Тренировочный тест по отношениям и пропорциям с пошаговым интерактивным уроком
Используйте вопросы ниже на странице, чтобы отрабатывать отношения и пропорции (упрощение отношений, нахождение равных отношений, решение пропорций и реальные текстовые задачи на отношения). Если нужно освежить знания, нажмите Начать урок, чтобы открыть пошаговое руководство.
Ответьте на набор вопросов и разберите ошибки в конце.
Как устроена тренировка по отношениям и пропорциям
1. Выполните набор практики: ответьте на вопросы ниже на странице.
2. Откройте урок (необязательно): повторите метод с примерами и быстрыми проверками.
3. Попробуйте снова: вернитесь к набору вопросов и примените то, что повторили.
Что вы изучите в уроке по отношениям и пропорциям
Смысл и термины
Что означает отношение (сравнение)
Распространенные формы: \(a:b\), "\(a\) к \(b\)" и \(\frac{a}{b}\)
Члены, часть-к-части и часть-к-целому
Равные отношения
Упрощение отношений с помощью наибольшего общего множителя
Создание равных отношений увеличением/уменьшением масштаба
Использование таблиц отношений и идеи "один и тот же множитель"
Пропорции и пропущенные значения
Что такое пропорция: два равных отношения
Решение неизвестного с помощью перекрестных произведений или масштабирования
Проверка разумности (соответствует ли ответ отношению?)
Реальные применения
Единичные ставки (на 1) и постоянное масштабирование
Коэффициент масштаба, карты и масштабные чертежи
Рецепты, скорость, цена за единицу и преобразования единиц измерения
Цель: Понять отношения и пропорции, развить уверенность с равными отношениями и изучить надежные шаги для задач с неизвестными и текстовых задач.
Критерии успеха
Объяснять отношение как сравнение в записи \(a:b\), “\(a\) к \(b\)” или \(\frac{a}{b}\).
Распознавать отношения часть-к-части и часть-к-целому.
Упрощать отношение до наименьших членов с помощью наибольшего общего множителя.
Создавать равные отношения, умножая/деля оба члена на одно и то же число.
Решать пропорцию с неизвестным значением с помощью масштабирования или перекрестных произведений.
Решать задачи на отношения с общей суммой, используя “общее число частей” и коэффициент масштаба.
Использовать единичные ставки и коэффициенты масштаба в реальных контекстах (рецепты, карты, скорость, цена за единицу).
Ключевые термины
Отношение: сравнение двух величин с помощью деления.
Член: каждое число в отношении (в \(a:b\), \(a\) и \(b\) - члены).
Равные отношения: отношения, которые описывают одну и ту же связь (например, \(2:3\) и \(4:6\)).
Пропорция: уравнение, которое утверждает, что два отношения равны.
Единичная ставка: ставка со знаменателем 1 (например, 60 км за 1 час).
Быстрая проверка
Проверка 1: Какое отношение представляет “4 к 7”?
Подсказка: порядок важен. 4 к 7 начинается с 4.
Проверка 2: Если отношение кошек к собакам равно \(2:3\), а кошек \(6\), сколько собак?
Подсказка: чтобы перейти от 2 кошек к 6 кошкам, умножьте на 3. Сделайте то же с собаками: \(3\times 3=9\).
Понимание отношений
Что такое отношение?
Цель обучения: Правильно понимать отношения и выбирать правильный порядок для отношения (что с чем сравнивается).
Главная идея
Отношение сравнивает две величины с помощью деления. Вы увидите отношения в трех распространенных формах: \(a:b\), “\(a\) к \(b\)” и \(\frac{a}{b}\). Порядок важен: \(2:5\) не то же самое, что \(5:2\).
Часть-к-части и часть-к-целому
Отношение может сравнивать две части (часть-к-части) или часть с общим количеством (часть-к-целому). Всегда внимательно читайте задачу, чтобы понять, какое отношение требуется.
Разобранный пример
Пример: В мешке 8 красных шариков и 12 синих шариков.
Красные:синие \(= 8:12\). Упростите, разделив оба члена на 4: \(8:12 = 2:3\). Красные:всего \(= 8:(8+12)=8:20\). Упростите: \(8:20 = 2:5\).
Попробуйте
Попробуйте 1: В классе 10 девочек и 15 мальчиков. Каково отношение девочки:мальчики в простейшем виде?
Подсказка: упростите \(10:15\), разделив оба члена на 5.
Попробуйте 2: Если отношение яблок к апельсинам равно \(1:2\), а яблок \(4\), сколько апельсинов?
Подсказка: если 1 яблоку соответствуют 2 апельсина, то 4 яблокам соответствуют \(4\times 2=8\) апельсинов.
Итоги
Отношение сравнивает две величины, и порядок важен.
Отношения могут быть часть-к-части или часть-к-целому, в зависимости от вопроса.
Равные отношения
Упрощение и создание равных отношений
Цель обучения: Упрощать отношения до наименьших членов и строить равные отношения масштабированием обоих членов.
Главная идея
Отношение упрощают так же, как дробь: делят оба члена на их наибольший общий множитель (НОД). Чтобы получить равное отношение, умножьте (или разделите) оба члена на одно и то же ненулевое число.
Разобранный пример
Пример: Упростите \(35:50\)
НОД 35 и 50 равен 5. Разделите оба члена на 5: \(35:50 = 7:10\). Значит, отношение в простейшем виде: \(7:10\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Упростите отношение \(81:54\) до наименьших членов.
Подсказка: разделите оба числа на их НОД (здесь это 27).
Попробуйте 2: Если \(x:y = 4:5\) и \(x = 16\), чему равно \(y\)?
Подсказка: \(4\to 16\) - это \(\times 4\). Сделайте то же с 5: \(5\times 4=20\).
Итоги
Упрощайте отношение, деля оба члена на НОД.
Равные отношения получаются умножением/делением обоих членов на одно и то же число.
Пропорции
Пропорции и нахождение неизвестного
Цель обучения: Составлять пропорцию и точно решать задачи с пропущенным значением.
Главная идея
Пропорция - это уравнение, которое говорит, что два отношения равны: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (при \(b≠ 0\) и \(d≠ 0\)). Один надежный метод - перекрестное умножение: \(\,a\cdot d = b\cdot c\).
Попробуйте 2: Решите пропорцию \(\frac{9}{12} = \frac{x}{16}\). Чему равно \(x\)?
Подсказка: сначала упростите \(\frac{9}{12}\), затем масштабируйте до знаменателя 16.
Итоги
Пропорция утверждает, что два отношения равны.
Перекрестное умножение ( \(a\cdot d=b\cdot c\) ) помогает найти неизвестное.
Отношения с общим количеством
Использование отношения для разделения общего количества
Цель обучения: Использовать метод “общего числа частей”, чтобы находить каждое количество, когда известны отношение и общий итог.
Главная идея
Если \(a:b = m:n\), а общий итог равен \(T\), то общее число “частей” равно \(m+n\). Каждая часть равна \(\frac{T}{m+n}\). Тогда: \(a = m\cdot\frac{T}{m+n}\) и \(b = n\cdot\frac{T}{m+n}\).
Разобранный пример
Пример: машины:велосипеды \(= 2:5\), всего \(=21\)
Всего частей: \(2+5=7\). Каждая часть: \(21\div 7=3\). Велосипеды: \(5\times 3=15\). Машины: \(2\times 3=6\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Если отношение машин к велосипедам \(2:5\), а всего \(21\), сколько велосипедов?
Подсказка: сложите части отношения \(2+5\), затем разделите общий итог на эту сумму.
Разбор решения
Всего частей \(=2+5=7\). Каждая часть \(=21\div 7=3\). Велосипеды \(=5\times 3=15\).
Попробуйте 2: Если \(a:b=1:4\) и \(a+b=10\), чему равно \(a\)?
Подсказка: всего частей \(=1+4=5\). Каждая часть \(=10\div 5\).
Итоги
Когда известны отношение и общий итог, сначала сложите части отношения.
Разделите общий итог на число частей, затем умножьте, чтобы найти каждое количество.
Трехчленные отношения
Трехчленные отношения \(a:b:c\)
Цель обучения: Использовать коэффициент масштаба для решения задач с тремя величинами в отношении.
Главная идея
Трехчленное отношение \(a:b:c = p:q:r\) означает, что есть коэффициент масштаба \(k\), такой что: \(a=pk\), \(b=qk\), \(c=rk\). Если известно одно значение (или разность, или общий итог), можно найти \(k\), а затем остальные значения.
Разобранный пример
Пример: Если \(a:b:c=2:3:4\) и \(a=6\), найдите \(b\) и \(c\).
Так как \(a=2k\) и \(a=6\), имеем \(2k=6\), значит \(k=3\). Тогда \(b=3k=3\times 3=9\) и \(c=4k=4\times 3=12\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Если \(a:b:c=2:3:4\) и \(a=10\), чему равно \(c\)?
Подсказка: если \(a=2k\) и \(a=10\), то \(k=5\). Значит, \(c=4k\).
Попробуйте 2: Если \(a:b:c=1:2:4\) и \(c-a=24\), чему равно \(a\)?
Подсказка: \(a=k\) и \(c=4k\). Значит, \(c-a=3k\).
Итоги
В \(a:b:c=p:q:r\) каждое значение равно члену отношения, умноженному на один и тот же коэффициент масштаба \(k\).
Используйте данную информацию (одно значение, общий итог или разность), чтобы найти \(k\).
Единичные ставки
Ставки, единичные ставки и пропорциональные зависимости
Цель обучения: Находить единичную ставку и использовать пропорциональные рассуждения для увеличения или уменьшения масштаба.
Главная идея
Ставка - это отношение, которое сравнивает величины с разными единицами (например, километры и часы). Единичная ставка показывает количество “на 1” единицу. Когда две величины пропорциональны, они изменяются с одним и тем же коэффициентом масштаба.
Разобранный пример
Пример: Машина проезжает 180 км за 3 часа. Какова скорость в км в час?
Единичная ставка \(=\frac{180}{3}=60\). Ответ: скорость равна 60 км в час.
Попробуйте
Попробуйте 1: В рецепте нужно 4 стакана муки на 16 маффинов. Сколько стаканов муки нужно для 20 маффинов?
Подсказка: упростите \(4:16\) до \(1:4\). Тогда для 20 маффинов нужно \(20\div 4=5\) стаканов.
Попробуйте 2: В пропорциональной зависимости, если одна величина удваивается, что происходит с другой?
Подсказка: пропорциональность означает, что отношение между величинами остается постоянным.
Итоги
Единичная ставка показывает количество на 1 единицу.
Пропорциональные зависимости масштабируются одним и тем же коэффициентом (удвоить, утроить, уменьшить вдвое и т. д.).
Применения
Почему отношения и пропорции важны
Цель обучения: Связать отношения и пропорции с реальным масштабированием и принятием решений — и развить интуицию для проверки ответов.
Где вы используете отношения и пропорции
Рецепты: увеличивать или уменьшать ингредиенты, сохраняя тот же вкус.
Карты и масштабные чертежи: переводить расстояние на рисунке в реальное расстояние с помощью коэффициента масштаба.
Цена за единицу: сравнивать стоимость за 1 предмет, чтобы найти лучшую покупку.
Наука и здоровье: концентрации (например, мг на мл) и смеси.
Вероятность: отношения описывают шансы (например, благоприятные исходы к общему числу исходов).
Разобранный пример: масштаб карты
Пример: На карте масштаб 1 см к 5 км. Два города находятся на расстоянии 7 см на карте.
Каждый сантиметр представляет 5 км. Реальное расстояние \(=7\times 5=35\) км. Ответ: города находятся на расстоянии 35 км.
Попробуйте
Попробуйте 1: На карте масштаб 1 см к 5 км. Два города находятся на расстоянии 9 см на карте. Сколько километров между ними?
Подсказка: умножьте расстояние на карте на 5 км на см.
Быстрая проверка: равные отношения
Попробуйте 2: Какая пара отношений равна?
Подсказка: равные отношения упрощаются до одного и того же отношения в простейшем виде.
Итоговое повторение
Отношение - это сравнение. Записывайте его как \(a:b\), “\(a\) к \(b\)” или \(\frac{a}{b}\).
Упрощайте отношения с помощью НОД и строьте равные отношения масштабированием обоих членов.
Пропорция - это уравнение двух равных отношений; перекрестное умножение помогает находить неизвестные значения.
Когда даны отношение и общий итог, используйте метод общего числа частей, чтобы разделить итог.
Единичные ставки и коэффициенты масштаба помогают в реальных задачах про рецепты, карты, скорость и цену за единицу.
Следующий шаг: Закройте урок и попробуйте тест снова. Если ошибетесь в вопросе, откройте книгу и повторите страницу с нужным навыком.
Набор практики
Практические вопросы по теме Отношения и пропорции с мгновенным результатом
Ответьте на все 10 вопросов ниже, затем получите итоговый результат и разбор ошибок, чтобы точно понять, что улучшить.
0/10отвечено
Вопрос 1Нет ответа
Если отношение яблок к апельсинам равно \(1:2\), и яблок \(3\), сколько апельсинов?
Правильный ответ: B. \(6\)
Объяснение: При отношении \(1:2\) на каждое \(1\) яблоко приходится \(2\) апельсина. Умножаем \(3\) яблока на \(2\) и получаем \(6\) апельсинов.
Вопрос 2Нет ответа
Если отношение кошек к собакам равно \(2:3\), и кошек \(6\), сколько собак?
Правильный ответ: D. \(9\)
Объяснение: Одна часть соответствует \(6÷2=3\) животным. Для собак умножаем на \(3\): \(3×3=9\).
Вопрос 3Нет ответа
Если отношение яблок к бананам равно \(1:3\), и бананов \(9\), сколько яблок?
Правильный ответ: C. \(3\)
Объяснение: Одна часть равна \(9÷3=3\), значит яблоки = \(1×3=3\).
Вопрос 4Нет ответа
Отношение мальчиков к девочкам равно \(2:1\). Если девочек \(4\), сколько мальчиков?
Правильный ответ: C. \(8\)
Объяснение: Одна часть равна \(4÷1=4\), значит мальчиков = \(2×4=8\).
Вопрос 5Нет ответа
В прямоугольнике отношение длины к ширине равно \(4:1\). Если ширина равна \(2\), чему равна длина?
Правильный ответ: D. \(8\)
Объяснение: Одна часть равна \(2÷1=2\), значит длина = \(4×2=8\).
Вопрос 6Нет ответа
Если \(a:b=3:5\) и \(a=6\), чему равно \(b\)?
Правильный ответ: C. \(10\)
Объяснение: Одна часть равна \(6÷3=2\), значит \(b=5×2=10\).
Вопрос 7Нет ответа
Отношение красных шариков к синим равно \(5:2\). Если всего \(21\) шарик, сколько синих?
Правильный ответ: A. \(6\)
Объяснение: Сумма частей = \(5+2=7\), одна часть = \(21÷7=3\), синих = \(2×3=6\).
Вопрос 8Нет ответа
Если \(a:b=2:5\) и \(a+b=21\), чему равно \(a\)?
Правильный ответ: C. \(6\)
Объяснение: Сумма частей = \(2+5=7\), одна часть = \(21÷7=3\), значит \(a=2×3=6\).
Вопрос 9Нет ответа
В классе отношение кошек к собакам равно \(3:4\). Если всего \(14\) животных, сколько собак?
Правильный ответ: B. \(8\)
Объяснение: Сумма частей = \(3+4=7\), одна часть = \(14÷7=2\), собак = \(4×2=8\).
Вопрос 10Нет ответа
Три цвета смешаны в отношении \(1:2:3\). Если всего \(18\) частей, сколько частей приходится на третий цвет?
Правильный ответ: C. \(9\)
Объяснение: Сумма частей = \(1+2+3=6\), одна часть = \(18÷6=3\), третий цвет = \(3×3=9\).
