Kuis Latihan integral & Antiturunan dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih integral dan antiturunan — keterampilan inti di balik luas di bawah kurva, akumulasi, dan banyak aplikasi dalam Kalkulus. Pelajaran ini berfokus pada alat integrasi terpenting yang Anda butuhkan di awal: integral tak tentu \(\int f(x)\,dx\) sebagai keluarga antiturunan, konstanta integrasi \(+C\), aturan pangkat untuk integrasi \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (untuk \(n≠ -1\)), kasus logaritma khusus \(\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\), integral eksponensial umum seperti \(\int e^x\,dx=e^x+C\) dan \(\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\), integral trigonometri penting seperti \(\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\) dan \(\int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C\), serta pengenalan pola cepat untuk substitusi-u (aturan rantai terbalik), seperti \(\int \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\). Anda juga akan berlatih integral tentu dan evaluasi dengan Teorema Dasar Kalkulus. Jika ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan integral dan antiturunan ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal integral dan antiturunan di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau aturan antiturunan, integral trigonometri/eksponensial/log, pola substitusi-u, dan integral tentu.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan aturan integrasi.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran integral & antiturunan
integral tak tentu & konstanta integrasi
Makna antiturunan: \(\int f(x)\,dx = F(x)+C\), dengan \(F'(x)=f(x)\)
+C penting: setiap integral tak tentu mewakili seluruh keluarga fungsi
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang integral dan antiturunan agar Anda dapat menghitung integral tak tentu memakai aturan antiturunan utama (aturan pangkat, eksponensial, logaritma, dan integral trigonometri dasar), mengenali pola umum untuk substitusi-u (aturan rantai terbalik), dan mengevaluasi integral tentu memakai Teorema Dasar Kalkulus. Anda juga akan berlatih menafsirkan makna integral: luas, luas netto, dan akumulasi.
Kriteria keberhasilan
Menjelaskan hubungan antara turunan dan antiturunan: jika \(F'(x)=f(x)\), maka \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\).
Menggunakan linearitas integral: \(\int (af+bg)\,dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx\).
Menerapkan aturan pangkat untuk integrasi dan menangani kasus khusus \(n=-1\) dengan benar.
Menghitung integral log dan eksponensial umum, termasuk \(\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\) dan \(\int e^x\,dx=e^x+C\).
Menghitung integral trigonometri inti, termasuk \(\int \sec^2x\,dx=\tan x+C\) dan \(\int \csc^2x\,dx=-\cot x+C\).
Mengenali pola trigonometri invers seperti \(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C\).
Menggunakan substitusi-u sederhana saat melihat "fungsi dalam + turunannya", misalnya \(\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\).
Mengevaluasi integral tentu memakai antiturunan: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).
Kosakata kunci
integral tak tentu: \(\int f(x)\,dx\), keluarga antiturunan \(F(x)+C\).
Antiturunan: fungsi \(F\) sehingga \(F'(x)=f(x)\).
Konstanta integrasi: \(+C\), diperlukan karena turunan mengabaikan konstanta.
integral tentu: \(\int_a^b f(x)\,dx\), akumulasi netto / luas bertanda dari \(a\) ke \(b\).
Teorema Dasar Kalkulus: jika \(F'(x)=f(x)\), maka \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).
Substitusi-u: metode yang membalik aturan rantai dengan mengganti \(u=g(x)\).
Cek awal cepat
Cek awal 1: Berapa \(\displaystyle \int 3x^2\,dx\)?
Cek awal 2: Berapa \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx\)?
Petunjuk: Turunan dari \(\ln|x|\) adalah \(1/x\) untuk \(x≠ 0\).
Dasar Antiturunan
integral tak tentu, antiturunan, dan linearitas
Tujuan pembelajaran: Pahami makna \(\int f(x)\,dx\) dan hitung antiturunan dasar memakai linearitas.
Ide utama
integral tak tentu mewakili keluarga antiturunan: \[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \quad \text{dengan } F'(x)=f(x). \] Konstanta integrasi \(+C\) diperlukan karena menurunkan konstanta apa pun menghasilkan \(0\).
Petunjuk: \(e^0=1\), jadi Anda sedang mengintegralkan konstanta \(1\).
Ringkasan
\(\int f(x)\,dx = F(x)+C\) dengan \(F'(x)=f(x)\).
Gunakan linearitas untuk memecah integral menjadi bagian yang lebih sederhana.
Aturan Pangkat & Log
Aturan pangkat untuk integrasi dan pengecualian \(\int \frac{1}{x}\,dx\)
Tujuan pembelajaran: Terapkan aturan pangkat dengan benar dan ingat kasus logaritma khusus.
Ide utama
Aturan antiturunan yang paling sering dipakai adalah aturan pangkat: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n≠ -1). \] Pangkat naik \(1\), lalu Anda membagi dengan pangkat baru itu.
Tetapi ketika \(n=-1\), rumus itu akan membagi dengan \(0\). Kasus khususnya adalah: \[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. \]
Aturan pangkat: \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) untuk \(n≠ -1\).
Kasus khusus: \(\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\).
integral trigonometri
integral trigonometri dan trigonometri invers yang umum
Tujuan pembelajaran: Hafalkan antiturunan trigonometri yang paling umum dan kenali pola trigonometri invers penting.
integral trigonometri inti yang harus dikuasai
\(\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x + C\)
\(\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x + C\)
\(\displaystyle \int \sec^2 x\,dx=\tan x + C\)
\(\displaystyle \int \csc^2 x\,dx=-\cot x + C\)
\(\displaystyle \int \sec x\tan x\,dx=\sec x + C\)
\(\displaystyle \int \csc x\cot x\,dx=-\csc x + C\)
Pola trigonometri invers
Antiturunan trigonometri invers yang wajib diketahui adalah: \[ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C. \] Ini adalah antiturunan karena \(\dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\).
Ketahui antiturunan trigonometri standar dan pola tandanya.
\(\int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C\) adalah hasil trigonometri invers penting.
Substitusi-u
Substitusi-u: aturan rantai terbalik untuk integral
Tujuan pembelajaran: Temukan pola umum "fungsi dalam + turunan" dan integralkan dengan cepat.
Ide utama
Jika Anda dapat mengenali komposisi \(f(g(x))\) bersama dengan \(g'(x)\), maka integral sering menjadi lebih sederhana dengan substitusi \(u=g(x)\). Dalam praktik, Anda sedang mencocokkan pola turunan: \[ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du. \] Anda tidak perlu substitusi aljabar lengkap untuk setiap soal — banyak integral awal hanyalah "pencocokan pola".
Petunjuk: Misalkan \(u=2x+1\). Maka \(du=2\,dx\) sehingga \(dx=\frac{1}{2}du\).
Ringkasan
Cari fungsi dalam \(u=g(x)\) dan (kelipatan konstanta dari) turunannya \(g'(x)\,dx\).
Substitusi-u adalah aturan rantai terbalik untuk integral.
integral Tentu
integral tentu dan Teorema Dasar Kalkulus
Tujuan pembelajaran: Evaluasi integral tentu dengan benar memakai antiturunan dan pahami ide "luas netto".
Ide utama
integral tentu mengukur akumulasi netto dari \(a\) ke \(b\): \[ \int_a^b f(x)\,dx. \] Jika \(F'(x)=f(x)\), maka Teorema Dasar Kalkulus mengatakan: \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Perhatikan: tidak ada \(+C\) dalam integral tentu karena konstanta saling hilang saat dikurangkan.
Salah satu antiturunan dari \(x\) adalah \(\frac{x^2}{2}\). Terapkan TDK: \[ \int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}. \]
Coba
Coba 1: Cari \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx\).
Petunjuk: Antiturunan dari \(\cos x\) adalah \(\sin x\). Evaluasi \(\sin(\pi/2)-\sin(0)\).
Substitusi-u: aturan rantai terbalik, terutama \(\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+C\).
integral tentu: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) (tanpa \(+C\)).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan pola integrasi yang Anda butuhkan.
Set latihan
Soal latihan Integral & Anti-turunan dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Berapakah integral dari \(2x e^{x^2}\,dx\)?
Jawaban benar: D. \(e^{x^2}+C\)
Penjelasan: Aturan rantai terbalik: misalkan \(u=x^2\), maka \(du=2x\,dx\), sehingga \(\int2x e^{x^2}dx=\int e^u du=e^u+C=e^{x^2}+C\).
Soal 2Belum dijawab
Berapakah integral dari \(x\,dx\)?
Jawaban benar: D. \(\tfrac{x^2}{2} + C\)
Penjelasan: Aturan pangkat: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); di sini \(n=1\), jadi \(\int x dx = x^2/2 + C\).
Soal 3Belum dijawab
Berapakah integral dari \(x^2\,dx\)?
Jawaban benar: A. \(\tfrac{x^3}{3} + C\)
Penjelasan: Aturan pangkat: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); di sini \(n=2\), jadi \(\int x^2 dx = x^3/3 + C\).
Soal 4Belum dijawab
Berapakah integral dari \(e^x\,dx\)?
Jawaban benar: A. \(e^x + C\)
Penjelasan: Anti-turunan dari \(e^x\) adalah dirinya sendiri: \(\int e^x dx = e^x + C\).
