留数と周回積分 の練習問題とステップ別レッスン
留数と周回積分 を集中問題、すぐに返るフィードバック、わかりやすい解説、ステップ別レッスンで練習できます。
問題セットに答え、最後に間違いを見直します。
練習セット
留数と周回積分 の練習問題と即時スコア
下の 10 問すべてに答えると、最終スコアと間違いの見直しが表示され、何を改善すべきかがわかります。
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回答済み
問題 1
未回答
\(1/(z-a)\) の \(z=a\) における留数は何ですか?
正解: B. \(1\)
解説: \((z-a)^{-1}\) の係数は \(1\) です。
問題 2
未回答
\(2/(z-3)\) の \(z=3\) における留数は何ですか?
正解: A. \(2\)
解説: \((z-3)^{-1}\) の係数は \(2\) です。
問題 3
未回答
\(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}\) は何ですか?
正解: A. \(2\pi i\)
解説: \(0\) における留数は \(1\) なので、積分は \(2\pi i\) です。
問題 4
未回答
\(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z-2}\) は何ですか?
正解: C. \(0\)
解説: 極 \(z=2\) は単位円の外側にあるので、積分は \(0\) です。
問題 5
未回答
\(f\) が閉曲線の内部およびその上で正則なら、\(\oint f(z)\,dz\) は何ですか?
正解: D. \(0\)
解説: コーシーの定理により、内部に特異点がなければ 0 です。
問題 6
未回答
正則な \(g\) に対して、\(g(z)/(z-a)\) の \(a\) における留数は:
正解: C. \(g(a)\)
解説: \((z-a)^{-1}\) の係数は \(g(a)\) です。
問題 7
未回答
\(1/z^2\) の \(0\) における留数は何ですか?
正解: A. \(0\)
解説: 留数は \(1/z\) の係数であり、ここではその係数は \(0\) です。
問題 8
未回答
単純極とは、ローラン展開の最も低いべきが次のようになることを意味します:
正解: C. \(-1\)
解説: 単純極には 1 つの負のべきがあり、すなわち \((z-a)^{-1}\) です。
問題 9
未回答
留数定理によれば、輪郭積分は \(2\pi i\) × 何に等しいですか?
正解: D. 内側にある留数の和
解説: それは、輪郭の内側にある留数の和に \(2\pi i\) を掛けたものです。
問題 10
未回答
\(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{3\,dz}{z-1}\) は何ですか?
正解: C. \(6\pi i\)
解説: 極 \(1\) は内部にあり、留数は \(3\) なので、積分は \(6\pi i\) です。
結果
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