Kuis Latihan Permutasi & Kombinasi dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk melatih permutasi dan kombinasi (kombinatorika) dengan alat pencacahan paling penting: faktorial dan \(0!\), prinsip dasar pencacahan (aturan perkalian), permutasi \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\) saat urutan penting, kombinasi dan koefisien binomial \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) saat urutan tidak penting, permutasi melingkar (tempat duduk meja bundar), dan aplikasi pencacahan klasik seperti susunan dengan huruf berulang, untaian bit, dan diagonal poligon. Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan permutasi & kombinasi ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal permutasi, kombinasi, faktorial, dan pencacahan di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau perbedaan antara urutan penting dan urutan tidak penting, lalu pelajari rumus dan pola inti.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan metode pencacahan yang tepat.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran permutasi & kombinasi
Dasar pencacahan
Faktorial \(n!\) dan mengapa \(0!=1\)
Prinsip dasar pencacahan (mengalikan pilihan langkah demi langkah)
Aturan penjumlahan (menjumlahkan hitungan untuk kasus yang saling lepas)
Permutasi (urutan penting)
Rumus permutasi \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)
Penalaran cepat: \(n\) pilihan, lalu \(n-1\), lalu \(n-2\),...
Kesalahan umum: menghitung susunan berurutan padahal yang dimaksud adalah pilihan
Kombinasi (urutan tidak penting)
Koefisien binomial \(\binom{n}{r}\) dan bahasa "n pilih r"
Hubungan: \(P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\)
Simetri: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)
Aplikasi klasik
Permutasi melingkar untuk tempat duduk meja bundar: \((n-1)!\)
Unsur berulang (misalnya susunan kata): \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\)
Untaian bit, pencacahan genap/ganjil, dan diagonal poligon melalui kombinasi
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang permutasi dan kombinasi sehingga Anda dapat menghitung susunan dan pilihan dengan benar menggunakan faktorial, prinsip dasar pencacahan, permutasi \(P(n,r)\) (urutan penting), kombinasi \(\binom{n}{r}\) (urutan tidak penting), serta aplikasi umum seperti permutasi melingkar, susunan huruf berulang, untaian bit, dan diagonal poligon.
Kriteria keberhasilan
Menghitung faktorial dan menggunakan \(0!=1\) dengan benar.
Menerapkan prinsip dasar pencacahan (mengalikan pilihan langkah demi langkah).
Memutuskan dengan cepat: Apakah urutan penting? Jika ya, gunakan permutasi; jika tidak, gunakan kombinasi.
Menggunakan simetri: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\), dan menghubungkan permutasi dengan kombinasi: \(P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\).
Menghitung susunan melingkar dan susunan dengan unsur berulang.
Menyelesaikan tugas pencacahan klasik: untaian bit, batasan genap/ganjil, dan diagonal.
Kosakata kunci
Faktorial: \(n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\) untuk \(n\ge 1\), dan \(0!=1\).
Prinsip dasar pencacahan: jika satu langkah memiliki \(a\) pilihan dan langkah lain memiliki \(b\) pilihan, totalnya \(ab\).
Permutasi: susunan berurutan. Untuk \(r\) posisi yang diisi dari \(n\) benda berbeda (tanpa pengulangan): \(P(n,r)\).
Kombinasi: pilihan tak berurutan. Pilih \(r\) benda dari \(n\): \(\binom{n}{r}\).
Koefisien binomial: nama lain untuk \(\binom{n}{r}\), dibaca "n pilih r".
Permutasi melingkar: susunan di sekitar lingkaran saat rotasi dianggap sama: \((n-1)!\).
Unsur berulang: jika beberapa benda berulang, bagi dengan faktorial banyak pengulangan: \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\).
Pra-cek cepat
Pra-cek 1: Berapa \(5!\)?
Petunjuk: \(5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\).
Pra-cek 2: Berapa \(\binom{7}{0}\)?
Petunjuk: \(\binom{n}{0}=1\) karena ada tepat satu cara untuk tidak memilih apa pun.
Faktorial & Pencacahan
Faktorial dan prinsip dasar pencacahan
Tujuan pembelajaran: Hitung proses bertahap dengan mengalikan pilihan, dan kenali kapan faktorial muncul.
Ide kunci
Prinsip dasar pencacahan (aturan perkalian) mengatakan: jika suatu proses memiliki \(a\) pilihan untuk langkah 1, \(b\) pilihan untuk langkah 2, dan \(c\) pilihan untuk langkah 3, maka jumlah total hasil adalah \(a\cdot b\cdot c\).
Faktorial menghitung susunan benda berbeda: \[ n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1. \] Ada \(n!\) cara menyusun \(n\) benda berbeda dalam satu baris.
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa banyak cara menyusun huruf dalam "ABCD"?
Coba 1: Berapa banyak cara 6 buku berbeda dapat disusun di rak?
Petunjuk: Menyusun 6 benda berbeda dalam satu baris memberi \(6!\).
Coba 2: Berapa banyak untaian bit panjang 4 secara total?
Petunjuk: Setiap bit memiliki 2 pilihan. Gunakan \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^4\).
Ringkasan
Gunakan aturan perkalian untuk mengalikan pilihan antar langkah.
Gunakan faktorial untuk menghitung susunan benda berbeda: \(n!\).
Permutasi
Permutasi: saat urutan penting
Tujuan pembelajaran: Kenali soal "urutan penting" dan hitung \(P(n,r)\) dengan benar.
Ide kunci
Permutasi adalah susunan berurutan. Jika Anda mengisi \(r\) posisi memakai \(n\) benda berbeda dengan tanpa pengulangan, banyaknya adalah: \[ P(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}. \] Cek mental cepat: "posisi pertama punya \(n\) pilihan, kedua punya \(n-1\),...".
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa \(P(5,2)\)?
Pilih 2 benda secara berurutan dari 5 benda berbeda: \[ P(5,2)=5\cdot 4=20. \] (Pilihan pertama: 5 pilihan, pilihan kedua: 4 pilihan.)
Coba
Coba 1: Berapa \(P(4,2)\)?
Petunjuk: \(P(4,2)=4\cdot 3\).
Coba 2: Berapa \(P(10,1)\)?
Petunjuk: Memilih 1 benda secara berurutan dari 10 benda berbeda memberi 10 hasil.
Ringkasan
Gunakan permutasi saat urutan penting.
\(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\) menghitung pilihan berurutan tanpa pengulangan.
Kombinasi
Kombinasi: saat urutan tidak penting
Tujuan pembelajaran: Kenali soal "urutan tidak penting" dan hitung \(\binom{n}{r}\) (n pilih r).
Ide kunci
Kombinasi adalah pilihan tak berurutan. Jika Anda memilih \(r\) benda dari \(n\) benda berbeda, banyaknya adalah: \[ \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}. \] Ini juga disebut koefisien binomial. Hubungan kuat: \[ P(n,r)=\binom{n}{r}\,r! \] (karena setiap kelompok terpilih berisi \(r\) benda memiliki \(r!\) kemungkinan urutan).
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa banyak cara memilih \(3\) benda dari \(5\) benda berbeda?
\(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) menghitung pilihan tak berurutan.
Hubungan: \(P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\).
Melingkar & Pengulangan
Permutasi melingkar dan unsur berulang
Tujuan pembelajaran: Hitung susunan meja bundar dan susunan saat beberapa unsur berulang.
Ide kunci
Permutasi melingkar: Saat \(n\) orang berbeda duduk mengelilingi meja bundar dan rotasi dianggap sama, banyak susunannya adalah: \[ (n-1)!. \] Kita "menetapkan" satu orang untuk menghapus duplikat rotasi.
Unsur berulang: Jika Anda menyusun \(n\) benda dan beberapa berulang (misalnya kata dengan huruf berulang), bagi dengan faktorial banyak pengulangan: \[ \frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}. \]
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa banyak cara mendudukkan 5 orang di meja bundar (rotasi dianggap sama)?
\[ (5-1)!=4!=24. \]
Coba
Coba 1: Berapa banyak cara mendudukkan 3 orang mengelilingi meja bundar (rotasi dianggap sama)?
Petunjuk: \((n-1)!\) dengan \(n=3\) memberi \(2!=2\).
Coba 2: Berapa banyak susunan berbeda dari huruf dalam "MISS"?
Petunjuk: "MISS" memiliki 4 huruf dengan S berulang dua kali: \(\dfrac{4!}{2!}\).
Ringkasan
Permutasi melingkar (rotasi sama): \((n-1)!\).
Unsur berulang: bagi dengan faktorial banyak pengulangan: \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\).
Untaian Bit
Untaian bit, kombinasi, dan pola genap/ganjil
Tujuan pembelajaran: Gunakan kombinasi untuk menghitung untaian bit dengan batasan (seperti "tepat \(k\) angka satu" atau "jumlah angka satu genap").
Ide kunci
Untaian bit panjang \(n\) adalah urutan \(0\) dan \(1\). Untuk menghitung untaian dengan tepat \(k\) angka satu, pilih posisi mana yang menjadi satu: \[ \binom{n}{k}. \] Untuk menghitung untaian dengan jumlah angka satu genap, Anda dapat menjumlahkan \(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots\). Fakta kunci (untuk \(n\ge 1\)) adalah tepat setengah dari semua \(2^n\) untaian bit memiliki jumlah angka satu genap, sehingga banyaknya \(2^{n-1}\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa banyak untaian bit panjang 4 yang memiliki tepat 2 angka satu?
Pilih 2 dari 4 posisi untuk menjadi satu: \[ \binom{4}{2}=6. \] Lalu banyak untaian dengan jumlah angka satu genap adalah: \[ \binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=1+6+1=8. \]
Coba
Coba 1: Berapa banyak untaian bit panjang 4 yang memiliki jumlah angka satu genap?
Petunjuk: Setengah dari semua \(2^4=16\) untaian bit memiliki jumlah angka satu genap.
Coba 2: Berapa banyak untaian bit panjang 5 yang memiliki jumlah angka satu genap?
Petunjuk: Setengah dari semua \(2^5=32\) untaian bit memiliki jumlah angka satu genap.
Ringkasan
Tepat \(k\) angka satu dalam panjang \(n\): \(\binom{n}{k}\).
Jumlah angka satu genap (untuk \(n\ge 1\)): \(2^{n-1}\).
Diagonal & Binomial
Menghitung diagonal dan koefisien binomial yang lebih besar
Tujuan pembelajaran: Gunakan kombinasi untuk menghitung pasangan dan terapkan rumus secara efisien untuk hitungan geometri klasik.
Ide kunci
Diagonal menghubungkan dua titik sudut poligon yang tidak berdekatan. Untuk menghitung diagonal dalam poligon cembung \(n\)-sisi:
Pilih 2 titik sudut untuk membentuk ruas: \(\binom{n}{2}\).
Diagonal dalam poligon cembung \(n\)-sisi: \(\dfrac{n(n-3)}{2}\).
Hitung \(\binom{n}{r}\) secara efisien dengan menyederhanakan faktor lebih awal.
Aplikasi & Gambaran Besar
Mengapa permutasi dan kombinasi penting
Tujuan pembelajaran: Pilih alat pencacahan yang tepat dengan cepat dan akhiri dengan cek akhir.
Di mana permutasi & kombinasi muncul
Probabilitas: menghitung hasil, probabilitas binomial, soal kartu, dan pengambilan sampel tanpa pengembalian.
Ilmu komputer: kata sandi dan kode, untaian bit, ruang pencarian, dan pencacahan algoritma.
Penjadwalan & penugasan: menyusun tugas, memilih tim, memilih komite, menetapkan peran.
Geometri & graf: diagonal, sisi, dan menghitung pasangan.
Contoh dikerjakan: komite + pemimpin
Contoh: Dari 5 siswa, berapa banyak cara memilih komite 3 orang lalu memilih 1 pemimpin komite?
Pertama pilih komite: \(\binom{5}{3}=10\). Lalu pilih pemimpin dari 3 anggota komite: \(3\) pilihan. \[ 10\cdot 3=30. \] Ini cocok dengan ide permutasi \(P(5,3)=60\) dibagi \(2!\) (karena dua anggota bukan pemimpin tidak berurutan).
Kombinasi (urutan tidak penting): \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\).
Hubungan: \(P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\).
Permutasi melingkar: \((n-1)!\). Unsur berulang: \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\).
Untaian bit: tepat \(k\) angka satu \(\Rightarrow \binom{n}{k}\); jumlah angka satu genap \(\Rightarrow 2^{n-1}\) untuk \(n\ge 1\).
Diagonal: \(\dfrac{n(n-3)}{2}\) dalam poligon cembung \(n\)-sisi.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan pencacahan yang Anda butuhkan.
Set latihan
Soal latihan Permutasi & Kombinasi dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Berapa nilai \(\binom{4}{1}\)?
Jawaban benar: C. \(4\)
Penjelasan: Memilih \(1\) benda dari \(4\) dapat dilakukan dengan \(4\) cara.
Soal 2Belum dijawab
Ada berapa cara untuk memilih \(2\) orang dari kelompok yang berisi \(7\) orang?
