Тренировочный тест по интегралам и первообразным с пошаговым интерактивным уроком
Используйте тест ниже на странице, чтобы отрабатывать интегралы и первообразные — ключевые навыки, лежащие в основе площади под кривой, накопления и многих применений в анализе. Этот урок сосредоточен на самых важных инструментах интегрирования на начальном уровне: неопределенные интегралы \(\int f(x)\,dx\) как семейства первообразных, константа интегрирования \(+C\), правило степени для интегрирования \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (для \(n≠ -1\)), особый логарифмический случай \(\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\), распространенные экспоненциальные интегралы вроде \(\int e^x\,dx=e^x+C\) и \(\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\), обязательные тригонометрические интегралы вроде \(\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\) и \(\int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C\), а также быстрое распознавание шаблонов для u-подстановки (обратного правила цепочки), например \(\int \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\). Вы также будете отрабатывать определенные интегралы и вычисления с помощью основной теоремы анализа. Если нужно освежить материал, нажмите Начать урок, чтобы открыть пошаговое руководство с разобранными примерами и быстрыми проверками.
Ответьте на набор вопросов и разберите ошибки в конце.
Как устроена тренировка по интегралам и первообразным
1. Выполните набор практики: ответьте на вопросы по интегралам и первообразным ниже на странице.
2. Откройте урок (необязательно): повторите правила первообразных, тригонометрические/экспоненциальные/логарифмические интегралы, шаблоны u-подстановки и определенные интегралы.
3. Повторите: вернитесь к набору вопросов и сразу примените правила интегрирования.
Что вы изучите в уроке по интегралам и первообразным
Неопределенные интегралы и константа интегрирования
Смысл первообразной: \(\int f(x)\,dx = F(x)+C\), где \(F'(x)=f(x)\)
+C важно: каждый неопределенный интеграл представляет целое семейство функций
Цель: Сформировать ясное понимание интегралов и первообразных, чтобы вы могли вычислять неопределенные интегралы с помощью основных правил первообразных (правило степени, экспоненциальные, логарифмические и базовые тригонометрические интегралы), распознавать распространенные шаблоны для u-подстановки (обратное правило цепочки) и вычислять определенные интегралы по основной теореме анализа. Вы также потренируетесь интерпретировать смысл интеграла: площадь, ориентированная площадь и накопление.
Критерии успеха
Объяснять связь между производными и первообразными: если \(F'(x)=f(x)\), то \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\).
Использовать линейность интегралов: \(\int (af+bg)\,dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx\).
Применять правило степени для интегрирования и правильно обрабатывать особый случай \(n=-1\).
Вычислять распространенные логарифмические и экспоненциальные интегралы, включая \(\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\) и \(\int e^x\,dx=e^x+C\).
Вычислять основные тригонометрические интегралы, включая \(\int \sec^2x\,dx=\tan x+C\) и \(\int \csc^2x\,dx=-\cot x+C\).
Распознавать шаблоны обратной тригонометрии вроде \(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C\).
Использовать простую u-подстановку, когда видите "внутреннюю функцию + ее производную", например \(\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\).
Вычислять определенные интегралы через первообразную: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).
Ключевые термины
Неопределенный интеграл: \(\int f(x)\,dx\), семейство первообразных \(F(x)+C\).
Первообразная: функция \(F\), такая что \(F'(x)=f(x)\).
Константа интегрирования: \(+C\), нужна потому, что производные не видят константы.
Определенный интеграл: \(\int_a^b f(x)\,dx\), чистое накопление / ориентированная площадь от \(a\) до \(b\).
Основная теорема анализа: если \(F'(x)=f(x)\), то \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).
u-подстановка: метод, обращающий правило цепочки через подстановку \(u=g(x)\).
Быстрая предварительная проверка
Проверка 1: Чему равно \(\displaystyle \int 3x^2\,dx\)?
Проверка 2: Чему равно \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx\)?
Подсказка: производная \(\ln|x|\) равна \(1/x\) при \(x≠ 0\).
Основы первообразных
Неопределенные интегралы, первообразные и линейность
Цель обучения: Понять, что означает \(\int f(x)\,dx\), и вычислять базовые первообразные с помощью линейности.
Главная идея
Неопределенный интеграл представляет семейство первообразных: \[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \quad \text{где } F'(x)=f(x). \] Константа интегрирования \(+C\) нужна, потому что производная любой константы равна \(0\).
Правила линейности, которые вы будете постоянно использовать
Попробуйте 2: Чему равно \(\displaystyle \int e^{0}\,dx\)?
Подсказка: \(e^0=1\), значит вы интегрируете константу \(1\).
Итоги
\(\int f(x)\,dx = F(x)+C\), где \(F'(x)=f(x)\).
Используйте линейность, чтобы разбивать интегралы на более простые части.
Правило степени и логарифмы
Правило степени для интегрирования и исключение \(\int \frac{1}{x}\,dx\)
Цель обучения: Правильно применять правило степени и помнить особый логарифмический случай.
Главная идея
Самое частое правило для первообразных - правило степени: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n≠ -1). \] Показатель увеличивается на \(1\), затем вы делите на новый показатель.
Но при \(n=-1\) формула делила бы на \(0\). Этот особый случай: \[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. \]
Перепишите \(\frac{5}{x^2}=5x^{-2}\). Затем примените правило степени при \(n=-2\): \[ \int 5x^{-2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+C = -\frac{5}{x}+C. \]
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равно \(\displaystyle \int x^{1/2}\,dx\)?
Подсказка: увеличьте показатель: \(1/2 \to 3/2\), затем разделите на \(3/2\).
Попробуйте 2: Чему равно \(\displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx\)?
Правило степени: \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) для \(n≠ -1\).
Особый случай: \(\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\).
Тригонометрические интегралы
Распространенные тригонометрические и обратные тригонометрические интегралы
Цель обучения: Запомнить самые распространенные тригонометрические первообразные и распознавать ключевые шаблоны обратной тригонометрии.
Основные тригонометрические интегралы, которые нужно знать уверенно
\(\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x + C\)
\(\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x + C\)
\(\displaystyle \int \sec^2 x\,dx=\tan x + C\)
\(\displaystyle \int \csc^2 x\,dx=-\cot x + C\)
\(\displaystyle \int \sec x\tan x\,dx=\sec x + C\)
\(\displaystyle \int \csc x\cot x\,dx=-\csc x + C\)
Шаблон обратной тригонометрии
Обязательная обратная тригонометрическая первообразная: \[ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C. \] Это первообразная, потому что \(\dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\).
Знайте стандартные тригонометрические первообразные и знаки.
\(\int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C\) - ключевой результат обратной тригонометрии.
u-подстановка
u-подстановка: обратное правило цепочки для интегралов
Цель обучения: Замечать распространенные шаблоны "внутренняя функция + производная" и быстро интегрировать.
Главная идея
Если можно найти композицию \(f(g(x))\) вместе с \(g'(x)\), интеграл часто упрощается подстановкой \(u=g(x)\). На практике вы сопоставляете шаблон производной: \[ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du. \] Не для каждой ранней задачи нужна полная алгебраическая подстановка - многие интегралы являются распознаванием шаблона.
Попробуйте 1: Чему равно \(\displaystyle \int \tan(x)\sec^2(x)\,dx\)?
Подсказка: пусть \(u=\tan x\). Тогда \(du=\sec^2 x\,dx\).
Попробуйте 2: Чему равно \(\displaystyle \int (2x+1)^3\,dx\)?
Подсказка: пусть \(u=2x+1\). Тогда \(du=2\,dx\), значит \(dx=\frac{1}{2}du\).
Итоги
Ищите внутреннюю функцию \(u=g(x)\) и (с точностью до константы) ее производную \(g'(x)\,dx\).
u-подстановка - это обратное правило цепочки для интегралов.
Определенные интегралы
Определенные интегралы и основная теорема анализа
Цель обучения: Правильно вычислять определенные интегралы с помощью первообразных и понимать идею "чистой площади".
Главная идея
Определенный интеграл измеряет чистое накопление от \(a\) до \(b\): \[ \int_a^b f(x)\,dx. \] Если \(F'(x)=f(x)\), то основная теорема анализа говорит: \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Обратите внимание: в определенном интеграле нет \(+C\), потому что константы сокращаются при вычитании.
Первообразная для \(x\) равна \(\frac{x^2}{2}\). Применим основную теорему: \[ \int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}. \]
Следующий шаг: Закройте этот урок и попробуйте тест снова. Если ошибетесь в вопросе, откройте книгу заново и повторите страницу, которая соответствует нужному шаблону интегрирования.
Набор практики
Практические вопросы по теме Интегралы и первообразные с мгновенным результатом
Ответьте на все 10 вопросов ниже, затем получите итоговый результат и разбор ошибок, чтобы точно понять, что улучшить.
0/10отвечено
Вопрос 1Нет ответа
Чему равен интеграл \(2x e^{x^2}\,dx\)?
Правильный ответ: D. \(e^{x^2}+C\)
Объяснение: Обратное правило цепочки: пусть \(u=x^2\), тогда \(du=2x\,dx\), поэтому \(\int2x e^{x^2}dx=\int e^u du=e^u+C=e^{x^2}+C\).
Вопрос 2Нет ответа
Чему равен интеграл \(x\,dx\)?
Правильный ответ: D. \(\tfrac{x^2}{2} + C\)
Объяснение: Правило степенной функции: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); здесь \(n=1\), значит \(\int x dx = x^2/2 + C\).
Вопрос 3Нет ответа
Чему равен интеграл \(x^2\,dx\)?
Правильный ответ: A. \(\tfrac{x^3}{3} + C\)
Объяснение: Правило степенной функции: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); здесь \(n=2\), значит \(\int x^2 dx = x^3/3 + C\).
Вопрос 4Нет ответа
Чему равен интеграл \(e^x\,dx\)?
Правильный ответ: A. \(e^x + C\)
Объяснение: Первообразная функции \(e^x\) совпадает с ней самой: \(\int e^x dx = e^x + C\).
