समाकल अभ्यास क्विज़
नीचे दिए गए क्विज़ से समाकल और प्रतिअवकलज का अभ्यास करें: घात नियम, स्थिरांक \(C\), लघुगणकीय अपवाद, त्रिकोणमितीय समाकल, घातांकीय समाकल और प्रतिस्थापन।
यह समाकल अभ्यास कैसे काम करता है
- 1. क्विज़ हल करें: पहले नियम पहचानें, फिर समाकल करें।
- 2. पाठ खोलें: प्रतिअवकलज, \(C\), घात नियम और प्रतिस्थापन देखें।
- 3. फिर से प्रयास करें: नियमों को तुरंत लागू करके शुद्धता सुधारें।
समाकल पाठ में आप क्या सीखेंगे
अनिश्चित समाकल
- \(\int f(x)\,dx\) ऐसे फलन को खोजता है जिसका अवकलज \(f(x)\) हो।
- अनिश्चित समाकल में हमेशा स्थिरांक \(+C\) जोड़ें।
- योग, अंतर और स्थिर गुणांक को अलग-अलग समाकल किया जा सकता है।
मुख्य समाकल नियम
- घात नियम: \(\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\), \(n? -1\)।
- विशेष मामला: \(\int \dfrac1x dx=\ln|x|+C\)।
- \(\int e^x dx=e^x+C\)।
त्रिकोणमितीय समाकल
- \(\int \sec^2 x dx=\tan x+C\) और \(\int \csc^2x dx=-\cot x+C\)।
- व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय रूपों को उनके मानक प्रतिअवकलज से जोड़ें।
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पैटर्न जैसे \(\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C\) पहचानें।
प्रतिस्थापन
- जब अंदर वाला फलन और उसका अवकलज मौजूद हो, तो \(u\)-प्रतिस्थापन उपयोग करें।
- \(\int 2x\cos(x^2)dx\) में \(u=x^2\) लें।
- निश्चित समाकल में सीमाएँ भी \(u\) के अनुसार बदलें या अंत में \(x\) पर लौटें।
अभ्यास सेट
समाकल एवं प्रतिअवकलज अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
\(2x e^{x^2}\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: D. \(e^{x^2}+C\)
व्याख्या: उल्टा शृंखला नियम: \(u=x^2\) लें, तब \(du=2x\,dx\) होगा, इसलिए \(\int 2x e^{x^2} dx=\int e^u du=e^u+C=e^{x^2}+C\).
\(x\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: D. \(\tfrac{x^2}{2} + C\)
व्याख्या: घात नियम: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); यहाँ \(n=1\) है, इसलिए \(\int x dx = x^2/2 + C\)।
\(x^2\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: A. \(\tfrac{x^3}{3} + C\)
व्याख्या: घात नियम: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\); यहाँ \(n=2\) है, इसलिए \(\int x^2 dx = x^3/3 + C\)।
\(e^x\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: A. \(e^x + C\)
व्याख्या: \(e^x\) का प्रतिअवकलज वही होता है: \(\int e^x\,dx = e^x + C\).
\(3e^x\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: D. \(3e^x + C\)
व्याख्या: स्थिर गुणांक नियम: \(\int 3e^x\,dx = 3\int e^x\,dx = 3e^x + C\).
\(e^{2x}\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: C. \(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\)
व्याख्या: उल्टा शृंखला नियम: \(\int e^{ax}\,dx=\tfrac{1}{a}e^{ax}+C\); यहाँ \(a=2\) है, इसलिए \(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\).
\(\sin(x)\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: D. \(-\cos(x)+C\)
व्याख्या: \(\sin x\) का प्रतिअवकलज \(-\cos x\) होता है, इसलिए \(\int \sin x\,dx=-\cos x+C\).
\(\cos(x)\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: D. \(\sin(x)+C\)
व्याख्या: \(\cos x\) का प्रतिअवकलज \(\sin x\) होता है, इसलिए \(\int \cos x\,dx=\sin x+C\).
\(\sec^2(x)\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: A. \(\tan(x)+C\)
व्याख्या: \(\sec^2 x\) का प्रतिअवकलज \(\tan x\) होता है, इसलिए \(\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\).
\(\tfrac{1}{x}\,dx\) का समाकल क्या है?
सही उत्तर: A. \(\ln|x|+C\)
व्याख्या: \(1/x\) का प्रतिअवकलज \(\ln|x|\) होता है, इसलिए \(\int \tfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\).
परिणाम
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