitung kecepatan dan percepatan dari fungsi posisi \(s(t)\).
Menggunakan aturan rantai untuk laju: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Menyusun laju terkait dengan persamaan geometri dan menurunkan terhadap \(t\).
Menghitung laju untuk lingkaran, bola, tabung, dan tangga (Teorema Pythagoras).
Menulis fungsi objektif dan kendala untuk soal optimisasi.
Mencari titik kritis tempat \(f'(x)=0\) atau \(f'(x)\) tidak ada.
Menentukan kapan fungsi naik atau turun dari tanda \(f'(x)\).
Menggunakan aproksimasi linear: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\).
Menerapkan ide Teorema Nilai Rata-rata: laju rata-rata vs laju sesaat.
Kosakata kunci
Turunan: \(f'(x)\), kemiringan garis singgung dan laju perubahan sesaat.
Laju terkait: memakai hubungan antarvariabel untuk menghubungkan laju seperti \(dx/dt\), \(dy/dt\), \(dr/dt\).
Optimisasi: memaksimalkan atau meminimalkan suatu besaran dengan kendala.
Titik kritis: titik tempat \(f'(x)=0\) atau \(f'(x)\) tidak terdefinisi.
Aproksimasi linear: memakai garis singgung untuk memperkirakan nilai fungsi.
Teorema Nilai Rata-rata: ada \(c\) sehingga \(f'(c)\) sama dengan kemiringan rata-rata pada \([a,b]\).
Cek awal cepat
Cek awal 1: Posisi suatu benda adalah \(s(t)=5t^2\). Berapa kecepatannya saat \(t=3\)?
Petunjuk: Kecepatan adalah \(v(t)=s'(t)\). Turunkan \(5t^2\) untuk mendapatkan \(10t\).
Cek awal 2: Berapa kemiringan garis singgung \(y=\frac{1}{x}\) di \(x=2\)?
Petunjuk: \(y=x^{-1}\Rightarrow y'=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}\). Evaluasi di \(x=2\).
Laju Perubahan
Turunan sebagai laju: kecepatan, percepatan, dan aturan rantai dengan waktu
Tujuan pembelajaran: Gunakan turunan untuk mengubah posisi menjadi kecepatan dan percepatan, serta menghubungkan laju memakai aturan rantai.
Ide utama
Dalam aplikasi, turunan sering berarti laju perubahan sesaat. Jika posisi adalah \(s(t)\), maka: \[ v(t)=s'(t)\quad \text{(kecepatan)}, \qquad a(t)=v'(t)=s''(t)\quad \text{(percepatan)}. \] Ketika variabel bergantung pada waktu, aturan rantai menghubungkan laju: \[ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}. \]
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa kecepatan sesaat dari \(s(t)=3t^2+2t\) saat \(t=1\)?
Turunkan: \[ v(t)=s'(t)=6t+2. \] Evaluasi di \(t=1\): \[ v(1)=6(1)+2=8. \]
Coba
Coba 1: Berapa kecepatan sesaat dari \(s(t) = 3t^2 + 2t\) saat \(t = 1\)?
Petunjuk: Kecepatan adalah \(s'(t)\). Turunkan, lalu substitusikan \(t=1\).
Coba 2: Jika \(y=\tan(x)\) dan \(\frac{dx}{dt}=1\) saat \(x=0\), berapa \(\frac{dy}{dt}\)?
Petunjuk: \(\dfrac{dy}{dt}=\sec^2(x)\dfrac{dx}{dt}\). Saat \(x=0\), \(\sec^2(0)=1\).
Ringkasan
Kecepatan adalah \(s'(t)\); percepatan adalah \(s''(t)\).
Untuk variabel yang bergantung pada waktu, gunakan \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Laju Terkait
Laju terkait: susun persamaan, lalu turunkan terhadap waktu
Tujuan pembelajaran: Ubah soal cerita menjadi persamaan dan hubungkan laju seperti \(dx/dt\) dan \(dy/dt\).
Ide utama
Soal laju terkait mengikuti proses yang konsisten:
Langkah 1: Gambar sketsa dan tulis hubungan antarvariabel (sering berupa geometri).
Langkah 2: Turunkan kedua ruas terhadap waktu \(t\).
Langkah 3: Substitusikan nilai pada saat itu dan selesaikan laju yang belum diketahui.
Contoh dikerjakan
Contoh: Sebuah tangga sepanjang \(10\) kaki bersandar pada dinding. Jika bagian bawahnya menjauh dengan laju \(1\) kaki/detik, seberapa cepat bagian atasnya turun ketika bagian bawah berjarak \(6\) kaki dari dinding?
Misalkan \(x\) adalah jarak bagian bawah dari dinding dan \(y\) adalah tinggi bagian atas. Maka: \[ x^2+y^2=10^2=100. \] Turunkan terhadap \(t\): \[ 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}. \] Saat \(x=6\), \(y=\sqrt{100-36}=8\). Dengan \(\frac{dx}{dt}=1\), \[ \frac{dy}{dt}=-\frac{6}{8}(1)=-\frac{3}{4}. \] Jadi bagian atas meluncur turun dengan laju \(\frac{3}{4}\) kaki/detik.
Coba
Coba 1: Jika jari-jari lingkaran bertambah dengan laju \(2\) satuan/detik, seberapa cepat luasnya bertambah saat \(r=3\)?
Coba 2: Jika volume bola bertambah dengan laju \(100\) satuan\(^3\)/detik, seberapa cepat jari-jarinya bertambah saat \(r=5\)?
Petunjuk: \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow \dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}\). Selesaikan \(dr/dt\) saat \(r=5\).
Ringkasan
Tulis hubungan terlebih dahulu (geometri), lalu turunkan terhadap waktu.
Substitusikan nilai sesaat terakhir, lalu selesaikan laju yang belum diketahui.
Optimisasi
Optimisasi: memaksimalkan atau meminimalkan dengan turunan
Tujuan pembelajaran: Ubah soal cerita menjadi fungsi satu variabel, lalu gunakan turunan untuk mencari maksimum/minimum.
Ide utama
Soal optimisasi mengikuti daftar periksa yang andal:
Definisikan variabel dan tulis besaran yang ingin dioptimalkan (fungsi objektif).
Gunakan kendala untuk menulis ulang objektif dengan satu variabel.
Turunkan dan selesaikan \(A'(x)=0\) (atau \(R'(p)=0\), dll.) untuk mencari titik kritis.
Konfirmasi maks/min (pakai uji atau konteks soal).
Contoh dikerjakan
Contoh: Harga \(p\) berapa yang memaksimalkan pendapatan jika \(R(p)=p(100-p)\)?
Kembangkan: \[ R(p)=100p-p^2. \] Turunkan dan samakan dengan nol: \[ R'(p)=100-2p=0 \Rightarrow p=50. \] Karena \(R(p)\) adalah parabola terbuka ke bawah, \(p=50\) memberi pendapatan maksimum.
Coba
Coba 1: Sebuah persegi panjang memiliki keliling \(40\) satuan. Dimensi apa yang memaksimalkan luasnya?
Petunjuk: Untuk keliling tetap, persegi panjang dengan luas maksimum adalah persegi.
Coba 2: Untuk persegi panjang dengan keliling tetap \(P\), bentuk mana yang memaksimalkan luasnya?
Petunjuk: Simetri menang: sisi-sisi yang sama memaksimalkan luas untuk keliling tetap.
Ringkasan
Tulis objektif, gunakan kendala, lalu turunkan dan selesaikan titik kritis.
Gunakan konteks atau uji untuk memastikan Anda menemukan maksimum atau minimum.
Uji Turunan
Titik kritis, naik/turun, dan uji turunan pertama
Tujuan pembelajaran: Gunakan \(f'(x)\) untuk menemukan titik kritis dan menentukan di mana fungsi naik atau turun.
Ide utama
Uji turunan mengubah grafik menjadi aljabar:
Titik kritis: selesaikan \(f'(x)=0\) (dan sertakan tempat \(f'(x)\) tidak terdefinisi).
Naik/turun: jika \(f'(x)>0\), \(f\) naik; jika \(f'(x)<0\), \(f\) turun.
Uji turunan pertama: jika \(f'\) berubah dari \(+\) ke \(-\), ada maksimum lokal; dari \(-\) ke \(+\), ada minimum lokal.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari titik kritis dari \(f(x)=x^3-3x^2+4\).
Turunkan: \[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). \] Tetapkan \(f'(x)=0\): \[ 3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ atau } x=2. \] Jadi titik kritis terjadi di \(x=0\) dan \(x=2\).
Coba
Coba 1: Cari titik kritis dari \(f(x)=x^3-3x^2+4\).
Petunjuk: Turunkan dan selesaikan \(f'(x)=0\).
Coba 2: Cari di mana \(f(x)= x^5-5x^4\) menurun.
Petunjuk: Hitung \(f'(x)\), faktorkan, lalu gunakan tabel tanda untuk \(f'(x)\).
Ringkasan
Titik kritis berasal dari \(f'(x)=0\) (dan tempat \(f'\) tidak terdefinisi).
Tanda \(f'(x)\) memberi tahu di mana \(f\) naik/turun; perubahan tanda menentukan ekstrem lokal.
Aproksimasi linear
Aproksimasi linear: garis singgung sebagai penaksir cepat
Tujuan pembelajaran: Gunakan garis singgung \(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) untuk memperkirakan nilai di dekat \(a\).
Ide utama
Di dekat titik \(x=a\), fungsi terdiferensialkan berperilaku hampir seperti garis singgungnya: \[ f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a). \] Ini berguna untuk perkiraan cepat dan untuk memahami sensitivitas galat.
Contoh dikerjakan
Contoh: Gunakan aproksimasi linear untuk memperkirakan \(\sqrt{9.1}\).
Misalkan \(f(x)=\sqrt{x}\) dan pilih \(a=9\) karena \(\sqrt{9}=3\). Maka \(f(9)=3\) dan \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), sehingga \(f'(9)=\dfrac{1}{6}\). Dengan \(x=9.1\), \(x-a=0.1\): \[ \sqrt{9.1}\approx 3+\frac{1}{6}(0.1)=3+\frac{0.1}{6}\approx 3.0167. \]
Coba
Coba 1: Dengan aproksimasi linear di \(a=9\), perkirakan \(\sqrt{9.1}\).
Petunjuk: Gunakan \(f(x)=\sqrt{x}\), \(f(9)=3\), \(f'(9)=1/6\), dan \(\Delta x=0.1\).
Coba 2: Dengan aproksimasi linear di \(x=1\), perkirakan \(\ln(1.02)\).
Petunjuk: \(f(x)=\ln x\), \(f(1)=0\), \(f'(1)=1\), dan \(\Delta x=0.02\).
Ringkasan
Aproksimasi linear memakai garis singgung: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\).
Pilih \(a\) sehingga \(f(a)\) dan \(f'(a)\) mudah dihitung.
Teorema Nilai Rata-rata
Perubahan rata-rata vs sesaat: ide Teorema Nilai Rata-rata
Tujuan pembelajaran: Hubungkan laju perubahan rata-rata dengan nilai turunan sesaat.
Ide utama
Jika \(f\) kontinu pada \([a,b]\) dan terdiferensialkan pada \((a,b)\), maka Teorema Nilai Rata-rata mengatakan ada setidaknya satu bilangan \(c\in(a,b)\) sehingga \[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \] Ini adalah jembatan formal dari kemiringan rata-rata ke kemiringan garis singgung.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(f(x)=x^2\) pada \([1,3]\), cari \(c\) yang memenuhi Teorema Nilai Rata-rata.
Kemiringan rata-rata: \[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4. \] Turunan: \[ f'(x)=2x. \] Tetapkan \(2c=4\Rightarrow c=2\), yang berada dalam \((1,3)\).
Coba
Coba 1: Untuk \(f(x)=x^2\) pada \([0,2]\), nilai \(c\in(0,2)\) yang memenuhi Teorema Nilai Rata-rata adalah:
Petunjuk: Hitung kemiringan rata-rata \(\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}\), lalu selesaikan \(f'(c)=\) kemiringan itu.
Coba 2: Jika \(y=\ln(x)\) dan \(\frac{dx}{dt}=2\) saat \(x=1\), berapa \(\frac{dy}{dt}\)?
Petunjuk: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{x}\dfrac{dx}{dt}\). Evaluasi di \(x=1\).
Ringkasan
Teorema Nilai Rata-rata menjamin setidaknya satu titik tempat kemiringan garis singgung sama dengan kemiringan rata-rata pada interval.
Laju aturan rantai sering muncul bersama aplikasi: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Aplikasi & Gambaran Besar
Mengapa aplikasi turunan penting
Tujuan pembelajaran: Hubungkan alat turunan dengan pemodelan nyata — lalu akhiri dengan cek akhir.
Di mana aplikasi turunan muncul
Fisika: kecepatan, percepatan, dan laju perubahan terhadap waktu.
Ekonomi: memaksimalkan pendapatan, meminimalkan biaya, mencari harga optimal.
Teknik: laju terkait, sensitivitas, dan optimisasi desain dengan kendala.
Data & pemodelan: turunan mengukur bagaimana output merespons input (perilaku lokal).
Contoh dikerjakan: volume berubah dalam tabung
Contoh: Jika sebuah tabung memiliki jari-jari \(2\) satuan dan tingginya bertambah dengan laju \(1\) satuan/detik, seberapa cepat volumenya berubah?
Volume adalah \(V=\pi r^2h\). Jika \(r\) konstan di \(2\), maka \[ \frac{dV}{dt}=\pi r^2\frac{dh}{dt}=\pi(2^2)(1)=4\pi. \]
Coba
Coba 1: Jika sebuah tabung memiliki jari-jari \(2\) satuan dan tingginya bertambah dengan laju \(1\) satuan/detik, seberapa cepat volumenya berubah?
Petunjuk: Jika \(r\) konstan, \(dV/dt=\pi r^2\, dh/dt\).
Coba 2: Dalam segitiga siku-siku, sisi \(x=4\) tetap dan sisi \(y\) bertambah dengan laju \(2\) satuan/detik. Seberapa cepat hipotenusa \(c\) berubah saat \(y=3\)?
Petunjuk: Gunakan \(c^2=x^2+y^2\). Turunkan: \(2c\,dc/dt=2y\,dy/dt\) karena \(x\) konstan.
Rekap akhir
Gerak: \(v(t)=s'(t)\), \(a(t)=s''(t)\).
Laju aturan rantai: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Laju terkait: tulis persamaan, turunkan terhadap \(t\), lalu substitusikan nilai.
Optimisasi: objektif + kendala \(\rightarrow\) satu variabel \(\rightarrow\) turunan \(\rightarrow\) cek.
Uji turunan: titik kritis dan tanda \(f'(x)\) menunjukkan di mana fungsi naik/turun.
Aproksimasi linear: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\) di dekat \(a\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan aplikasi yang Anda butuhkan (laju, laju terkait, optimisasi, uji, atau aproksimasi).
Set latihan
Soal latihan Aplikasi Turunan dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Jika jari-jari sebuah lingkaran bertambah dengan laju \(2\) satuan/detik, seberapa cepat diameter bertambah?
Jawaban benar: C. \(4\) satuan/detik
Penjelasan: Karena diameter \(d=2r\), turunkan terhadap waktu: \(dd/dt = 2\cdot dr/dt = 2\cdot2 = 4\) satuan/detik.
Soal 2Belum dijawab
Untuk sebuah persegi panjang dengan keliling tetap \(P\), bentuk mana yang memaksimalkan luasnya?
Jawaban benar: B. Persegi
Penjelasan: Dengan \(2x+2y=P\) dan luas \(A=xy\), simetri (\(x=y\)) memaksimalkan \(A\), sehingga persegi panjang tersebut adalah persegi.
Soal 3Belum dijawab
Jika panjang rusuk sebuah kubus bertambah dengan laju \(1\) satuan/detik, seberapa cepat volumenya bertambah ketika rusuknya \(2\) satuan?
Jawaban benar: C. \(12\ \text{satuan}^3/\text{detik}\)
Penjelasan: Volume \(V = a^3\). Dengan menurunkan: \(\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}\). Saat \(a=2\) dan \(\frac{da}{dt}=1\): \(\frac{dV}{dt} = 3\cdot2^2\cdot1 = 12\ \text{satuan}^3/\text{detik}\).
Soal 4Belum dijawab
Sebuah persegi panjang memiliki tinggi tetap \(5\) satuan, sedangkan lebarnya bertambah \(2\) satuan/detik. Seberapa cepat luasnya bertambah?
Jawaban benar: C. \(10\ \text{satuan}^2/\text{detik}\)
Penjelasan: Luas \(A = 5w\). Dengan menurunkan: \(\frac{dA}{dt} = 5\,\frac{dw}{dt} = 5\cdot2 = 10\ \text{satuan}^2/\text{detik}\).
Soal 5Belum dijawab
Dua bilangan positif jumlahnya \(10\). Pasangan bilangan mana yang memaksimalkan hasil kalinya?
Jawaban benar: A. \(5\) dan \(5\)
Penjelasan: Misalkan bilangan-bilangannya \(x\) dan \(10-x\). Hasil kali \(P=x(10-x)\) maksimum saat \(x=5\), jadi pasangannya adalah \((5,5)\).
Soal 6Belum dijawab
Di antara semua bangun ruang dengan volume tetap, yang mana memiliki luas permukaan paling kecil?
Jawaban benar: D. Bola
Penjelasan: Dengan kalkulus variasi, bola meminimalkan luas permukaan untuk volume tertentu.
Soal 7Belum dijawab
Jika jari-jari sebuah lingkaran bertambah \(1\) satuan/detik, seberapa cepat kelilingnya bertambah?
Jawaban benar: B. \(2\pi\ \text{satuan}/\text{detik}\)
