matematik quizi
{theme} alıştırma quizi | EloMath
matematik quizi
\(f_n(x)=x^n\) fonksiyon dizisi \([0,1)\) aralığında tekdüze yakınsar mı?
Doğru. D. Noktasal olarak yakınsar, ancak tekdüze olarak yakınsamaz
EloMath AI Sabit bir \(x\in[0,1)\) için, \(n\to\infty\) iken \(x^n\to0\), dolayısıyla yakınsaklık noktasaldır. Ancak \(x\to1^-\) iken \(x^n\) yavaşça 1'e yaklaşır ve \[ \sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0| = 1 \] tüm \(n\) için geçerlidir; bu nedenle yakınsaklık \([0,1)\) üzerinde tekdüze değildir.
\(f(x)=1/x\) fonksiyonu kendi tanım kümesi \((0,\infty)\) üzerinde sürekli midir?
Doğru. B. Evet
EloMath AI \(1/x\), \(x>0\) için hiçbir kopukluğa sahip değildir; bu yüzden tanım kümesi üzerinde süreklidir.
\(f(x)=\lfloor x\rfloor\) fonksiyonu \(x=1\) noktasında sürekli midir?
Doğru. C. Hayır
EloMath AI Taban fonksiyonu tam sayı noktalarında 0'dan 1'e sıçrar; bu nedenle 1 noktasında sürekli değildir.
\(\sum x^n/n!\) serisi \(\mathbb{R}\) üzerinde tekdüze yakınsak mıdır?
Doğru. A. Sınırlı aralıklarda evet
EloMath AI M-kriterini kullanın: \(|x|\le R\) için, \(\left|\frac{x^n}{n!}\right|\le\frac{R^n}{n!}=:M_n\) ve \(\sum_{n=0}^\infty M_n = e^R < \infty\) olduğundan seri her sınırlı aralıkta tekdüze yakınsaktır; tüm \(\mathbb{R}\) üzerinde ise tekdüze yakınsak değildir.
\(f_n(x)=x^n\) dizisi \([0,0.5]\) üzerinde tekdüze yakınsar mı?
Doğru. B. Evet
EloMath AI \(\sup_{x\in[0,0.5]}x^n=0.5^n\to0\), dolayısıyla yakınsama tekdüzedir.
Sürekli fonksiyonların noktadan yakınsak limiti sürekli olmak zorunda mıdır?
Doğru. C. Hayır
EloMath AI Noktadan yakınsak limitler sürekli olmak zorunda değildir (ör. \([0,1]\) üzerinde \(f_n(x)=x^n\)).
\([0,1]\) üzerindeki her sürekli fonksiyon tekdüze sürekli olmak zorunda mıdır?
Doğru. A. Evet
EloMath AI Heine–Cantor teoremine göre, kompakt bir aralık üzerindeki sürekli fonksiyonlar tekdüze süreklidir.
\(f(x)=e^{-x^2}\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde tekdüze sürekli midir?
Doğru. B. Evet
EloMath AI \(e^{-x^2}\) fonksiyonunun türevi sınırlıdır; dolayısıyla \(\mathbb{R}\) üzerinde tekdüze süreklidir.
\(f(x)=1/x\) fonksiyonu tanım kümesinde sürekli midir?
Doğru. B. Evet
EloMath AI Tanım kümesinde x≠0 olduğundan, \(1/x\) herhangi bir kopukluk içermez; bu nedenle tanımlı olduğu her yerde süreklidir.
\(\sum_{n=0}^\infty x^n\) serisi \([0,0.5]\) üzerinde tekdüze yakınsar mı?
Doğru. B. Evet
EloMath AI \([0,0.5]\) üzerinde her terim için \[ |x^n| \le (0.5)^n. \] \(\sum (0.5)^n\) yakınsak bir geometrik seri olduğundan, Weierstrass M-testi \(\sum x^n\) serisinin \([0,0.5]\) üzerinde tekdüze yakınsadığını gösterir.
Sonuç
Puanın: 0 / 10
Sonucunu aşağıda incele.