Übungsquiz zu Integralen & Stammfunktionen mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion
Nutze das Quiz weiter unten auf der Seite, um Integrale und Stammfunktionen zu üben — die Kernkompetenzen hinter der Fläche unter einer Kurve, Akkumulation und vielen Anwendungen in der Analysis. Diese Lektion konzentriert sich auf die wichtigsten Integrationstechniken, die du am Anfang brauchst: unbestimmte Integrale \(\int f(x)\,dx\) als Familien von Stammfunktionen, die Integrationskonstante \(+C\), die Potenzregel für Integration \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (für \(n≠ -1\)), den besonderen Logarithmusfall \(\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\), häufige Exponentialintegrale wie \(\int e^x\,dx=e^x+C\) und \(\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\), wichtige trigonometrische Integrale wie \(\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\) und \(\int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C\), sowie schnelle Mustererkennung für u-Substitution (umgekehrte Kettenregel), zum Beispiel \(\int \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\). Außerdem übst du bestimmte Integrale und ihre Auswertung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wenn du etwas auffrischen möchtest, klicke auf Lektion starten, um eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit durchgerechneten Beispielen und kurzen Kontrollfragen zu öffnen.
Beantworte die Fragensammlung und prüfe deine Fehler am Ende.
So funktioniert dieses Trainierening zu Integralen und Stammfunktionen
1. Quiz bearbeiten: Beantworte die Fragen zu Integralen und Stammfunktionen weiter unten auf der Seite.
2. Lektion öffnen (optional): Wiederhole Stammfunktionsregeln, trigonometrische, exponentielle und logarithmische Integrale, u-Substitutionsmuster und bestimmte Integrale.
3. Erneut versuchen: Kehre zum Fragenset zurück und wende die Integrationsregeln direkt an.
Was du in der Lektion zu Integralen & Stammfunktionen lernst
Unbestimmte Integrale & die Integrationskonstante
Bedeutung der Stammfunktion: \(\int f(x)\,dx = F(x)+C\), wobei \(F'(x)=f(x)\)
+C ist wichtig: Jedes unbestimmte Integral steht für eine ganze Familie von Funktionen
Ziel: Baue ein klares Verständnis von Integralen und Stammfunktionen auf, damit du unbestimmte Integrale mit den wichtigsten Stammfunktionsregeln berechnen kannst (Potenzregel, exponentielle, logarithmische und grundlegende trigonometrische Integrale), häufige Muster für u-Substitution (umgekehrte Kettenregel) erkennst und bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auswertest. Außerdem übst du, was ein Integral bedeutet: Fläche, orientierte Fläche und Akkumulation.
Erfolgskriterien
Erkläre die Beziehung zwischen Ableitungen und Stammfunktionen: Wenn \(F'(x)=f(x)\), dann gilt \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\).
Nutze die Linearität von Integralen: \(\int (af+bg)\,dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx\).
Wende die Potenzregel für Integration an und behandle den Sonderfall \(n=-1\) korrekt.
Berechne häufige Logarithmus- und Exponentialintegrale, einschließlich \(\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\) und \(\int e^x\,dx=e^x+C\).
Vorabkontrolle 2: Was ist \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx\)?
Hinweis: Die Ableitung von \(\ln|x|\) ist \(1/x\) für \(x≠ 0\).
Grundlagen der Stammfunktionen
Unbestimmte Integrale, Stammfunktionen und Linearität
Lernziel: Verstehe, was \(\int f(x)\,dx\) bedeutet, und berechne grundlegende Stammfunktionen mit Linearität.
Kernidee
Ein unbestimmtes Integral steht für eine Familie von Stammfunktionen: \[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \quad \text{wobei } F'(x)=f(x). \] Die Integrationskonstante \(+C\) ist nötig, weil beim Ableiten jeder Konstanten \(0\) entsteht.
Aufgabe 2: Was ist \(\displaystyle \int e^{0}\,dx\)?
Hinweis: \(e^0=1\), also integrierst du die Konstante \(1\).
Zusammenfassung
\(\int f(x)\,dx = F(x)+C\), wobei \(F'(x)=f(x)\).
Nutze Linearität, um Integrale in einfachere Teile zu zerlegen.
Potenzregel & Logarithmen
Die Potenzregel für Integration und die Ausnahme \(\int \frac{1}{x}\,dx\)
Lernziel: Wende die Potenzregel korrekt an und merke dir den speziellen Logarithmusfall.
Kernidee
Die am häufigsten verwendete Regel für Stammfunktionen ist die Potenzregel: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n≠ -1). \] Der Exponent wird um \(1\) erhöht, danach teilst du durch den neuen Exponenten.
Wenn aber \(n=-1\) ist, würde die Formel durch \(0\) teilen. Dieser Sonderfall lautet: \[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. \]
Potenzregel: \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) für \(n≠ -1\).
Sonderfall: \(\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\).
Trigonometrische Integrale
Häufige trigonometrische und inverse trigonometrische Integrale
Lernziel: Merke dir die häufigsten trigonometrischen Stammfunktionen und erkenne zentrale inverse trigonometrische Muster.
Zentrale trigonometrische Integrale, die du sicher kennen solltest
\(\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x + C\)
\(\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x + C\)
\(\displaystyle \int \sec^2 x\,dx=\tan x + C\)
\(\displaystyle \int \csc^2 x\,dx=-\cot x + C\)
\(\displaystyle \int \sec x\tan x\,dx=\sec x + C\)
\(\displaystyle \int \csc x\cot x\,dx=-\csc x + C\)
Inverses trigonometrisches Muster
Eine wichtige inverse trigonometrische Stammfunktion ist: \[ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C. \] Das ist die Stammfunktion, weil \(\dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\).
Merke dir die Standard-Stammfunktionen für trigonometrische Funktionen und die Vorzeichenmuster.
\(\int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C\) ist ein zentrales inverses trigonometrisches Ergebnis.
u-Substitution
u-Substitution: die umgekehrte Kettenregel für Integrale
Lernziel: Erkenne häufige Muster aus "innerer Funktion + Ableitung" und integriere schnell.
Kernidee
Wenn du eine Verkettung \(f(g(x))\) zusammen mit \(g'(x)\) erkennst, vereinfacht sich das Integral oft durch die Substitution \(u=g(x)\). In der Praxis vergleichst du ein Ableitungsmuster: \[ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du. \] Du brauchst nicht für jede Aufgabe eine vollständige algebraische Substitution; viele frühe Integrale sind Mustererkennung.
Setze \(u=x^2+1\). Dann ist \(du=2x\,dx\). Das Integral wird zu: \[ \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. \] Setze \(u=x^2+1\) zurück ein (immer positiv), also: \[ \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C. \]
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist \(\displaystyle \int \tan(x)\sec^2(x)\,dx\)?
Hinweis: Setze \(u=\tan x\). Dann ist \(du=\sec^2 x\,dx\).
Aufgabe 2: Was ist \(\displaystyle \int (2x+1)^3\,dx\)?
Hinweis: Setze \(u=2x+1\). Dann ist \(du=2\,dx\), also \(dx=\frac{1}{2}du\).
Zusammenfassung
Suche eine innere Funktion \(u=g(x)\) und (ein konstantes Vielfaches) ihrer Ableitung \(g'(x)\,dx\).
u-Substitution ist die umgekehrte Kettenregel für Integrale.
Bestimmte Integrale
Bestimmte Integrale und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Lernziel: Werte bestimmte Integrale korrekt mit Stammfunktionen aus und verstehe die Idee der "orientierten Fläche".
Kernidee
Ein bestimmtes Integral misst die Nettoakkumulation von \(a\) bis \(b\): \[ \int_a^b f(x)\,dx. \] Wenn \(F'(x)=f(x)\), dann sagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Beachte: Bei einem bestimmten Integral gibt es kein \(+C\), weil sich die Konstanten beim Subtrahieren aufheben.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Werte \(\displaystyle \int_{0}^{1} x\,dx\) aus.
Eine Stammfunktion von \(x\) ist \(\frac{x^2}{2}\). Wende den Hauptsatz an: \[ \int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}. \]
Übe selbst
Aufgabe 1: Finde \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx\).
Hinweis: Eine Stammfunktion von \(\cos x\) ist \(\sin x\). Werte \(\sin(\pi/2)-\sin(0)\) aus.
Aufgabe 2: Werte \(\displaystyle \int_{0}^{1} 3x^2\,dx\) aus.
Hinweis: \(\int 3x^2\,dx=x^3\). Werte \(x^3\) von 0 bis 1 aus.
Zusammenfassung
Bestimmte Integrale werden ausgewertet durch: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).
Kein \(+C\) bei bestimmten Integralen (Konstanten heben sich auf).
Gemischte Übung
Gemischte Integrationsmuster: Potenzen, rationale Ausdrücke und schnelle Erkennung
Lernziel: Baue Tempo auf, indem du erkennst, welche Regel gilt: Potenzregel, Logarithmusform, Trigonometrie oder u-Substitution.
Kernidee
Bei den meisten frühen Integrationsaufgaben geht es darum, schnell das passende Muster zu wählen:
Potenzregel: \(x^n\) mit \(n≠ -1\)
Logarithmusform: \(\dfrac{1}{x}\) oder \(\dfrac{g'(x)}{g(x)}\)
Setze \(u=x+1\), also \(du=dx\). Dann gilt: \[ \int (x+1)^{-2}\,dx = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{u}+C. \] Setze \(u=x+1\) zurück ein: \[ \int (x+1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+1}+C. \]
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist \(\displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx\)?
Hinweis: Nutze \(\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\) und multipliziere dann mit 2.
Aufgabe 2: Was ist \(\displaystyle \int (x+1)^{-1/2}\,dx\)?
Hinweis: Setze \(u=x+1\). Dann gilt \(\int u^{-1/2}\,du=2u^{1/2}+C\).
Zusammenfassung
Übung bedeutet schnelle Mustererkennung: Potenzregel, Logarithmusform, Trigonometrie oder u-Substitution.
Schreibe bei unbestimmten Integralen immer \(+C\) dazu.
Anwendungen & Gesamtbild
Warum Integrale und Stammfunktionen wichtig sind
Lernziel: Verbinde Integrale mit Fläche und Akkumulation und schließe mit einem letzten Kontrolle der zentralen Muster ab.
Wo Integrale vorkommen
Fläche und orientierte Fläche: \(\int_a^b f(x)\,dx\) misst vorzeichenbehaftete Fläche / Nettoänderung.
Akkumulation: Gesamtänderung aus einer Änderungsratenfunktion (Physik, Wirtschaft, Biologie).
Wahrscheinlichkeit: Stetige Verteilungen nutzen Integrale für die Gesamtwahrscheinlichkeit.
Umkehrung des Ableitens: Stammfunktionen machen Ableitungen rückgängig.
Ausgearbeitetes Beispiel: von der Stammfunktion zum bestimmten Integral
Beispiel: Werte \(\displaystyle \int_{0}^{1} (2x+3)\,dx\) aus.
Finde zuerst eine Stammfunktion: \[ \int (2x+3)\,dx = x^2 + 3x + C. \] Wende nun den Hauptsatz an: \[ \int_0^1 (2x+3)\,dx = \left[x^2+3x\right]_0^1=(1^2+3\cdot1)-(0^2+3\cdot0)=4. \]
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist \(\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx\)?
Hinweis: Setze \(u=x^2+1\). Dann ist \(du=2x\,dx\) und \(\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C\).
Aufgabe 2: Was ist \(\displaystyle \int \tan(x)\sec^2(x)\,dx\)?
Hinweis: Wenn \(u=\tan x\), dann ist \(du=\sec^2 x\,dx\) und \(\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C\).
Abschluss-Wiederholung
Unbestimmte Integrale: \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\), wobei \(F'(x)=f(x)\).
Potenzregel: \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) für \(n≠ -1\).
Als Nächstes: Schließe diese Lektion und versuche dein Quiz erneut. Wenn du eine Frage verfehlst, öffne die Lektion erneut und wiederhole die Seite, die zu dem Integrationsmuster passt, das du brauchst.
Übungsset
Übungsfragen zu Integrale & Stammfunktionen mit sofortiger Punktzahl
Beantworte alle 10 Fragen unten und erhalte danach deine Punktzahl sowie eine Fehlerübersicht, damit du genau weißt, was du verbessern kannst.
0/10beantwortet
Frage 1Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(2x e^{x^2}\,dx\)?
Richtige Antwort: D. \(e^{x^2}+C\)
Erklärung: Umkehrung der Kettenregel: Setze \(u=x^2\), dann ist \(du=2x\,dx\), also gilt \(\int2x e^{x^2}dx=\int e^u du=e^u+C=e^{x^2}+C\).
Frage 2Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(x\,dx\)?
Richtige Antwort: D. \(\tfrac{x^2}{2} + C\)
Erklärung: Potenzregel: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); hier ist \(n=1\), also gilt \(\int x dx = x^2/2 + C\).
Frage 3Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(x^2\,dx\)?
Richtige Antwort: A. \(\tfrac{x^3}{3} + C\)
Erklärung: Potenzregel: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); hier ist \(n=2\), also gilt \(\int x^2 dx = x^3/3 + C\).
Frage 4Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(e^x\,dx\)?
Richtige Antwort: A. \(e^x + C\)
Erklärung: Die Stammfunktion von \(e^x\) ist wieder \(e^x\): \(\int e^x dx = e^x + C\).
Frage 5Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(3e^x\,dx\)?
Richtige Antwort: D. \(3e^x + C\)
Erklärung: Regel für konstante Faktoren: \(\int3e^x dx = 3\int e^x dx = 3e^x + C\).
Frage 6Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(e^{2x}\,dx\)?
Richtige Antwort: C. \(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\)
Erklärung: Umkehrung der Kettenregel: Für \(\int e^{ax}dx=\tfrac{1}{a}e^{ax}+C\); hier ist \(a=2\), also \(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\).
Frage 7Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(\sin(x)\,dx\)?
Richtige Antwort: D. \(-\cos(x)+C\)
Erklärung: Die Stammfunktion von \(\sin x\) ist \(-\cos x\), also gilt \(\int \sin x\,dx=-\cos x+C\).
Frage 8Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(\cos(x)\,dx\)?
Richtige Antwort: D. \(\sin(x)+C\)
Erklärung: Die Stammfunktion von \(\cos x\) ist \(\sin x\), also gilt \(\int \cos x\,dx=\sin x+C\).
Frage 9Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(\sec^2(x)\,dx\)?
Richtige Antwort: A. \(\tan(x)+C\)
Erklärung: Die Stammfunktion von \(\sec^2 x\) ist \(\tan x\), also gilt \(\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\).
Frage 10Nicht beantwortet
Was ist das Integral von \(\tfrac{1}{x}\,dx\)?
Richtige Antwort: A. \(\ln|x|+C\)
Erklärung: Die Stammfunktion von \(1/x\) ist \(\ln|x|\), also gilt \(\int \tfrac1x dx=\ln|x|+C\).
