連続性と一様収束 の練習問題とステップ別レッスン
連続性と一様収束 を集中問題、すぐに返るフィードバック、わかりやすい解説、ステップ別レッスンで練習できます。
練習セット
連続性と一様収束 の練習問題と即時スコア
下の 10 問すべてに答えると、最終スコアと間違いの見直しが表示され、何を改善すべきかがわかります。
次の関数のうち、\(x=0\) で不連続なのはどれですか?
正解: C. \(1/x\)
解説: \(1/x\) は \(x=0\) で定義されない（したがって連続でもない）一方、多項式、\(\sin x\)、および \(|x|\) はどこでも連続です。
関数列 \(f_n(x)=x^n\) は区間 \([0,1)\) で一様収束しますか?
正解: D. 点ごと収束するが、一様ではない
解説: 各固定した \(x\in[0,1)\) に対して、\(n\to\infty\) のとき \(x^n\to0\) なので、収束は点ごと収束です。しかし、\(x\to1^-\) とすると \(x^n\) はゆっくり 1 に近づき、 \[ \sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0| = 1 \] がすべての \(n\) について成り立つので、\([0,1)\) 上での収束は一様ではありません。
関数 \(f(x)=|x|\) は \(x=0\) で連続ですか?
正解: D. はい
解説: 絶対値関数には不連続な切れ目や跳びがないので、0 で連続です。
関数 \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) は \(x=1\) で連続ですか?
正解: C. いいえ
解説: 床関数は整数点で 0 から 1 に跳ぶため、1 では連続ではありません。
区分的に定義された関数 f(x)=\begin{cases}x & x≠2\\2 & x=2\end{cases} は \(x=2\) で連続ですか?
正解: A. はい
解説: 2 における極限値と関数値はいずれも 2 に等しいので、その点で連続です。
\(f(2)=4\) と定義したとき、\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\) は \(x=2\) で連続ですか?
正解: C. はい
解説: \((x^2-4)/(x-2)=x+2\) と簡単にでき、2 では 4 となって定義と一致するので、連続です。
\(f(x)=1/x\) はその定義域上で連続ですか?
正解: B. はい
解説: その定義域では x≠0 であり、\(1/x\) には切れ目がないので、定義されているすべての点で連続です。
どの関数が \(\mathbb{R}\) 上で一様連続ですか?
正解: B. \(\sin x\)
解説: \(\sin x\) は傾きが有界で特異点がないため、\(\mathbb{R}\) 全体で一様連続です。
\(f_n(x)=x/n\) は \([0,5]\) 上で 0 に一様収束しますか?
正解: B. はい
解説: \(\sup_{x\in[0,5]}|x/n|=5/n\to0\) なので、一様収束です。
\(f_n(x)=x/n\) は \([0,\infty)\) 上で 0 に一様収束しますか?
正解: C. いいえ
解説: 有界でない区間では、各 \(n\) について上限は無限大なので、一様収束ではありません。
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