quiz matematyczny
Quiz ćwiczeniowy: {theme} | EloMath
quiz matematyczny
Czy funkcja \(f(x)=\ln x\) jest ciągła na \((0,\infty)\)?
Poprawnie. C. Tak
EloMath AI Logarytm naturalny jest ciągły wszędzie tam, gdzie jest określony (dla \(x>0\)).
Czy \(f(x)=\arctan x\) jest jednostajnie ciągła na \(\mathbb{R}\)?
Poprawnie. B. Tak
EloMath AI \(\arctan x\) ma ograniczoną pochodną, więc jest jednostajnie ciągła na \(\mathbb{R}\).
Czy \(f(x)=1/x\) jest jednostajnie ciągła na \((0,1]\)?
Poprawnie. C. Nie
EloMath AI W pobliżu 0 pochodna dąży do nieskończoności, więc funkcja nie jest jednostajnie ciągła na \((0,1]\).
Czy \(f_n(x)=x^n\) zbiega jednostajnie na \([0,1]\)?
Poprawnie. A. Nie
EloMath AI Tutaj \(\sup x^n=1\) dla każdego \(n\), więc zbieżność nie jest jednostajna.
Jeśli \(f_n(x) = x/(1+n x^2)\), to czy \(f_n\) zbiega jednostajnie do 0 na \(\mathbb{R}\)?
Poprawnie. C. Tak
EloMath AI \(\sup|x/(1+n x^2)|=1/(2\sqrt{n})\to0\), więc zbieżność jest jednostajna.
Jeśli \(f_n\) zbiega jednostajnie do \(f\), a każda \(f_n\) jest ciągła, to czy \(f\) jest ciągła?
Poprawnie. B. Tak
EloMath AI Jednostajne granice funkcji ciągłych są ciągłe.
Jeśli \(\sum f_n\) zbiega jednostajnie i każde \(f_n\) jest ciągłe, to czy suma jest ciągła?
Poprawnie. A. Tak
EloMath AI Jednostajna granica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Czy ciąg funkcji \(f_n(x)=x^n\) zbiega jednostajnie na przedziale \([0,1)\)?
Poprawnie. D. Zbiega punktowo, ale nie jednostajnie
EloMath AI Dla każdego ustalonego \(x\in[0,1)\) mamy \(x^n\to0\) gdy \(n\to\infty\), więc zbieżność jest punktowa. Jednak gdy \(x\to1^-\), \(x^n\) zbliża się do 1 powoli, a \[ \sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0| = 1 \] dla każdego \(n\), więc zbieżność nie jest jednostajna na \([0,1)\).
Czy funkcja \(f(x)=x^3\) jest jednostajnie ciągła na \(\mathbb{R}\)?
Poprawnie. D. Nie
EloMath AI Pochodna funkcji \(x^3\) nie jest ograniczona, więc funkcja ta nie jest jednostajnie ciągła na całym \(\mathbb{R}\).
Czy granica punktowa funkcji ciągłych musi być ciągła?
Poprawnie. C. Nie
EloMath AI Granice punktowe nie muszą być ciągłe (np. \(f_n(x)=x^n\) na \([0,1]\)).
Wynik
Twój wynik: 0 / 10
Sprawdź wynik poniżej.