連續性與一致收斂 練習題與逐步課程
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練習題組
連續性與一致收斂 練習題，答完立即得分
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以下哪些函數在 \(x=0\) 處不連續？
正確答案： C. \(1/x\)
解說： \(1/x\) 在 \(x=0\) 處未定義（因此不連續），而多項式、\(\sin x\) 與 \(|x|\) 在所有地方都連續。
函數序列 \(f_n(x)=x^n\) 在區間 \([0,1)\) 上是否一致收斂？
正確答案： D. 逐點收斂但非一致收斂
解說： 對每個固定的 \(x\in[0,1)\)，當 \(n\to\infty\) 時，\(x^n\to0\)，所以是逐點收斂。然而，當 \(x\to1^-\) 時，\(x^n\) 會緩慢地趨近 1，而 \[\sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0| = 1\] 對所有 \(n\) 都成立，因此在 \([0,1)\) 上不是一致收斂。
函數 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 處連續嗎？
正確答案： D. 是
解說： 絕對值函數沒有斷裂或跳躍，因此它在 0 處連續。
函數 \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) 在 \(x=1\) 處連續嗎？
正確答案： C. 否
解說： 取整函數在整數點會從 0 跳到 1，因此它在 1 處不連續。
分段函數 f(x)=\begin{cases}x & x≠2\\2 & x=2\end{cases} 在 \(x=2\) 處連續嗎？
正確答案： A. 是
解說： 在 2 處的極限值與函數值都等於 2，因此它在那裡是連續的。
若定義 \(f(2)=4\)，則 \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\) 在 \(x=2\) 處連續嗎？
正確答案： C. 是
解說： 將 \((x^2-4)/(x-2)\) 化簡為 \(x+2\)；在 2 處其值為 4，與定義相符，因此連續。
\(f(x)=1/x\) 在其定義域上連續嗎？
正確答案： B. 是
解說： 在其定義域 x≠0 上，\(1/x\) 沒有斷裂，因此它在所有已定義的地方都連續。
哪個函數在 \(\mathbb{R}\) 上一致連續？
正確答案： B. \(\sin x\)
解說： \(\sin x\) 的斜率有界且沒有奇點，因此它在整個 \(\mathbb{R}\) 上一致連續。
\(f_n(x)=x/n\) 是否在 \([0,5]\) 上一致收斂到 0？
正確答案： B. 是
解說： \(\sup_{x\in[0,5]}|x/n|=5/n\to0\)，因此該收斂是一致的。
\(f_n(x)=x/n\) 是否在 \([0,\infty)\) 上一致收斂到 0？
正確答案： C. 否
解說： 在無界區間上，對每個 \(n\) 而言上確界都是無限大，因此這不是一致收斂。
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