Übungsfragen, Quiz und Schritt-für-Schritt-Lektion zu Vektorräume und Unterräume - verbessere deine Mathefähigkeiten mit gezielten Fragen und klaren Erklärungen.
Übungsquiz zu Vektorräumen & Unterräumen mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion
Nutze das Quiz am Seitenanfang, um Vektorräume und Unterräume zu üben - die Grundlage der linearen Algebra: Vektorraumaxiome (Abgeschlossenheit, Assoziativität, Distributivität, neutrales Element, inverse Elemente), den schnellen Unterraumtest (enthält \(0\), abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation), Linearkombinationen und lineare Hülle (Span), Basis und Dimension, Koordinaten bezüglich einer Basis (Basiswechsel), Standardunterräume wie Nullraum und Lösungsräume, Summe und Schnitt von Unterräumen (\(U+W\) und \(U\cap W\)) und die Bedeutung von Quotientenräumen \(V/W\). Außerdem siehst du wichtige Beispiele in \(\mathbb{R}^n\), Matrixräumen \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\), Polynomräumen \(P_n\) und Funktionsräumen wie \(C[0,1]\). Wenn du eine Auffrischung möchtest, klicke auf Lektion starten, um eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit durchgerechneten Beispielen und kurzen Kontrollfragen zu öffnen.
So funktioniert diese Übung zu Vektorräumen und Unterräumen
1. Quiz bearbeiten: Beantworte am Seitenanfang die Fragen zu Vektorräumen, Unterräumen, linearer Hülle, Basis und Dimension.
2. Lektion öffnen (optional): Wiederhole Vektorraumaxiome, den Unterraumtest, lineare Hüllen, Basen, Koordinaten, Dimension und Quotientenräume mit klaren Beispielen.
3. Erneut versuchen: Gehe zurück zum Quiz und wende den Unterraumtest sowie Basis-/Dimensionswerkzeuge direkt an.
Was du in der Lektion zu Vektorräumen & Unterräumen lernst
Vektorräume & der Unterraumtest
Definition eines Vektorraums: Operationen + Axiome (einschließlich additivem neutralem Element \(0\))
Unterraumtest: \(0\in U\), abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation
Lineare Hülle, Linearkombinationen und Lösungsräume
Lineare Hülle (Span) als alle Linearkombinationen: \(\text{span}\{v_1,\dots,v_k\}\)
Lösungsräume homogener Systeme \(Ax=0\) sind Unterräume
Nullraum und Spaltenraum als zentrale Unterräume in der linearen Algebra
Basis, Koordinaten und Dimension
Basis: aufspannend + linear unabhängig
Koordinaten bezüglich einer Basis (Berechnungen zum Basiswechsel)
Dimension: Größe einer Basis; Dimensionen typischer Unterräume berechnen
Operationen mit Unterräumen & Quotientenräume
Schnitt \(U\cap W\) ist immer ein Unterraum
Summe \(U+W\) ist der kleinste Unterraum, der beide \(U\) und \(W\) enthält
Quotientenraum \(V/W\): Vektoren modulo dem Unterraum \(W\) (Nebenklassen)
Zurück zum Quiz
Wenn du bereit bist, kehre zum Quiz am Seitenanfang zurück und übe weiter Vektorräume und Unterräume.
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Vektorräume & Unterräume
Schritt-für-Schritt-Anleitung
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Lektion zu Vektorräumen & Unterräumen
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Lektionsüberblick
Lektionsüberblick
Ziel: Baue ein klares Verständnis von Vektorräumen und Unterräumen auf, damit du den Unterraumtest nutzen, Mengen mit linearer Hülle und Linearkombinationen beschreiben, Basen, Koordinaten bezüglich einer Basis und Dimension berechnen, Lösungsräume (Nullräume) als Unterräume erkennen und Summe, Schnitt sowie Quotientenräume \(V/W\) über Nebenklassen verstehen kannst.
Erfolgskriterien
Erkläre, was ein Vektorraum ist (Operationen + Axiome), und identifiziere den Nullvektor.
Nutze den Unterraumtest: prüfe \(0\in U\), Abgeschlossenheit unter Addition und Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation.
Beschreibe eine Menge als lineare Hülle von Vektoren und interpretiere Linearkombinationen.
Erkenne, dass Lösungsräume homogener linearer Gleichungssysteme \(Ax=0\) Unterräume sind.
Finde und interpretiere eine Basis (aufspannend + linear unabhängig) und berechne die Dimension.
Berechne Koordinaten bezüglich einer Basis (Basiswechsel in \(\mathbb{R}^n\)).
Arbeite mit Summe \(U+W\) und Schnitt \(U\cap W\) von Unterräumen.
Interpretiere den Quotientenraum \(V/W\) als Menge der Nebenklassen \(v+W\).
Nutze typische Beispiele: \(\mathbb{R}^n\), Matrixräume \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\), Polynomräume \(P_n\) und Funktionsräume wie \(C[0,1]\).
Wichtige Begriffe
Vektorraum: eine Menge \(V\) mit Addition und Skalarmultiplikation, die die Axiome erfüllt (einschließlich eines additiven neutralen Elements \(0\)).
Unterraum: eine Teilmenge \(U\subseteq V\), die mit den geerbten Operationen selbst ein Vektorraum ist.
Lineare Hülle (Span): \(\text{span}(S)\) ist die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(S\).
Basis: eine linear unabhängige Menge, die den Raum aufspannt; jeder Vektor hat eine eindeutige Koordinatendarstellung.
Dimension: die Anzahl der Vektoren in einer beliebigen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums.
Nebenklasse / Quotientenraum: \(v+W=\{v+w:w\in W\}\); \(V/W\) ist die Menge aller solcher Nebenklassen.
Schneller Vorabprüfung
Vorabprüfung 1: Welcher Vektor ist in jedem Unterraum eines Vektorraums \(V\) immer enthalten?
Hinweis: Ein Unterraum muss das additive neutrale Element enthalten.
Vorabprüfung 2: Wenn \(U\) und \(W\) Unterräume von \(V\) sind, was gilt immer für \(U \cap W\)?
Hinweis: Prüfe den Unterraumtest für den Schnitt.
Vektorräume & Unterräume
Vektorräume, Unterräume und der Unterraumtest
Lernziel: Entscheide mit einer kurzen Kontrollliste schnell, ob eine Menge ein Unterraum ist, und vermeide häufige Fallen (fehlendes \(0\), nicht abgeschlossen unter Addition, nicht abgeschlossen unter Skalarmultiplikation).
Kernidee
Ein Vektorraum \(V\) über einem Körper (wie \(\mathbb{R}\)) ist eine Menge mit zwei Operationen: Vektoraddition und Skalarmultiplikation, die die Standardaxiome erfüllt (Assoziativität, Kommutativität der Addition, Distributivgesetze, skalares Einselement, additives neutrales Element \(0\), additive Inverse und Abgeschlossenheit).
Eine Teilmenge \(U\subseteq V\) ist ein Unterraum, wenn sie mit denselben Operationen ein Vektorraum ist. In der Praxis nutzt du den Unterraumtest.
Der Unterraumtest
Nullvektor: \(0 \in U\).
Abgeschlossen unter Addition: Wenn \(u,v\in U\), dann \(u+v\in U\).
Abgeschlossen unter Skalarmultiplikation: Wenn \(u\in U\) und \(c\in \mathbb{R}\), dann \(cu\in U\).
Typische Beispiele
\(\mathbb{R}^n\) und jede Ebene durch den Ursprung in \(\mathbb{R}^3\).
Matrixräume wie \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\); Mengen, die durch lineare Bedingungen definiert sind, sind oft Unterräume.
Funktionsräume wie \(C[0,1]\); Mengen, die durch lineare Bedingungen definiert sind (z. B. \(f(0)=0\)), sind Unterräume.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Ist \(U=\{f\in C[0,1]: f(0)=0\}\) ein Unterraum von \(C[0,1]\)?
Nullfunktion: \(0(0)=0\), also \(0\in U\). Wenn \(f(0)=0\) und \(g(0)=0\), dann gilt \((f+g)(0)=f(0)+g(0)=0\), also \(f+g\in U\). Wenn \(f(0)=0\) und \(c\in\mathbb{R}\), dann gilt \((cf)(0)=c f(0)=0\), also \(cf\in U\). Daher ist \(U\) ein Unterraum.
Übe selbst
Aufgabe 1: Ist die Menge \(S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x+y=1\}\) ein Unterraum von \(\mathbb{R}^2\)?
Hinweis: Setze \((0,0)\) in \(x+y=1\) ein.
Aufgabe 2: Wenn \(w\) in einem Unterraum \(S\) liegt, was kannst du über \(-2w\) sagen?
Hinweis: Ein Unterraum ist abgeschlossen unter Multiplikation mit jedem Skalar des Körpers.
Zusammenfassung
Ein Unterraum muss \(0\) enthalten und unter Addition sowie Skalarmultiplikation abgeschlossen sein.
Mengen wie \(x+y=1\) sind meist affin (verschoben) und bestehen den Test \(0\in U\) nicht.
Lineare Hülle & Linearkombinationen
Linearkombinationen, lineare Hülle und Beschreiben von Unterräumen
Lernziel: Übersetze zwischen "allen Linearkombinationen" und einer klaren Unterraumbeschreibung und erkenne Lösungsräume als Unterräume.
Kernidee
Eine Linearkombination von Vektoren \(v_1,\dots,v_k\) ist jeder Vektor der Form \[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \] wobei \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\). Die lineare Hülle (Span) ist die Menge aller solchen Kombinationen: \[ \text{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i\in\mathbb{R}\}. \] Eine lineare Hülle ist immer ein Unterraum.
Lösungsräume sind Unterräume
Die Lösungsmenge eines homogenen Systems \(Ax=0\) ist der Nullraum von \(A\), \[ \mathcal{N}(A)=\{x: Ax=0\}, \] und sie ist immer ein Unterraum von \(\mathbb{R}^n\).
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde die Dimension des Lösungsraums von \(x+y+z=0\) in \(\mathbb{R}^3\).
Löse \(x+y+z=0\), indem du eine Variable durch die anderen ausdrückst: \(x=-y-z\). Setze \(y=s\) und \(z=t\). Dann gilt \[ (x,y,z)=(-s-t,\, s,\, t)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1). \] Der Lösungsraum ist \(\text{span}\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}\), also eine Ebene durch den Ursprung, daher ist seine Dimension \(2\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist der Nullraum der Ableitungsabbildung \(D: P_2 \to P_1\)?
Hinweis: \(Dp=0\) bedeutet, dass das Polynom die Ableitung null hat.
Aufgabe 2: Was ist die Dimension von \(\{A\in M_{2\times3}(\mathbb{R}): A_{1,\ast}=0\}\)?
Hinweis: Eine \(2\times3\)-Matrix hat 6 Einträge; die ganze erste Zeile auf null zu setzen entfernt 3 Freiheitsgrade.
Zusammenfassung
\(\text{span}(S)\) ist immer ein Unterraum: Er enthält \(0\) und ist unter Linearkombinationen abgeschlossen.
Homogene Lösungsräume (Nullräume) sind Unterräume, und ihre Dimension ist die Anzahl der freien Parameter.
Basis, Koordinaten, Dimension
Basen, Koordinaten bezüglich einer Basis und Dimension
Lernziel: Nutze Basen, um Vektoren effizient darzustellen, Koordinaten zu berechnen und die Größe einer Basis mit der Dimension zu verbinden.
Kernidee
Eine Menge \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) ist eine Basis für einen Vektorraum \(V\), wenn: (1) sie \(V\) aufspannt und (2) sie linear unabhängig ist. Wenn \(B\) eine Basis ist, kann jeder \(v\in V\) eindeutig geschrieben werden als \[ v = c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n. \] Die Skalare \((c_1,\dots,c_n)\) sind die Koordinaten von \(v\) bezüglich der Basis \(B\).
Dimension
Wenn \(V\) endlichdimensional ist, ist die Dimension \(\dim V\) die Anzahl der Vektoren in einer beliebigen Basis von \(V\). Zum Beispiel gilt \(\dim \mathbb{R}^n = n\), \(\dim P_n = n+1\) und \(\dim M_{m\times n}(\mathbb{R}) = mn\). Hat \(V\) eine Basis der Größe \(5\), dann gilt auch \(\dim V = 5\) und \(\dim V^* = 5\).
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Bezüglich der Basis \(B=\{(1,0),(1,1)\}\) von \(\mathbb{R}^2\): Welche Koordinaten hat \((2,3)\)?
Schreibe \((2,3)=a(1,0)+b(1,1)\). Dann ist \((2,3)=(a+b,\, b)\), also \(b=3\) und \(a+b=2\Rightarrow a= -1\). Daher ist der Koordinatenvektor \([\, (2,3)\, ]_B = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Wenn \(V\) eine Basis der Größe \(5\) hat, was ist \(\dim V^*\) (der Dualraum)?
Hinweis: Für endlichdimensionale Vektorräume gilt \(\dim V = \dim V^*\).
Aufgabe 2: Welche Teilmenge von \(\mathbb{R}^3\) ist ein 2-dimensionaler Unterraum?
Hinweis: Ein 2D-Unterraum in \(\mathbb{R}^3\) ist typischerweise eine Ebene durch den Ursprung, die durch eine homogene lineare Gleichung gegeben ist.
Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis (und \(\dim V^*=\dim V\) für endlichdimensionale \(V\)).
Operationen mit Unterräumen
Schnitt, Summe, Vereinigung und typische Unterraumgeometrie in \(\mathbb{R}^n\)
Lernziel: Arbeite sicher mit \(U\cap W\), \(U+W\), und verstehe, warum \(U\cup W\) meistens kein Unterraum ist.
Schnitt \(U\cap W\)
Wenn \(U\) und \(W\) Unterräume von \(V\) sind, dann ist \(U\cap W\) immer ein Unterraum von \(V\). Grund: Er enthält \(0\) und ist unter Addition/Skalarmultiplikation abgeschlossen, weil sowohl \(U\) als auch \(W\) das sind.
Summe \(U+W\)
Die Summe von Unterräumen ist \[ U+W=\{u+w: u\in U,\; w\in W\}. \] Sie ist der kleinste Unterraum, der beide \(U\) und \(W\) enthält.
Vereinigung \(U\cup W\)
Im Allgemeinen ist die Vereinigung zweier Unterräume kein Unterraum. Sie ist nur in dem Spezialfall ein Unterraum, in dem einer der Unterräume im anderen enthalten ist: \[ U\cup W \text{ is a subspace } \Longleftrightarrow U\subseteq W \text{ or } W\subseteq U. \]
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Was ist die Summe \(U+W\) der \(x\text{–}y\)-Ebene und der \(y\text{–}z\)-Ebene in \(\mathbb{R}^3\)?
Die \(x\text{–}y\)-Ebene ist \(U=\{(x,y,0)\}\). Die \(y\text{–}z\)-Ebene ist \(W=\{(0,y,z)\}\). Addiere je einen allgemeinen Vektor aus beiden: \[ (x,y_1,0)+(0,y_2,z)=(x,\, y_1+y_2,\, z). \] Damit kann jedes \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) entstehen, also ist \(U+W=\mathbb{R}^3\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist der Schnitt der Unterräume \(\{(x,0,0)\}\) und \(\{(0,y,0)\}\) in \(\mathbb{R}^3\)?
Hinweis: Ein Vektor im Schnitt muss auf beiden Achsen zugleich liegen.
Aufgabe 2: Wann ist die Vereinigung zweier Unterräume \(U\) und \(W\) ebenfalls ein Unterraum?
Hinweis: Wenn keiner den anderen enthält, wähle \(u\in U\setminus W\) und \(w\in W\setminus U\) und prüfe Abgeschlossenheit unter Addition.
Zusammenfassung
\(U\cap W\) und \(U+W\) sind immer Unterräume.
\(U\cup W\) ist meistens kein Unterraum (außer einer enthält den anderen).
Dimension & unendlichdimensionale Räume
Dimension in der Praxis: Bedingungen, Freiheitsgrade und unendliche Dimension
Lernziel: Berechne Dimensionen aus freien Parametern oder Bedingungen und erkenne, wann ein Raum unendlichdimensional ist.
Kernidee
Dimension zählt Freiheitsgrade. Jede unabhängige lineare Bedingung verringert die Dimension typischerweise um \(1\) (in endlichdimensionalen Situationen). Zum Beispiel definiert eine einzelne homogene lineare Gleichung in \(\mathbb{R}^3\) einen 2D-Unterraum (eine Ebene durch den Ursprung).
Endliche vs. unendliche Dimension
Ein Vektorraum ist endlichdimensional, wenn er eine endliche Basis besitzt. Wenn keine endliche Basis existiert, ist er unendlichdimensional (zum Beispiel \(P\) = alle Polynome oder \(C[0,1]\)). Wenn ein Unterraum \(S\) unendliche Dimension hat, kann er nicht von endlich vielen Vektoren aufgespannt werden (jede aufspannende Menge muss unendlich sein).
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Ist die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen der Größe \(3\times 3\) ein Unterraum von \(M_{3\times 3}(\mathbb{R})\)? Was ist ihre Dimension?
Obere Dreiecksmatrizen sind unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen, und die Nullmatrix ist obere Dreiecksmatrix, also ist die Menge ein Unterraum. Eine obere Dreiecksmatrix der Größe \(3\times 3\) hat freie Einträge an den Positionen \((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\): Das sind 6 freie Parameter. Also ist die Dimension \(6\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Wenn \(S\) ein Unterraum unendlicher Dimension ist, dann muss er sein:
Hinweis: Unendlichdimensional bedeutet, dass keine endliche Liste von Vektoren den Raum aufspannen kann.
Aufgabe 2: Ist die Menge \(\{0\}\) ein Unterraum?
Hinweis: Der Nullvektor allein erfüllt den Unterraumtest.
Unendlichdimensional bedeutet, dass keine endliche aufspannende Menge existiert.
Quotientenräume
Quotientenräume \(V/W\): Vektoren modulo eines Unterraums
Lernziel: Verstehe Quotientenräume konzeptionell: "Behandle Vektoren, die sich um etwas in \(W\) unterscheiden, als gleich."
Kernidee
Sei \(W\) ein Unterraum von \(V\). Zwei Vektoren \(v\) und \(u\) werden modulo \(W\) als äquivalent betrachtet, wenn \[ v-u \in W. \] Die Äquivalenzklasse von \(v\) ist die Nebenklasse \[ v+W = \{v+w : w\in W\}. \] Der Quotientenraum \(V/W\) ist die Menge aller Nebenklassen: \[ V/W = \{v+W : v\in V\}. \]
So kannst du dir \(V/W\) vorstellen
Du "kollabierst" den gesamten Unterraum \(W\), sodass er im Quotienten wie das Nullelement wirkt.
Vektoren, die sich um ein Element von \(W\) unterscheiden, werden derselbe Punkt in \(V/W\).
Das hilft, dich auf Richtungen "nicht in \(W\)" zu konzentrieren und Strukturen zu vereinfachen.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Sei \(V=\mathbb{R}^2\) und \(W=\text{span}\{(1,0)\}\) (die \(x\)-Achse). Wie sieht \((0,3)+W\) aus?
\(W=\{(t,0): t\in\mathbb{R}\}\). Dann gilt \[ (0,3)+W=\{(0,3)+(t,0): t\in\mathbb{R}\}=\{(t,3): t\in\mathbb{R}\}, \] also eine horizontale Gerade auf Höhe \(y=3\). In \(\mathbb{R}^2/W\) stellen alle Punkte auf dieser Geraden dieselbe Nebenklasse dar.
Übe selbst
Aufgabe 1: Welche Beschreibung passt zum Quotientenraum \(V/W\)?
Hinweis: Elemente von \(V/W\) sind keine Vektoren aus \(V\), sondern Äquivalenzklassen (Nebenklassen).
Aufgabe 2: Kann der Schnitt zweier Unterräume in \(\mathbb{R}^n\) der Nullunterraum sein?
Hinweis: Zum Beispiel schneiden sich die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse in \(\mathbb{R}^2\) nur in \(0\).
Zusammenfassung
\(V/W\) ist die Menge der Nebenklassen \(v+W\), also Vektoren modulo dem Unterraum \(W\).
Quotienten "kollabieren" Richtungen in \(W\), damit du dich auf das konzentrierst, was übrig bleibt.
Anwendungen & Gesamtbild
Warum Vektorräume und Unterräume wichtig sind
Lernziel: Verbinde die Unterraum-Sichtweise mit dem Rest der linearen Algebra - und schließe mit einem letzten Kontrolle ab.
Wo Vektorräume und Unterräume auftauchen
Lineare Systeme: Lösungsmengen von \(Ax=0\) sind Unterräume (Nullräume).
Lineare Abbildungen: Kerne und Bilder sind Unterräume; Dimension hängt mit Rang und Nullität zusammen.
Geometrie: Geraden/Ebenen durch den Ursprung sind Unterräume; Summen und Schnitte passen zur geometrischen Intuition.
Daten und ML: Unterräume modellieren niedrigdimensionale Struktur in hochdimensionalen Daten (PCA).
Funktionen: Viele Funktionsräume sind Vektorräume; Bedingungen wie \(f(0)=0\) definieren Unterräume.
Ausgearbeitetes Beispiel: eine klare Dimensionszählung bei Matrizen
Eine \(2\times 3\)-Matrix hat 6 Einträge. Die Bedingung \(A_{1,\ast}=0\) erzwingt, dass die gesamte erste Zeile null ist; dadurch sind 3 Einträge festgelegt. Die zweite Zeile \((a_{21},a_{22},a_{23})\) ist frei, also gibt es 3 Freiheitsgrade. Daher ist die Dimension \(3\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist die Dimension des Lösungsraums von \(x + y + z = 0\) in \(\mathbb{R}^3\)?
Hinweis: Eine homogene lineare Gleichung in \(\mathbb{R}^3\) lässt typischerweise zwei freie Parameter übrig.
Aufgabe 2: Ist eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^n\), die den Nullvektor nicht enthält, ein Unterraum?
Hinweis: Das additive neutrale Element muss in jedem Vektorraum (und damit in jedem Unterraum) enthalten sein.
Abschluss-Wiederholung
Unterraumtest: prüfe \(0\in U\), Abgeschlossenheit unter Addition, Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation.
Lineare Hülle (Span): alle Linearkombinationen; \(\text{span}(S)\) ist immer ein Unterraum.
Dimension: Anzahl der Basisvektoren; zählt Freiheitsgrade.
Operationen: \(U\cap W\) und \(U+W\) sind Unterräume; \(U\cup W\) ist meistens keiner.
Quotient: \(V/W\) besteht aus Nebenklassen \(v+W\), also Vektoren modulo \(W\).
Als Nächstes: Schließe diese Lektion und versuche dein Quiz erneut. Wenn du eine Frage verfehlst, öffne die Lektion erneut und wiederhole die Seite, die zur benötigten Kompetenz bei Vektorräumen oder Unterräumen passt (Unterraumtest, lineare Hülle, Basis/Koordinaten, Dimension, Summe/Schnitt oder Quotientenräume).
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