Тренировочный тест по дробям с пошаговым интерактивным уроком
Используйте вопросы ниже на странице, чтобы отрабатывать навыки работы с дробями: упрощение дробей, равные дроби, сравнение дробей и действия с дробями. Если нужно освежить знания, нажмите Начать урок, чтобы открыть понятное пошаговое руководство по дробям.
Ответьте на набор вопросов и разберите ошибки в конце.
Как устроена тренировка по дробям
1. Выполните набор практики: ответьте на вопросы по дробям ниже на странице.
2. Откройте урок (необязательно): повторите методы для общих знаменателей, упрощения и умножения дробей.
3. Попробуйте снова: вернитесь к набору вопросов и сразу примените то, что повторили.
Что вы изучите в уроке по дробям
Смысл и термины
Числитель и знаменатель
Единичные дроби, правильные и неправильные дроби
Смешанные числа и несократимый вид
Модели и равенство
Дроби как части целого и точки на числовой прямой
Равные дроби через масштабирование: \(\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}\)
Упрощение и сравнение
Упрощение дробей с помощью наибольшего общего множителя (НОД)
Сравнение и упорядочивание дробей с помощью опорных значений и общих знаменателей
Действия с дробями
Сложение и вычитание дробей (с одинаковыми и разными знаменателями)
Умножение дробей (и упрощение сокращением)
Деление дробей с обратной дробью (дополнительный навык)
Сформируйте ясное понимание дробей и изучите надежные методы для упрощения, сравнения и действий с дробями.
Критерии успеха
Объяснять \(\frac{a}{b}\) как \(a\) частей из \(b\) равных частей (и как деление \(a\div b\), где \(b≠ 0\)).
Определять числитель (сверху) и знаменатель (снизу) и правильно читать дроби.
Создавать и распознавать равные дроби и упрощать до несократимого вида с помощью НОД.
Сравнивать и упорядочивать дроби с помощью опорных дробей и общих знаменателей.
Складывать и вычитать дроби (с одинаковыми и разными знаменателями) и упрощать ответы.
Умножать дроби (в том числе на целые числа) и упрощать, сокращая общие множители.
Связывать дроби с десятичными числами, процентами, измерениями и реальной жизнью (рецепты, время, вероятность).
Ключевые термины
Числитель: верхнее число, которое показывает, сколько частей у вас есть.
Знаменатель: нижнее число, которое показывает, сколько равных частей составляет одно целое.
Равные дроби: дроби, которые выглядят по-разному, но представляют одно и то же значение (например, \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\)).
Несократимый вид: дробь упрощена так, что числитель и знаменатель не имеют общего множителя больше 1.
Быстрая проверка
Проверка 1: В дроби \(\frac{3}{5}\) какое число является знаменателем?
Подсказка: знаменатель - это нижнее число.
Проверка 2: Упростите \(\frac{6}{12}\).
Подсказка: разделите числитель и знаменатель на одно и то же число (попробуйте 6).
Части целого
Дроби как части целого (и точки на числовой прямой)
Цель обучения: Читать и понимать дроби с помощью числителя/знаменателя и связывать дроби с целым.
Главная идея
Дробь \(\frac{a}{b}\) описывает целое, которое разделили на \(b\) равных частей. Знаменатель \(b\) показывает число равных частей в одном целом. Числитель \(a\) показывает, сколько частей у вас есть.
Примеры: Единичная дробь: \(\frac{1}{b}\) (одна равная часть). Правильная дробь: \(\frac{a}{b}\), где \(a<b\) (меньше 1). Неправильная дробь: \(\frac{a}{b}\), где \(a\ge b\) (не меньше 1).
Разобранный пример
Пример: Что означает \(\frac{3}{4}\)?
Знаменатель \(4\) означает, что целое разделено на 4 равные части. Числитель \(3\) означает, что у вас есть 3 такие части. Значит, \(\frac{3}{4}\) - это три из четырех равных частей.
Попробуйте
Попробуйте 1: Запишите дробь для “3 части из 5 равных частей”.
Подсказка: числитель = части, которые у вас есть (3). Знаменатель = равные части в целом (5).
Попробуйте 2: Какая из дробей равна \(\frac{3}{5}\)?
Подсказка: умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число (например, на 2).
Итоги
Знаменатель показывает, сколько равных частей в одном целом.
Числитель показывает, сколько частей у вас есть.
Равные дроби представляют одно и то же значение, даже если выглядят по-разному.
Равные дроби
Равные дроби и упрощение (сокращение)
Цель обучения: Правильно получать равные дроби и упрощать дроби до несократимого вида.
Главная идея
Можно получить равную дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число: \[\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}\quad (k≠ 0)\] Можно упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число больше 1. Лучший выбор - наибольший общий множитель (НОД).
Разобранный пример
Пример: Упростите \(\frac{9}{12}\)
НОД 9 и 12 равен 3. Разделите оба на 3: \(\frac{9}{12}=\frac{9\div 3}{12\div 3}=\frac{3}{4}\). Значит, упрощенная дробь: \(\frac{3}{4}\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Упростите \(\frac{12}{18}\).
Подсказка: НОД 12 и 18 равен 6. Разделите верх и низ на 6.
Попробуйте 2: Какая из дробей равна \(\frac{1}{6}\)?
Подсказка: умножьте \(\frac{1}{6}\) на \(\frac{2}{2}\), чтобы получить \(\frac{2}{12}\).
Итоги
Умножайте или делите числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы получить равную дробь.
Упрощайте до несократимого вида с помощью НОД.
Сравнение дробей
Сравнение дробей (какая больше?)
Цель обучения: Точно сравнивать дроби с помощью общих знаменателей и опорных значений, таких как \(\frac{1}{2}\) и 1.
Главная идея
Одинаковый знаменатель: сравнивайте числители (больший числитель → большая дробь).
Одинаковый числитель: меньший знаменатель → большая дробь (потому что части крупнее).
Разные знаменатели: перепишите с общим знаменателем (часто НОК), затем сравните.
Разобранный пример
Пример: Сравните \(\frac{7}{10}\) и \(\frac{3}{5}\)
Перепишите \(\frac{3}{5}\) со знаменателем 10: \(\frac{3}{5}=\frac{3\times 2}{5\times 2}=\frac{6}{10}\). Теперь сравните: \(\frac{7}{10}\) и \(\frac{6}{10}\). Так как \(7>6\), \(\frac{7}{10} > \frac{3}{5}\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Что больше: \(\frac{7}{10}\) или \(\frac{3}{5}\)? Введите большую дробь.
Подсказка: перепишите \(\frac{3}{5}\) как \(\frac{6}{10}\), затем сравните.
Попробуйте 2: Введите дробь, равную \(\frac{1}{2}\): \(\frac{2}{4}\), \(\frac{3}{6}\) или \(\frac{4}{8}\).
Подсказка: равные дроби получаются умножением числителя и знаменателя на одно и то же число.
Итоги
Используйте общие знаменатели, чтобы сравнивать дроби с разными знаменателями.
Опорные значения вроде \(\frac{1}{2}\) и 1 помогают быстро рассуждать.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание дробей (общие знаменатели)
Цель обучения: Правильно складывать и вычитать дроби, используя одинаковые знаменатели или находя наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Главная идея
Одинаковые знаменатели: складывайте/вычитайте числители и сохраняйте знаменатель. \(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}\), и \(\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}\).
Разные знаменатели: найдите общий знаменатель (часто НОЗ / НОК), перепишите обе дроби как равные дроби, затем сложите/вычтите и упростите.
Разобранный пример
Пример: \(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\)
НОК 3 и 6 равен 6. Перепишите \(\frac{2}{3}\) как \(\frac{4}{6}\). Теперь вычтите: \(\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Вычислите \(\frac{5}{9} + \frac{2}{3}\). Дайте упрощенный ответ (неправильную дробь или смешанное число).
Подсказка: перепишите \(\frac{2}{3}\) со знаменателем 9: \(\frac{2}{3}=\frac{6}{9}\).
Разбор решения
Найдите общий знаменатель: НОК чисел \(9\) и \(3\) равен \(9\). \(\frac{2}{3}=\frac{2\times 3}{3\times 3}=\frac{6}{9}\). Сложите: \(\frac{5}{9}+\frac{6}{9}=\frac{11}{9}\). Как смешанное число: \(\frac{11}{9}=1\frac{2}{9}\).
Подсказка: перепишите \(\frac{3}{5}\) как \(\frac{6}{10}\), затем вычтите числители.
Итоги
Чтобы складывать/вычитать дроби, нужны одинаковые знаменатели.
Используйте НОЗ (НОК знаменателей), перепишите как равные дроби, затем сложите/вычтите и упростите.
Умножение дробей
Умножение дробей (и упрощение сокращением)
Цель обучения: Точно умножать дроби и эффективно упрощать.
Главная идея
Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели: \[\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\] Затем упростите результат. Сильная стратегия - сократить общие множители до умножения.
Разобранный пример
Пример: \(\frac{5}{8}\times\frac{2}{5}\)
Умножьте: \(\frac{5\times 2}{8\times 5}\). Сократите 5: \(\frac{5}{5}=1\). Получается \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). Значит, произведение равно \(\frac{1}{4}\).
Подсказка: умножьте и упростите или сначала сократите (3 сокращается с 9, а 4 сокращается с 8).
Разбор решения
Сначала сократите: \(\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}\). \(3\) сокращается с \(9\): \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\). \(4\) сокращается с \(8\): \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\). Теперь умножьте: \(\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\).
Итоги
Умножайте верх × верх и низ × низ.
Сокращайте общие множители, чтобы упростить и снизить риск ошибок.
Смешанные действия
Порядок действий с дробями: сначала умножение
Цель обучения: Вычислять выражения, где смешаны умножение дробей и сложение/вычитание, выполняя умножение/деление первыми.
Главная идея
Если выражение содержит \(+\) или \(-\), а также \( \times \) или \( \div \), выполняйте умножение и деление первыми, затем сложение или вычитание. Упрощайте, когда возможно, чтобы числа оставались небольшими.
