सदिश समष्टियाँ और उपसमष्टियाँ अभ्यास प्रश्नोत्तरी, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ
पृष्ठ के ऊपर दिए गए प्रश्नोत्तरी से सदिश समष्टियों और उपसमष्टियों का अभ्यास करें - रैखिक Algebra की नींव: सदिश समष्टि axioms (closure, associativity, distributivity, तत्समक, प्रतिलोम), तेज़ उपसमष्टि परीक्षण (contains \(0\), बंद करेंd under विज्ञापनजोड़ और अदिश गुणा), रैखिक combinations और प्रसार, आधार और आयाम, निर्देशांकs relative to a आधार (परिवर्तन का आधार), मानक उपसमष्टियाँ जैसे शून्य समष्टि और हल समष्टियाँ, योग और प्रतिच्छेद का उपसमष्टियाँ (\(U+W\) और \(U\cap W\)), और भागफल समष्टियाँ \(V/W\) का अर्थ। आप \(\mathbb{R}^n\), मैट्रिक्स समष्टियाँ \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\), बहुपद समष्टियाँ \(P_n\), और \(C[0,1]\) जैसे फलन समष्टियाँ के मुख्य उदाहरण भी देखेंगे। यदि आपको पुनरावृत्ति चाहिए, तो हल उदाहरणों और तेज़ जाँचेंs वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए शुरू करें पाठ पर क्लिक करें।
यह सदिश समष्टि और उपसमष्टि अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए गए सदिश समष्टि, उपसमष्टि, प्रसार, आधार और आयाम प्रश्नों का उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): साफ उदाहरणों के साथ सदिश समष्टि axioms, उपसमष्टि परीक्षण, spans, आधार, निर्देशांकs, आयाम और भागफल समष्टियाँ दोहराएँ।
3. दोबारा प्रयास करें: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और उपसमष्टि परीक्षण तथा आधार/आयाम औज़ार को तुरंत लागू करें।
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर दिए गए प्रश्नोत्तरी पर लौटें और सदिश समष्टियों तथा उपसमष्टियों का अभ्यास जारी रखें।
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सदिश समष्टियाँ & उपसमष्टियाँ
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सदिश समष्टि और उपसमष्टि पाठ
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पाठ अवलोकन
पाठ अवलोकन
उद्देश्य:सदिश समष्टियों और उपसमष्टियों की स्पष्ट समझ बनाना ताकि आप उपसमष्टि परीक्षण उपयोग कर सकें, प्रसार और रैखिक combinations से समुच्चय describe कर सकें, आधार, निर्देशांकs relative to a आधार, और आयाम निकाल सकें, हल समष्टियाँ (शून्य समष्टियाँ) को उपसमष्टियाँ के रूप में पहचान सकें, और cosets के माध्यम से योग, प्रतिच्छेद, और भागफल समष्टियाँ \(V/W\) समझ सकें।
सफलता मानदंड
बताएँ कि सदिश समष्टि क्या है (संक्रियाएँ + axioms) और शून्य सदिश पहचानें।
उपसमष्टि परीक्षण उपयोग करें: \(0\in U\), विज्ञापनजोड़ के तहत closure, और अदिश गुणा के तहत closure verify करें।
किसी समुच्चय को सदिश के प्रसार के रूप में describe करें और रैखिक combinations समझें।
पहचानें कि समजात रैखिक प्रणालीs \(Ax=0\) के हल समष्टियाँ उपसमष्टियाँ होते हैं।
आधार खोजें और व्याख्या करना करें (spanning + रैखिक स्वतंत्रता) और आयाम निकालें।
\(\mathbb{R}^n\) में निर्देशांकs relative to a आधार (परिवर्तन का आधार) निकालें।
उपसमष्टियाँ के योग \(U+W\) और प्रतिच्छेद \(U\cap W\) के साथ काम करें।
भागफल समष्टि \(V/W\) को cosets \(v+W\) के समुच्चय के रूप में समझें।
सामान्य उदाहरण उपयोग करें: \(\mathbb{R}^n\), मैट्रिक्स समष्टियाँ \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\), बहुपद समष्टियाँ \(P_n\), और \(C[0,1]\) जैसे फलन समष्टियाँ।
मुख्य शब्दावली
सदिश समष्टि: समुच्चय \(V\) जिसमें विज्ञापनजोड़ और अदिश गुणा हों और axioms संतुष्ट हों (विज्ञापनditive तत्समक \(0\) सहित)।
उपसमष्टि: subset \(U\subseteq V\), जो inrited संक्रियाएँ के साथ स्वयं सदिश समष्टि हो।
प्रसार: \(\text{span}(S)\), \(S\) के सदिश के सभी रैखिक combinations का समुच्चय है।
आधार: linearly स्वतंत्र समुच्चय जो समष्टि को प्रसार करता है; हर सदिश की unique निर्देशांक representation होती है।
आयाम: सीमित-आयामी सदिश समष्टि के किसी भी आधार में सदिश की संख्या।
Coset / भागफल समष्टि: \(v+W=\{v+w:w\in W\}\); \(V/W\) ऐसे सभी cosets का समुच्चय है।
त्वरित पूर्व-जांच
पूर्व-जांच 1: सदिश समष्टि \(V\) की किसी भी उपसमष्टि में कौन सा सदिश हमेशा मौजूद होता है?
संकेत: उपसमष्टि में विज्ञापनditive तत्समक होना चाहिए।
पूर्व-जांच 2: यदि \(U\) और \(W\), \(V\) की उपसमष्टियाँ हैं, तो \(U \cap W\) के बारे में हमेशा क्या सही है?
संकेत: प्रतिच्छेद के लिए उपसमष्टि परीक्षण जाँचें।
सदिश समष्टियाँ और उपसमष्टियाँ
सदिश समष्टियाँ, उपसमष्टियाँ और उपसमष्टि परीक्षण
सीखने का लक्ष्य: छोटी जाँच-सूची से जल्दी तय करना कि कोई समुच्चय उपसमष्टि है या नहीं, और साझा traps से बचना (लापता \(0\), विज्ञापनजोड़ के तहत बंद करेंd नहीं, अदिश गुणा के तहत बंद करेंd नहीं)।
मुख्य विचार
Field (जैसे \(\mathbb{R}\)) पर सदिश समष्टि \(V\) ऐसा समुच्चय है जिसमें दो संक्रियाएँ होते हैं: सदिश विज्ञापनजोड़ और अदिश गुणा, और मानक axioms संतुष्ट होते हैं (विज्ञापनजोड़ की associativity और commutativity, distributive laws, अदिश तत्समक, विज्ञापनditive तत्समक \(0\), विज्ञापनditive प्रतिलोम, और closure)।
Subset \(U\subseteq V\) उपसमष्टि है यदि वह समान संक्रियाएँ से सदिश समष्टि है। व्यवहार में उपसमष्टि परीक्षण उपयोग करें।
उपसमष्टि परीक्षण
शून्य सदिश: \(0 \in U\)।
बंद करेंd under विज्ञापनजोड़: यदि \(u,v\in U\), तो \(u+v\in U\)।
बंद करेंd under अदिश गुणा: यदि \(u\in U\) और \(c\in \mathbb{R}\), तो \(cu\in U\)।
सामान्य उदाहरण
\(\mathbb{R}^n\) और \(\mathbb{R}^3\) में मूलबिंदु से गुजरने वाला कोई भी तल।
मैट्रिक्स समष्टियाँ जैसे \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\); रैखिक constraints से परिभाषित करेंd समुच्चय अक्सर उपसमष्टियाँ होते हैं।
फलन समष्टियाँ जैसे \(C[0,1]\); रैखिक शर्तें (जैसे \(f(0)=0\)) से परिभाषित करेंd समुच्चय उपसमष्टियाँ होते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: क्या \(U=\{f\in C[0,1]: f(0)=0\}\), \(C[0,1]\) की उपसमष्टि है?
शून्य फलन: \(0(0)=0\), इसलिए \(0\in U\)। यदि \(f(0)=0\) और \(g(0)=0\), तो \((f+g)(0)=f(0)+g(0)=0\), इसलिए \(f+g\in U\)। यदि \(f(0)=0\) और \(c\in\mathbb{R}\), तो \((cf)(0)=c f(0)=0\), इसलिए \(cf\in U\)। अतः \(U\) एक उपसमष्टि है।
खुद कोशिश 2: यदि \(w\), उपसमष्टि \(S\) में है, तो \(-2w\) के बारे में क्या कह सकते हैं?
संकेत: उपसमष्टि field के किसी भी अदिश से गुणा करने के तहत बंद करेंd होती है।
सारांश
उपसमष्टि में \(0\) होना चाहिए और विज्ञापनजोड़ तथा अदिश गुणा के तहत बंद करेंd होना चाहिए।
\(x+y=1\) जैसे समुच्चय आम तौर पर affine (shifted) होते हैं और \(0\in U\) परीक्षण में विफल होना होते हैं।
प्रसार और रैखिक Combinations
रैखिक combinations, प्रसार और उपसमष्टियाँ describe करना
सीखने का लक्ष्य: "all रैखिक combinations" और साफ उपसमष्टि description के बीच अनुवाद करना, और हल समष्टियाँ को उपसमष्टियाँ के रूप में पहचानना।
मुख्य विचार
सदिश \(v_1,\dots,v_k\) का रैखिक combination वह कोई भी सदिश है जिसका रूप \[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \] हो, जहाँ \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\)। प्रसार ऐसे सभी combinations का समुच्चय है: \[ \text{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i\in\mathbb{R}\}. \] प्रसार हमेशा उपसमष्टि होता है।
हल समष्टियाँ उपसमष्टियाँ होते हैं
समजात प्रणाली \(Ax=0\) का हल समुच्चय, \(A\) का शून्य समष्टि है, \[ \mathcal{N}(A)=\{x: Ax=0\}, \] और यह हमेशा \(\mathbb{R}^n\) की उपसमष्टि है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\mathbb{R}^3\) में \(x+y+z=0\) के हल समष्टि की आयाम निकालें।
\(x+y+z=0\) को एक चर को बाकी पद में लिखकर हल करें करें: \(x=-y-z\)। मान लें \(y=s\) और \(z=t\)। फिर \[ (x,y,z)=(-s-t,\, s,\, t)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1). \] हल समष्टि \(\text{span}\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}\) है, जो मूलबिंदु से गुजरने वाला तल है, इसलिए इसकी आयाम \(2\) है।
संकेत: \(Dp=0\) का अर्थ है बहुपद का अवकलज शून्य है।
खुद कोशिश 2: \(\{A\in M_{2\times3}(\mathbb{R}): A_{1,\ast}=0\}\) की आयाम क्या है?
संकेत: \(2\times3\) मैट्रिक्स में 6 प्रविष्टियाँ होती हैं; पूरी पहला पंक्ति को शून्य करने से 3 डिग्री का स्वतंत्रता हटते हैं।
सारांश
\(\text{span}(S)\) हमेशा उपसमष्टि है: इसमें \(0\) है और यह रैखिक combinations के तहत बंद करेंd है।
समजात हल समष्टियाँ (शून्य समष्टियाँ) उपसमष्टियाँ होते हैं और उनकी आयाम मुफ़्त parameters की संख्या के बराबर होती है।
आधार, निर्देशांकs, आयाम
आधार, आधार के सापेक्ष निर्देशांकs, और आयाम
सीखने का लक्ष्य: सदिश को कुशलता से represent करने, निर्देशांकs निकालने, और आधार आकार को आयाम से जोड़ने के लिए आधार उपयोग करना।
मुख्य विचार
समुच्चय \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\), सदिश समष्टि \(V\) का आधार है यदि: (1) यह \(V\) को spans करता है, और (2) यह linearly स्वतंत्र है। जब \(B\) आधार है, तो हर \(v\in V\) को unique रूप से लिखा जा सकता है: \[ v = c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n. \] Scalars \((c_1,\dots,c_n)\), आधार \(B\) के सापेक्ष \(v\) के निर्देशांकs हैं।
आयाम
यदि \(V\) सीमित-आयामी है, तो आयाम \(\dim V\), \(V\) के किसी भी आधार में सदिश की संख्या है। उदाहरण के लिए, \(\dim \mathbb{R}^n = n\), \(\dim P_n = n+1\), और \(\dim M_{m\times n}(\mathbb{R}) = mn\)। यदि \(V\) के पास आकार \(5\) का आधार है, तो \(\dim V = 5\) और \(\dim V^* = 5\) भी।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\mathbb{R}^2\) के आधार \(B=\{(1,0),(1,1)\}\) के सापेक्ष \((2,3)\) के निर्देशांकs क्या हैं?
\((2,3)=a(1,0)+b(1,1)\) लिखें। तब \((2,3)=(a+b,\, b)\), इसलिए \(b=3\) और \(a+b=2\Rightarrow a= -1\)। इसलिए निर्देशांक सदिश है \([\, (2,3)\, ]_B = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\)।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: यदि \(V\) के पास आकार \(5\) का आधार है, तो \(\dim V^*\) (dual समष्टि) क्या है?
संकेत: सीमित-आयामी सदिश समष्टियाँ के लिए, \(\dim V = \dim V^*\)।
संकेत: \(\mathbb{R}^3\) में 2D उपसमष्टि आम तौर पर मूलबिंदु से गुजरने वाला तल होता है, जो समजात रैखिक समीकरण से दिया जाता है।
सारांश
आधार unique निर्देशांक representations देते हैं।
आयाम आधार में सदिश की संख्या है (और सीमित-आयामी \(V\) के लिए \(\dim V^*=\dim V\))।
उपसमष्टि संक्रियाएँ
\(\mathbb{R}^n\) में प्रतिच्छेद, योग, union और साझा उपसमष्टि ज्यामिति
सीखने का लक्ष्य: \(U\cap W\), \(U+W\) के साथ confidently काम करना, और समझना कि \(U\cup W\) आम तौर पर उपसमष्टि क्यों नहीं होता।
Interअनुभाग \(U\cap W\)
यदि \(U\) और \(W\), \(V\) की उपसमष्टियाँ हैं, तो \(U\cap W\), \(V\) की हमेशा उपसमष्टि है। कारण: इसमें \(0\) है और यह विज्ञापनजोड़/अदिश गुणा के तहत बंद करेंd है क्योंकि \(U\) और \(W\) दोनों ऐसे हैं।
योग \(U+W\)
उपसमष्टियाँ का योग है \[ U+W=\{u+w: u\in U,\; w\in W\}. \] यह \(U\) और \(W\) दोनों को contain करने वाली सबसे छोटी उपसमष्टि है।
Union \(U\cup W\)
आम तौर पर, दो उपसमष्टियाँ का union उपसमष्टि नहीं होता। यह केवल विशेष स्थिति में उपसमष्टि होता है जब एक उपसमष्टि दूसरी के अंदर हो: \[ U\cup W \text{ is a subspace } \Longlefत्रिकोणमितीयhtarrow U\subseteq W \text{ or } W\subseteq U. \]
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\mathbb{R}^3\) में \(x\text{–}y\) तल और \(y\text{–}z\) तल का योग \(U+W\) क्या है?
\(x\text{–}y\) तल \(U=\{(x,y,0)\}\) है। \(y\text{–}z\) तल \(W=\{(0,y,z)\}\) है। प्रत्येक से general सदिश जोड़ें: \[ (x,y_1,0)+(0,y_2,z)=(x,\, y_1+y_2,\, z). \] इससे कोई भी \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) मिल सकता है, इसलिए \(U+W=\mathbb{R}^3\)।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\mathbb{R}^3\) में उपसमष्टियाँ \(\{(x,0,0)\}\) और \(\{(0,y,0)\}\) का प्रतिच्छेद क्या है?
संकेत: प्रतिच्छेद में सदिश को दोनों axes पर एक साथ होना चाहिए।
खुद कोशिश 2: दो उपसमष्टियाँ \(U\) और \(W\) का union कब उपसमष्टि भी होता है?
संकेत: यदि कोई भी दूसरी को contain नहीं करता, तो \(u\in U\setminus W\) और \(w\in W\setminus U\) चुनें और विज्ञापनजोड़ closure जाँचें।
सारांश
\(U\cap W\) और \(U+W\) हमेशा उपसमष्टियाँ हैं।
\(U\cup W\) आम तौर पर उपसमष्टि नहीं है (जब तक एक दूसरे को contain न करे)।
आयाम और अनंत-Dimensional समष्टियाँ
आयाम in अभ्यास: constraints, डिग्री का स्वतंत्रता, और अनंत आयाम
सीखने का लक्ष्य: मुफ़्त parameters या constraints से dimensions निकालना, और पहचानना कि समष्टि अनंत-आयामी कब है।
मुख्य विचार
आयाम एक "डिग्री का स्वतंत्रता" गिनती है। हर स्वतंत्र रैखिक constraint सामान्यतः आयाम को \(1\) घटाता है (सीमित-आयामी सेटिंग्स में)। उदाहरण के लिए, \(\mathbb{R}^3\) में एक समजात रैखिक समीकरण 2D उपसमष्टि (मूलबिंदु से गुजरने वाला तल) परिभाषित करें करती है।
सीमित बनाम. अनंत आयाम
सदिश समष्टि सीमित-आयामी है यदि उसका सीमित आधार है। यदि कोई सीमित आधार मौजूद नहीं, तो वह अनंत-आयामी है (उदाहरण: \(P\) = सभी बहुपद, या \(C[0,1]\))। यदि उपसमष्टि \(S\) की अनंत आयाम है, तो उसे finitely many सदिश से प्रसार नहीं किया जा सकता (हर spanning समुच्चय अनंत होना चाहिए)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: क्या सभी upper-त्रिभुजीय \(3\times 3\) आव्यूह का समुच्चय, \(M_{3\times 3}(\mathbb{R})\) की उपसमष्टि है? इसकी आयाम क्या है?
Upper-त्रिभुजीय आव्यूह विज्ञापनजोड़ और अदिश गुणा के तहत बंद करेंd हैं, और शून्य मैट्रिक्स upper-त्रिभुजीय है, इसलिए यह उपसमष्टि है। Upper-त्रिभुजीय \(3\times 3\) मैट्रिक्स में positions \((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\) मुफ़्त हैं: यानी 6 मुफ़्त parameters। इसलिए आयाम \(6\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: यदि \(S\) अनंत आयाम की उपसमष्टि है, तो यह अवश्य:
संकेत: अनंत-आयामी का अर्थ है कि सदिश की कोई सीमित list समष्टि को प्रसार नहीं कर सकती।
खुद कोशिश 2: क्या समुच्चय \(\{0\}\) उपसमष्टि है?
संकेत: केवल शून्य सदिश उपसमष्टि परीक्षण संतुष्ट करता है।
सारांश
Dimensions मुफ़्त parameters (डिग्री का स्वतंत्रता) गिनती हैं।
अनंत-आयामी का अर्थ है कि कोई सीमित spanning समुच्चय मौजूद नहीं।
भागफल समष्टियाँ
भागफल समष्टियाँ \(V/W\): सदिश modulo a उपसमष्टि
सीखने का लक्ष्य: भागफल समष्टियाँ को conceptually समझना: "\(W\) से अलग होने वाले सदिश को समान मानना"।
मुख्य विचार
मान लें \(W\), \(V\) की उपसमष्टि है। दो सदिश \(v\) और \(u\) को modulo \(W\) समतुल्य माना जाता है यदि \[ v-u \in W. \] \(v\) की equivalence class coset है \[ v+W = \{v+w : w\in W\}. \] भागफल समष्टि \(V/W\) सभी cosets का समुच्चय है: \[ V/W = \{v+W : v\in V\}. \]
\(V/W\) के बारे में कैसे सोचें
आप पूरी उपसमष्टि \(W\) को भागफल में शून्य element की तरह "collapse" कर देते हैं।
जो सदिश \(W\) के किसी element से अलग हैं, वे \(V/W\) में समान बिंदु बन जाते हैं।
यह "\(W\) में नहीं" वाली directions पर ध्यान देने और संरचना सरल करने में उपयोगी है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(V=\mathbb{R}^2\) और \(W=\text{span}\{(1,0)\}\) (\(x\)-अक्ष)। \((0,3)+W\) कैसा दिखता है?
\(W=\{(t,0): t\in\mathbb{R}\}\)। तब \[ (0,3)+W=\{(0,3)+(t,0): t\in\mathbb{R}\}=\{(t,3): t\in\mathbb{R}\}, \] जो ऊँचाई \(y=3\) पर क्षैतिज रेखा है। \(\mathbb{R}^2/W\) में उस रेखा के सभी बिंदु समान coset को represent करते हैं।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: भागफल समष्टि \(V/W\) को कौन सा वर्णन करता है?
संकेत: \(V/W\) के elements \(V\) के सदिश नहीं बल्कि equivalence classes (cosets) हैं।
खुद कोशिश 2: क्या \(\mathbb{R}^n\) में दो उपसमष्टियाँ का प्रतिच्छेद शून्य उपसमष्टि हो सकता है?
संकेत: उदाहरण के लिए, \(\mathbb{R}^2\) में \(x\)-अक्ष और \(y\)-अक्ष केवल \(0\) पर प्रतिच्छेद करें करते हैं।
सारांश
\(V/W\), cosets \(v+W\) का समुच्चय है, यानी सदिश modulo उपसमष्टि \(W\)।
द्विघातotients \(W\) की directions को "collapse" करते हैं ताकि आप बाकी भाग पर ध्यान दे सकें।
अनुप्रयोग और बड़ी तस्वीर
सदिश समष्टियाँ और उपसमष्टियाँ क्यों मायने रखती हैं
सीखने का लक्ष्य: उपसमष्टि viewpoint को रैखिक बीजगणित के बाकी हिस्से से जोड़ना और अंतिम जांच पूरी करना।
सदिश समष्टियाँ और उपसमष्टियाँ कहाँ दिखाई देती हैं
रैखिक प्रणालीs: \(Ax=0\) के हल समुच्चय उपसमष्टियाँ (शून्य समष्टियाँ) होते हैं।
रैखिक रूपांतरण: kernels और images उपसमष्टियाँ हैं; आयाम रैंक और शून्यity से संबंधित है।
ज्यामिति: मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ/समतल उपसमष्टियाँ हैं; योग और प्रतिच्छेद ज्यामितीय intuition से मेल खाते हैं।
डेटा और ML: उपसमष्टियाँ high-आयामी डेटा के अंदर low-आयामी संरचना मॉडल करती हैं (PCA)।
फलन: फलन के कई समष्टियाँ सदिश समष्टियाँ हैं; \(f(0)=0\) जैसी constraints उपसमष्टियाँ परिभाषित करें करती हैं।
\(2\times 3\) मैट्रिक्स में 6 प्रविष्टियाँ होती हैं। शर्त \(A_{1,\ast}=0\) पूरी पहला पंक्ति को शून्य बनाती है, जिससे 3 प्रविष्टियाँ fixed हो जाती हैं। दूसरी पंक्ति \((a_{21},a_{22},a_{23})\) मुफ़्त है, जिससे 3 डिग्री का स्वतंत्रता मिलते हैं। इसलिए आयाम \(3\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\mathbb{R}^3\) में \(x + y + z = 0\) के हल समष्टि की आयाम क्या है?
संकेत: \(\mathbb{R}^3\) में एक समजात रैखिक समीकरण आम तौर पर दो मुफ़्त parameters छोड़ती है।
खुद कोशिश 2: यदि \(\mathbb{R}^n\) का कोई subset शून्य सदिश शामिल नहीं करता, तो क्या वह उपसमष्टि है?
संकेत: विज्ञापनditive तत्समक हर सदिश समष्टि (और इसलिए हर उपसमष्टि) में होना चाहिए।
अंतिम सारांश
उपसमष्टि परीक्षण: \(0\in U\), विज्ञापनजोड़ के तहत closure, अदिश गुणा के तहत closure जाँचें।
प्रसार: सभी रैखिक combinations; \(\text{span}(S)\) हमेशा उपसमष्टि है।
आधार: spans + स्वतंत्र; unique निर्देशांकs देता है।
आयाम: आधार सदिश की संख्या; डिग्री का स्वतंत्रता गिनता है।
संक्रियाएँ: \(U\cap W\) और \(U+W\) उपसमष्टियाँ हैं; \(U\cup W\) आम तौर पर नहीं।
भागफल: \(V/W\), cosets \(v+W\) है, यानी सदिश modulo \(W\)।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आज़माएँ। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक दोबारा खोलें और जिस सदिश समष्टि या उपसमष्टि कौशल की ज़रूरत हो, वह पृष्ठ दोहराएँ (उपसमष्टि परीक्षण, प्रसार, आधार/निर्देशांकs, आयाम, योग/प्रतिच्छेद, या भागफल समष्टियाँ)।
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