Тренировочный тест по координатной плоскости и построению прямых с пошаговым интерактивным уроком

Упорядоченные пары, оси и четверти

Ключевая идея

Ось x горизонтальна, а ось y вертикальна. Начало координат - \((0,0)\). Упорядоченная пара \((x,y)\) говорит, как двигаться от начала: сначала \(x\) единиц влево/вправо, затем \(y\) единиц вниз/вверх.

Четверти определяются знаками: I \((+,+)\), II \((-,+)\), III \((-,-)\), IV \((+,-)\). Если \(x=0\), точка лежит на оси y. Если \(y=0\), точка лежит на оси x.

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Используйте \((x,y)\): сначала двигайтесь по \(x\) (влево/вправо), затем по \(y\) (вниз/вверх).
• Четверти зависят от знаков \(x\) и \(y\). Точки с \(x=0\) или \(y=0\) лежат на оси.

Угловой коэффициент: подъем к пробегу и наклон между двумя точками

Ключевая идея

Угловой коэффициент \(m\) показывает, как \(y\) меняется относительно \(x\): \[ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \] Положительный наклон растет слева направо, отрицательный - падает слева направо. Горизонтальная прямая имеет наклон \(0\). Вертикальная прямая имеет неопределенный наклон, потому что \(\Delta x=0\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Формула наклона: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
• Горизонтальные прямые имеют наклон \(0\). Вертикальные прямые имеют неопределенный наклон.

Построение прямых в форме \(y=mx+b\)

Ключевая идея

В форме с угловым коэффициентом \[ y=mx+b, \] \(m\) - угловой коэффициент, а \(b\) - y-пересечение (точка \((0,b)\)). Чтобы построить: (1) отметьте \((0,b)\), затем (2) используйте наклон \(m=\dfrac{\text{подъем}}{\text{шаг}}\), чтобы найти еще одну точку, затем (3) проведите прямую через точки.

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Форма с угловым коэффициентом: \(y=mx+b\).
• Наклон \(0\) дает горизонтальную прямую \(y=c\). Вертикальные прямые имеют вид \(x=c\).

x-пересечения, y-пересечения и стандартная форма

Ключевая идея

В стандартной форме \[ Ax+By=C, \] x-пересечение происходит при \(y=0\), а y-пересечение при \(x=0\). Это дает две удобные точки для построения.

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• x-пересечение: положите \(y=0\). y-пересечение: положите \(x=0\).
• Стандартная форма \(Ax+By=C\) хорошо работает с методом пересечений.

Запись уравнений прямых по наклону и точкам

Ключевая идея

Если известны наклон \(m\) и точка \((x_1,y_1)\), самая прямая форма - точечно-угловая форма: \[ y-y_1=m(x-x_1). \] Ее можно упростить до формы \(y=mx+b\). Если прямая проходит через начало координат \((0,0)\), то \(b=0\), и уравнение \(y=mx\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Точечно-угловая форма: \(y-y_1=m(x-x_1)\).
• Переводите в \(y=mx+b\), чтобы быстро строить график.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Ключевая идея

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Перпендикулярные прямые (образующие прямой угол) имеют угловые коэффициенты, являющиеся отрицательными обратными: если \(m\) - наклон одной прямой, то перпендикулярный наклон равен \(-\dfrac{1}{m}\) (если прямая не вертикальная/горизонтальная).

Два особых случая: горизонтальная прямая \(y=c\) перпендикулярна вертикальной прямой \(x=k\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Параллельные прямые: одинаковый наклон.
• Перпендикулярные прямые: отрицательно обратные наклоны (или горизонтальная и вертикальная).

Почему важны координатная плоскость и построение прямых

Где встречаются прямые

• Задачи на скорость: наклон представляет скорость, цену за единицу или изменение на единицу.
• Данные и тренды: прямая моделирует устойчивое увеличение или уменьшение.
• Геометрия на координатной плоскости: наклоны помогают доказывать параллельность или перпендикулярность.
• Алгебра и функции: линейные функции - основа построения графиков и решения систем.

Разобранный пример: наклон как скорость

Попробуйте

Итоговое повторение

• Координатная плоскость: упорядоченные пары \((x,y)\), оси, начало координат и четверти.
• Наклон: \(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\); горизонтальные прямые имеют наклон \(0\), вертикальные - неопределенный наклон.
• Построение прямых: используйте \(y=mx+b\) (y-пересечение + шаги по наклону) или пересечения из \(Ax+By=C\).
• Уравнения: используйте точечно-угловую форму \(y-y_1=m(x-x_1)\), чтобы построить прямую по точке и наклону.
• Параллельные: одинаковый наклон. Перпендикулярные: отрицательно обратный наклон (или горизонтальная и вертикальная).