Espaces vectoriels et sous-espaces : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les espaces vectoriels et sous-espaces avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner aux espaces vectoriels et sous-espaces, la base de l’algèbre linéaire : les axiomes d’espace vectoriel (stabilité, associativité, distributivité, élément neutre, opposés), le test rapide de sous-espace (contient \(0\), stable par addition et multiplication scalaire), les combinaisons linéaires et l’espace engendré, les bases et la dimension, les coordonnées dans une base (changement de base), les sous-espaces standards comme le noyau et les espaces de solutions, la somme et l’intersection de sous-espaces (\(U+W\) et \(U\cap W\)), ainsi que le sens des espaces quotients \(V/W\). Vous verrez aussi des exemples clés dans \(\mathbb{R}^n\), les espaces de matrices \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\), les espaces de polynômes \(P_n\) et les espaces de fonctions comme \(C[0,1]\). Pour réviser, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide pas à pas avec exemples détaillés et vérifications rapides.
Fonctionnement de cet entraînement sur les espaces vectoriels et sous-espaces
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les espaces vectoriels, les sous-espaces, les espaces engendrés, les bases et la dimension en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultatif) : revoyez les axiomes d’espace vectoriel, le test de sous-espace, les espaces engendrés, les bases, les coordonnées, la dimension et les espaces quotients avec des exemples clairs.
3. Réessayez : retournez au quiz et appliquez immédiatement le test de sous-espace et les outils base/dimension.
Ce que vous apprendrez dans la leçon sur les espaces vectoriels et sous-espaces
Espaces engendrés, combinaisons linéaires et espaces de solutions
Espace engendré comme ensemble de toutes les combinaisons linéaires : \(\text{span}\{v_1,\dots,v_k\}\)
Espaces de solutions des systèmes homogènes \(Ax=0\) : ce sont des sous-espaces
Noyau et espace colonne comme sous-espaces essentiels en algèbre linéaire
Bases, coordonnées et dimension
Base : famille génératrice + indépendance linéaire
Coordonnées dans une base (calculs de changement de base)
Dimension : taille d’une base ; calculer les dimensions de sous-espaces courants
Opérations sur les sous-espaces et espaces quotients
Intersection \(U\cap W\) : toujours un sous-espace
Somme \(U+W\) : le plus petit sous-espace contenant à la fois \(U\) et \(W\)
Espace quotient \(V/W\) : vecteurs modulo le sous-espace \(W\) (classes)
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, retournez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur les espaces vectoriels et les sous-espaces.
⭐⭐⭐⭐⭐⭐
🧠
Espaces vectoriels & sous-espaces
Guide pas à pas
Appuyez pour ouvrir
Chargement...
Leçon sur les espaces vectoriels et les sous-espaces
1 / 8
Vue d’ensemble
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : construire une compréhension claire des espaces vectoriels et sous-espaces afin d’utiliser le test de sous-espace, de décrire des ensembles avec l’espace engendré et les combinaisons linéaires, de calculer des bases, des coordonnées dans une base et la dimension, de reconnaître les espaces de solutions (noyaux) comme des sous-espaces, et de comprendre la somme, l’intersection et les espaces quotients \(V/W\) à l’aide de classes.
Critères de réussite
Dire ce qu’est un espace vectoriel (opérations + axiomes) et identifier le vecteur nul.
Utiliser le test de sous-espace : vérifier \(0\in U\), la stabilité par addition et la stabilité par multiplication scalaire.
Décrire un ensemble comme espace engendré par des vecteurs et interpréter les combinaisons linéaires.
Reconnaître que les espaces de solutions des systèmes linéaires homogènes \(Ax=0\) sont des sous-espaces.
Trouver et interpréter une base (famille génératrice + indépendance linéaire) et calculer la dimension.
Calculer des coordonnées dans une base (changement de base dans \(\mathbb{R}^n\)).
Manipuler la somme \(U+W\) et l’intersection \(U\cap W\) de sous-espaces.
Interpréter l’espace quotient \(V/W\) comme l’ensemble des classes \(v+W\).
Utiliser des exemples classiques : \(\mathbb{R}^n\), les espaces de matrices \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\), les espaces de polynômes \(P_n\) et les espaces de fonctions comme \(C[0,1]\).
Vocabulaire essentiel
Espace vectoriel : ensemble \(V\) muni d’une addition et d’une multiplication scalaire vérifiant les axiomes (dont un élément neutre additif \(0\)).
Sous-espace : sous-ensemble \(U\subseteq V\) qui est lui-même un espace vectoriel avec les opérations héritées.
Espace engendré : \(\text{span}(S)\) est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de \(S\).
Base : famille libre qui engendre l’espace ; chaque vecteur possède une représentation unique en coordonnées.
Dimension : nombre de vecteurs dans n’importe quelle base d’un espace vectoriel de dimension finie.
Classe / espace quotient : \(v+W=\{v+w:w\in W\}\) ; \(V/W\) est l’ensemble de toutes ces classes.
Vérification rapide
Vérification 1 : Quel vecteur est toujours présent dans tout sous-espace d’un espace vectoriel \(V\) ?
Indice : un sous-espace doit contenir l’élément neutre additif.
Vérification 2 : Si \(U\) et \(W\) sont des sous-espaces de \(V\), qu’est-ce qui est toujours vrai pour \(U \cap W\) ?
Indice : vérifiez le test de sous-espace pour l’intersection.
Espaces vectoriels et sous-espaces
Espaces vectoriels, sous-espaces et test de sous-espace
Objectif d’apprentissage : décider rapidement si un ensemble est un sous-espace à l’aide d’une courte liste de vérifications, et éviter les pièges fréquents (absence de \(0\), pas de stabilité par addition, pas de stabilité par multiplication scalaire).
Idée clé
Un espace vectoriel \(V\) sur un corps (comme \(\mathbb{R}\)) est un ensemble muni de deux opérations : l’addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire, qui vérifient les axiomes usuels (associativité, commutativité de l’addition, lois de distributivité, élément neutre scalaire, élément neutre additif \(0\), opposés et stabilité).
Un sous-ensemble \(U\subseteq V\) est un sous-espace s’il est un espace vectoriel pour les mêmes opérations. En pratique, on utilise le test de sous-espace.
Le test de sous-espace
Vecteur nul : \(0 \in U\).
Stabilité par addition : si \(u,v\in U\), alors \(u+v\in U\).
Stabilité par multiplication scalaire : si \(u\in U\) et \(c\in \mathbb{R}\), alors \(cu\in U\).
Exemples courants
\(\mathbb{R}^n\) et tout plan passant par l’origine dans \(\mathbb{R}^3\).
Espaces de matrices comme \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\) ; les ensembles définis par des contraintes linéaires sont souvent des sous-espaces.
Espaces de fonctions comme \(C[0,1]\) ; les ensembles définis par des conditions linéaires (par exemple \(f(0)=0\)) sont des sous-espaces.
Exemple guidé
Exemple : \(U=\{f\in C[0,1]: f(0)=0\}\) est-il un sous-espace de \(C[0,1]\) ?
Fonction nulle : \(0(0)=0\), donc \(0\in U\). Si \(f(0)=0\) et \(g(0)=0\), alors \((f+g)(0)=f(0)+g(0)=0\), donc \(f+g\in U\). Si \(f(0)=0\) et \(c\in\mathbb{R}\), alors \((cf)(0)=c f(0)=0\), donc \(cf\in U\). Ainsi \(U\) est un sous-espace.
À vous
À vous 1 : L’ensemble \(S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x+y=1\}\) est-il un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\) ?
Indice : remplacez par \((0,0)\) dans \(x+y=1\).
À vous 2 : Si \(w\) appartient à un sous-espace \(S\), que peut-on dire de \(-2w\) ?
Indice : un sous-espace est stable par multiplication par tout scalaire du corps.
Résumé
Un sous-espace doit contenir \(0\) et être stable par addition et multiplication scalaire.
Les ensembles comme \(x+y=1\) sont généralement affines (décalés) et échouent au test \(0\in U\).
Espace engendré et combinaisons linéaires
Combinaisons linéaires, espace engendré et description des sous-espaces
Objectif d’apprentissage : passer de « toutes les combinaisons linéaires » à une description claire d’un sous-espace, et reconnaître les espaces de solutions comme des sous-espaces.
Idée clé
Une combinaison linéaire de vecteurs \(v_1,\dots,v_k\) est tout vecteur de la forme \[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \] où \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\). L’espace engendré est l’ensemble de toutes ces combinaisons : \[ \text{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i\in\mathbb{R}\}. \] Un espace engendré est toujours un sous-espace.
Les espaces de solutions sont des sous-espaces
L’ensemble des solutions d’un système homogène \(Ax=0\) est le noyau de \(A\), \[ \mathcal{N}(A)=\{x: Ax=0\}, \] et c’est toujours un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\).
Exemple guidé
Exemple : Trouver la dimension de l’espace des solutions de \(x+y+z=0\) dans \(\mathbb{R}^3\).
Résolvez \(x+y+z=0\) en exprimant une variable en fonction des autres : \(x=-y-z\). Posez \(y=s\) et \(z=t\). Alors \[ (x,y,z)=(-s-t,\, s,\, t)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1). \] L’espace des solutions est \(\text{span}\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}\), un plan passant par l’origine ; sa dimension est donc \(2\).
À vous
À vous 1 : Quel est le noyau de l’application de dérivation \(D: P_2 \to P_1\) ?
Indice : \(Dp=0\) signifie que le polynôme a une dérivée nulle.
À vous 2 : Quelle est la dimension de \(\{A\in M_{2\times3}(\mathbb{R}): A_{1,\ast}=0\}\) ?
Indice : une matrice \(2\times3\) a 6 coefficients ; imposer toute la première ligne égale à zéro enlève 3 degrés de liberté.
Résumé
\(\text{span}(S)\) est toujours un sous-espace : il contient \(0\) et est stable par combinaisons linéaires.
Les espaces de solutions homogènes (noyaux) sont des sous-espaces, et leur dimension est le nombre de paramètres libres.
Base, coordonnées, dimension
Bases, coordonnées dans une base et dimension
Objectif d’apprentissage : utiliser les bases pour représenter efficacement les vecteurs, calculer des coordonnées et relier la taille d’une base à la dimension.
Idée clé
Une famille \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) est une base d’un espace vectoriel \(V\) si : (1) elle engendre \(V\), et (2) elle est linéairement indépendante. Quand \(B\) est une base, tout \(v\in V\) s’écrit de façon unique sous la forme \[ v = c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n. \] Les scalaires \((c_1,\dots,c_n)\) sont les coordonnées de \(v\) dans la base \(B\).
Dimension
Si \(V\) est de dimension finie, la dimension \(\dim V\) est le nombre de vecteurs dans n’importe quelle base de \(V\). Par exemple, \(\dim \mathbb{R}^n = n\), \(\dim P_n = n+1\) et \(\dim M_{m\times n}(\mathbb{R}) = mn\). Si \(V\) possède une base de taille \(5\), alors \(\dim V = 5\) et \(\dim V^* = 5\) aussi.
Exemple guidé
Exemple : Dans la base \(B=\{(1,0),(1,1)\}\) de \(\mathbb{R}^2\), quelles sont les coordonnées de \((2,3)\) ?
Écrivez \((2,3)=a(1,0)+b(1,1)\). Alors \((2,3)=(a+b,\, b)\), donc \(b=3\) et \(a+b=2\Rightarrow a= -1\). Le vecteur de coordonnées est donc \([\, (2,3)\, ]_B = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).
À vous
À vous 1 : Si \(V\) possède une base de taille \(5\), quelle est \(\dim V^*\) (l’espace dual) ?
Indice : pour les espaces vectoriels de dimension finie, \(\dim V = \dim V^*\).
À vous 2 : Quel sous-ensemble de \(\mathbb{R}^3\) est un sous-espace de dimension 2 ?
Indice : un sous-espace 2D de \(\mathbb{R}^3\) est typiquement un plan passant par l’origine, donné par une équation linéaire homogène.
Résumé
Les bases donnent des représentations en coordonnées uniques.
La dimension est le nombre de vecteurs dans une base (et \(\dim V^*=\dim V\) pour \(V\) de dimension finie).
Opérations sur les sous-espaces
Intersection, somme, union et géométrie des sous-espaces dans \(\mathbb{R}^n\)
Objectif d’apprentissage : travailler avec assurance avec \(U\cap W\), \(U+W\), et comprendre pourquoi \(U\cup W\) n’est généralement pas un sous-espace.
Intersection \(U\cap W\)
Si \(U\) et \(W\) sont des sous-espaces de \(V\), alors \(U\cap W\) est toujours un sous-espace de \(V\). Raison : il contient \(0\) et il est stable par addition et multiplication scalaire, car \(U\) et \(W\) le sont tous les deux.
Somme \(U+W\)
La somme de deux sous-espaces est \[ U+W=\{u+w: u\in U,\; w\in W\}. \] C’est le plus petit sous-espace contenant à la fois \(U\) et \(W\).
Union \(U\cup W\)
En général, l’union de deux sous-espaces n’est pas un sous-espace. Elle n’est un sous-espace que dans le cas particulier où l’un des sous-espaces est contenu dans l’autre : \[ U\cup W \text{ est un sous-espace } \Longleftrightarrow U\subseteq W \text{ ou } W\subseteq U. \]
Exemple guidé
Exemple : Quelle est la somme \(U+W\) du plan \(x\text{–}y\) et du plan \(y\text{–}z\) dans \(\mathbb{R}^3\) ?
Le plan \(x\text{–}y\) est \(U=\{(x,y,0)\}\). Le plan \(y\text{–}z\) est \(W=\{(0,y,z)\}\). Ajoutez un vecteur général de chacun : \[ (x,y_1,0)+(0,y_2,z)=(x,\, y_1+y_2,\, z). \] On peut ainsi obtenir tout \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\), donc \(U+W=\mathbb{R}^3\).
À vous
À vous 1 : Quelle est l’intersection des sous-espaces \(\{(x,0,0)\}\) et \(\{(0,y,0)\}\) dans \(\mathbb{R}^3\) ?
Indice : un vecteur dans l’intersection doit appartenir aux deux axes à la fois.
À vous 2 : Quand l’union de deux sous-espaces \(U\) et \(W\) est-elle aussi un sous-espace ?
Indice : si aucun des deux ne contient l’autre, prenez \(u\in U\setminus W\) et \(w\in W\setminus U\), puis testez la stabilité par addition.
Résumé
\(U\cap W\) et \(U+W\) sont toujours des sous-espaces.
\(U\cup W\) n’est généralement pas un sous-espace (sauf si l’un contient l’autre).
Dimension et espaces de dimension infinie
Dimension en pratique : contraintes, degrés de liberté et dimension infinie
Objectif d’apprentissage : calculer des dimensions à partir des paramètres libres ou des contraintes, et reconnaître quand un espace est de dimension infinie.
Idée clé
La dimension compte les « degrés de liberté ». Chaque contrainte linéaire indépendante réduit généralement la dimension de \(1\) (dans un cadre de dimension finie). Par exemple, une seule équation linéaire homogène dans \(\mathbb{R}^3\) définit un sous-espace de dimension 2 (un plan passant par l’origine).
Dimension finie ou infinie
Un espace vectoriel est de dimension finie s’il possède une base finie. S’il n’existe aucune base finie, il est de dimension infinie (par exemple \(P\) = tous les polynômes, ou \(C[0,1]\)). Si un sous-espace \(S\) est de dimension infinie, alors il ne peut pas être engendré par un nombre fini de vecteurs (toute famille génératrice doit être infinie).
Exemple guidé
Exemple : L’ensemble de toutes les matrices triangulaires supérieures \(3\times 3\) est-il un sous-espace de \(M_{3\times 3}(\mathbb{R})\) ? Quelle est sa dimension ?
Les matrices triangulaires supérieures sont stables par addition et multiplication scalaire, et la matrice nulle est triangulaire supérieure : c’est donc un sous-espace. Une matrice triangulaire supérieure \(3\times 3\) a des coefficients libres aux positions \((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\) : cela fait 6 paramètres libres. Sa dimension est donc \(6\).
À vous
À vous 1 : Si \(S\) est un sous-espace de dimension infinie, il doit être :
Indice : dimension infinie signifie qu’aucune liste finie de vecteurs ne peut engendrer l’espace.
À vous 2 : L’ensemble \(\{0\}\) est-il un sous-espace ?
Indice : le vecteur nul seul vérifie le test de sous-espace.
Résumé
Les dimensions comptent les paramètres libres (degrés de liberté).
Dimension infinie signifie qu’il n’existe aucune famille génératrice finie.
Espaces quotients
Espaces quotients \(V/W\) : vecteurs modulo un sous-espace
Objectif d’apprentissage : comprendre les espaces quotients de façon conceptuelle : « considérer comme identiques les vecteurs qui diffèrent d’un élément de \(W\) ».
Idée clé
Soit \(W\) un sous-espace de \(V\). Deux vecteurs \(v\) et \(u\) sont considérés équivalents modulo \(W\) si \[ v-u \in W. \] La classe d’équivalence de \(v\) est la classe \[ v+W = \{v+w : w\in W\}. \] L’espace quotient \(V/W\) est l’ensemble de toutes les classes : \[ V/W = \{v+W : v\in V\}. \]
Comment penser \(V/W\)
On « écrase » tout le sous-espace \(W\) pour qu’il joue le rôle de l’élément nul dans le quotient.
Les vecteurs qui diffèrent d’un élément de \(W\) deviennent le même point dans \(V/W\).
C’est utile pour se concentrer sur les directions « hors de \(W\) » et simplifier la structure.
Exemple guidé
Exemple : Soient \(V=\mathbb{R}^2\) et \(W=\text{span}\{(1,0)\}\) (l’axe des \(x\)). À quoi ressemble \((0,3)+W\) ?
\(W=\{(t,0): t\in\mathbb{R}\}\). Alors \[ (0,3)+W=\{(0,3)+(t,0): t\in\mathbb{R}\}=\{(t,3): t\in\mathbb{R}\}, \] c’est une droite horizontale de hauteur \(y=3\). Dans \(\mathbb{R}^2/W\), tous les points de cette droite représentent la même classe.
À vous
À vous 1 : Quelle description correspond à l’espace quotient \(V/W\) ?
Indice : les éléments de \(V/W\) ne sont pas des vecteurs de \(V\), mais des classes d’équivalence.
À vous 2 : L’intersection de deux sous-espaces de \(\mathbb{R}^n\) peut-elle être le sous-espace nul ?
Indice : par exemple, l’axe des \(x\) et l’axe des \(y\) dans \(\mathbb{R}^2\) ne se coupent qu’en \(0\).
Résumé
\(V/W\) est l’ensemble des classes \(v+W\), c’est-à-dire des vecteurs modulo le sous-espace \(W\).
Les quotients « écrasent » les directions de \(W\) afin de se concentrer sur ce qui reste.
Applications et vue d’ensemble
Pourquoi les espaces vectoriels et les sous-espaces sont importants
Objectif d’apprentissage : relier le point de vue des sous-espaces au reste de l’algèbre linéaire, puis terminer par une dernière vérification.
Où apparaissent les espaces vectoriels et les sous-espaces
Systèmes linéaires : les ensembles de solutions de \(Ax=0\) sont des sous-espaces (noyaux).
Applications linéaires : noyaux et images sont des sous-espaces ; la dimension est liée au rang et à la nullité.
Géométrie : les droites et plans passant par l’origine sont des sous-espaces ; sommes et intersections correspondent à l’intuition géométrique.
Données et ML : les sous-espaces modélisent des structures de petite dimension dans des données de grande dimension (ACP/PCA).
Fonctions : de nombreux espaces de fonctions sont des espaces vectoriels ; des contraintes comme \(f(0)=0\) définissent des sous-espaces.
Exemple guidé : un comptage propre de dimension dans les matrices
Exemple : Calculer \(\dim\{A\in M_{2\times3}(\mathbb{R}):A_{1,\ast}=0\}\).
Une matrice \(2\times 3\) a 6 coefficients. La condition \(A_{1,\ast}=0\) impose que toute la première ligne soit nulle, ce qui fixe 3 coefficients. La deuxième ligne \((a_{21},a_{22},a_{23})\) est libre, ce qui donne 3 degrés de liberté. La dimension est donc \(3\).
À vous
À vous 1 : Quelle est la dimension de l’espace des solutions de \(x + y + z = 0\) dans \(\mathbb{R}^3\) ?
Indice : une équation linéaire homogène dans \(\mathbb{R}^3\) laisse généralement deux paramètres libres.
À vous 2 : Un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n\) qui ne contient pas le vecteur nul peut-il être un sous-espace ?
Indice : l’élément neutre additif doit appartenir à tout espace vectoriel (et donc à tout sous-espace).
Récapitulatif final
Test de sous-espace : vérifier \(0\in U\), la stabilité par addition et la stabilité par multiplication scalaire.
Espace engendré : toutes les combinaisons linéaires ; \(\text{span}(S)\) est toujours un sous-espace.
Base : engendre + est libre ; donne des coordonnées uniques.
Dimension : nombre de vecteurs d’une base ; compte les degrés de liberté.
Opérations : \(U\cap W\) et \(U+W\) sont des sous-espaces ; \(U\cup W\) ne l’est généralement pas.
Quotient : \(V/W\) est formé des classes \(v+W\), c’est-à-dire des vecteurs modulo \(W\).
Prochaine étape : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et révisez la page qui correspond à la compétence sur les espaces vectoriels ou les sous-espaces dont vous avez besoin (test de sous-espace, espace engendré, base/coordonnées, dimension, somme/intersection ou espaces quotients).
Série 5+
Série 10+
Série 15+
Série 20+
Série 25+