Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Ruang Vektor dan Subruang - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Masuk untuk menyimpan rentetan terbaik Anda.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+
Kuis Latihan Ruang Vektor & Subruang dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih ruang vektor dan subruang - fondasi Aljabar linear: aksioma ruang vektor (ketertutupan, asosiativitas, distributivitas, identitas, invers), uji subruang cepat (memuat \(0\), tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar), kombinasi linear dan span, basis dan dimensi, koordinat relatif terhadap basis (perubahan basis), subruang standar seperti null space dan ruang solusi, jumlah dan irisan subruang (\(U+W\) dan \(U\cap W\)), serta makna ruang hasil bagi \(V/W\). Anda juga akan melihat contoh penting dalam \(\mathbb@@P24@@^n\), ruang matriks \(M_{m\times n}(\mathbb@@P25@@)\), ruang polinom \(P_n\), dan ruang fungsi seperti \(C[0,1]\). Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Cara kerja latihan ruang vektor dan subruang ini
- 1. Kerjakan kuis: jawab soal ruang vektor, subruang, span, basis, dan dimensi di awal halaman.
- 2. Buka pelajaran (opsional): tinjau aksioma ruang vektor, uji subruang, span, basis, koordinat, dimensi, dan ruang hasil bagi dengan contoh jelas.
- 3. Coba lagi: kembali ke kuis dan langsung terapkan uji subruang serta alat basis/dimensi.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran ruang vektor & subruang
Ruang vektor & uji subruang
- Definisi ruang vektor: operasi + aksioma (termasuk identitas aditif \(0\))
- Uji subruang: \(0\in U\), tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar
- Contoh klasik: \(\mathbb@@P0@@^n\), \(P_n\), \(M_{m\times n}(\mathbb@@P1@@)\), \(C[0,1]\)
Span, kombinasi linear, dan ruang solusi
- Span sebagai semua kombinasi linear: \(\text@@P2@@\{v_1,\dots,v_k\}\)
- Ruang solusi dari sistem homogen \(Ax=0\) adalah subruang
- Null space dan column space sebagai subruang inti dalam aljabar linear
Basis, koordinat, dan dimensi
- Basis: membentang + bebas linear
- Koordinat relatif terhadap basis (perhitungan perubahan basis)
- Dimensi: ukuran basis; hitung dimensi subruang umum
Operasi subruang & ruang hasil bagi
- Irisan \(U\cap W\) selalu merupakan subruang
- Jumlah \(U+W\) adalah subruang terkecil yang memuat \(U\) dan \(W\)
- Ruang hasil bagi \(V/W\): vektor modulo subruang \(W\) (koset)
Kembali ke kuis
Saat Anda siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih ruang vektor dan subruang.
& Subruang
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang ruang vektor dan subruang agar Anda dapat memakai uji subruang, mendeskripsikan himpunan memakai span dan kombinasi linear, menghitung basis, koordinat relatif terhadap basis, dan dimensi, mengenali ruang solusi (null space) sebagai subruang, serta memahami jumlah, irisan, dan ruang hasil bagi \(V/W\) melalui koset.
Kriteria keberhasilan
- Nyatakan apa itu ruang vektor (operasi + aksioma) dan identifikasi vektor nol.
- Gunakan uji subruang: verifikasi \(0\in U\), tertutup terhadap penjumlahan, dan tertutup terhadap perkalian skalar.
- Deskripsikan himpunan sebagai span vektor dan tafsirkan kombinasi linear.
- Kenali bahwa ruang solusi dari sistem linear homogen \(Ax=0\) adalah subruang.
- Temukan dan tafsirkan basis (membentang + bebas linear) dan hitung dimensi.
- Hitung koordinat relatif terhadap basis (perubahan basis dalam \(\mathbb@@P42@@^n\)).
- Bekerja dengan jumlah \(U+W\) dan irisan \(U\cap W\) dari subruang.
- Tafsirkan ruang hasil bagi \(V/W\) sebagai himpunan koset \(v+W\).
- Gunakan contoh umum: \(\mathbb@@P43@@^n\), ruang matriks \(M_{m\times n}(\mathbb@@P44@@)\), ruang polinom \(P_n\), dan ruang fungsi seperti \(C[0,1]\).
Kosakata kunci
- Ruang vektor: himpunan \(V\) dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang memenuhi aksioma (termasuk identitas aditif \(0\)).
- Subruang: subset \(U\subseteq V\) yang merupakan ruang vektor dengan operasi yang diwarisi.
- Span: \(\text@@P24@@(S)\) adalah himpunan semua kombinasi linear vektor dalam \(S\).
- Basis: himpunan bebas linear yang membentang ruang; setiap vektor memiliki representasi koordinat unik.
- Dimensi: jumlah vektor dalam basis apa pun dari ruang vektor berdimensi hingga.
- Koset / ruang hasil bagi: \(v+W=\{v+w:w\in W\}\); \(V/W\) adalah himpunan semua koset seperti itu.
Cek awal cepat
Ruang vektor, subruang, dan uji subruang
Tujuan pembelajaran: Tentukan dengan cepat apakah suatu himpunan adalah subruang memakai daftar periksa kecil, dan hindari jebakan umum (tidak memuat \(0\), tidak tertutup terhadap penjumlahan, tidak tertutup terhadap perkalian skalar).
Ide utama
Ruang vektor \(V\) atas suatu field (seperti \(\mathbb@@P2@@\)) adalah himpunan dengan dua operasi: penjumlahan vektor dan perkalian skalar, yang memenuhi aksioma standar (asosiativitas, komutativitas penjumlahan, hukum distributif, identitas skalar, identitas aditif \(0\), invers aditif, dan ketertutupan).
Subset \(U\subseteq V\) adalah subruang jika ia merupakan ruang vektor memakai operasi yang sama. Dalam praktik, gunakan uji subruang.
Uji subruang
- Vektor nol: \(0 \in U\).
- Tertutup terhadap penjumlahan: jika \(u,v\in U\), maka \(u+v\in U\).
- Tertutup terhadap perkalian skalar: jika \(u\in U\) dan \(c\in \mathbb@@P12@@\), maka \(cu\in U\).
Contoh umum
- \(\mathbb@@P6@@^n\) dan setiap bidang melalui titik asal di \(\mathbb@@P7@@^3\).
- Ruang matriks seperti \(M_{m\times n}(\mathbb@@P8@@)\); himpunan yang didefinisikan oleh kendala linear sering merupakan subruang.
- Ruang fungsi seperti \(C[0,1]\); himpunan yang didefinisikan oleh syarat linear (misalnya \(f(0)=0\)) adalah subruang.
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah \(U=\{f\in C[0,1]: f(0)=0\}\) subruang dari \(C[0,1]\)?
Fungsi nol: \(0(0)=0\), jadi \(0\in U\). Jika \(f(0)=0\) dan \(g(0)=0\), maka \((f+g)(0)=f(0)+g(0)=0\), jadi \(f+g\in U\). Jika \(f(0)=0\) dan \(c\in\mathbb@@P2@@\), maka \((cf)(0)=c f(0)=0\), jadi \(cf\in U\). Karena itu \(U\) adalah subruang.
Coba
Ringkasan
- Subruang harus memuat \(0\) dan tertutup terhadap penjumlahan serta perkalian skalar.
- Himpunan seperti \(x+y=1\) biasanya afin (tergeser) dan gagal uji \(0\in U\).
Kombinasi linear, span, dan mendeskripsikan subruang
Tujuan pembelajaran: Terjemahkan antara “semua kombinasi linear” dan deskripsi subruang yang rapi, serta kenali ruang solusi sebagai subruang.
Ide utama
Kombinasi linear dari vektor \(v_1,\dots,v_k\) adalah setiap vektor berbentuk \[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \] dengan \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb@@P4@@\). Span adalah himpunan semua kombinasi seperti itu: \[ \text@@P5@@\{v_1,\dots,v_k\}=\{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i\in\mathbb@@P6@@\}. \] Span selalu merupakan subruang.
Ruang solusi adalah subruang
Himpunan solusi dari sistem homogen \(Ax=0\) adalah null space dari \(A\), \[ \mathcal@@P4@@(A)=\{x: Ax=0\}, \] dan selalu merupakan subruang dari \(\mathbb@@P5@@^n\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari dimensi ruang solusi dari \(x+y+z=0\) di \(\mathbb@@P2@@^3\).
Selesaikan \(x+y+z=0\) dengan menuliskan satu variabel dalam variabel lain: \(x=-y-z\). Misalkan \(y=s\) dan \(z=t\). Maka \[ (x,y,z)=(-s-t,\, s,\, t)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1). \] Ruang solusinya adalah \(\text@@P2@@\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}\), yaitu bidang melalui titik asal, sehingga dimensinya \(2\).
Coba
Ringkasan
- \(\text@@P4@@(S)\) selalu merupakan subruang: memuat \(0\) dan tertutup terhadap kombinasi linear.
- Ruang solusi homogen (null space) adalah subruang dan dimensinya sama dengan jumlah parameter bebas.
Basis, koordinat relatif terhadap basis, dan dimensi
Tujuan pembelajaran: Gunakan basis untuk merepresentasikan vektor secara efisien, menghitung koordinat, dan menghubungkan ukuran basis dengan dimensi.
Ide utama
Himpunan \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) adalah basis untuk ruang vektor \(V\) jika: (1) ia membentang \(V\), dan (2) ia bebas linear. Jika \(B\) adalah basis, setiap \(v\in V\) dapat ditulis secara unik sebagai \[ v = c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n. \] Skalar \((c_1,\dots,c_n)\) adalah koordinat \(v\) relatif terhadap basis \(B\).
Dimensi
Jika \(V\) berdimensi hingga, dimensi \(\dim V\) adalah jumlah vektor dalam basis apa pun dari \(V\). Contoh, \(\dim \mathbb@@P2@@^n = n\), \(\dim P_n = n+1\), dan \(\dim M_{m\times n}(\mathbb@@P3@@) = mn\). Jika \(V\) memiliki basis berukuran \(5\), maka \(\dim V = 5\) dan \(\dim V^* = 5\) juga.
Contoh dikerjakan
Contoh: Relatif terhadap basis \(B=\{(1,0),(1,1)\}\) dari \(\mathbb@@P2@@^2\), apa koordinat dari \((2,3)\)?
Tulis \((2,3)=a(1,0)+b(1,1)\). Maka \((2,3)=(a+b,\, b)\), sehingga \(b=3\) dan \(a+b=2\Rightarrow a= -1\). Jadi vektor koordinatnya adalah \([\, (2,3)\, ]_B = \begin@@P0@@-1\\3\end@@P1@@\).
Coba
Ringkasan
- Basis memberi representasi koordinat yang unik.
- Dimensi sama dengan jumlah vektor dalam basis (dan \(\dim V^*=\dim V\) untuk \(V\) berdimensi hingga).
Irisan, jumlah, gabungan, dan geometri subruang umum di \(\mathbb@@P0@@^n\)
Tujuan pembelajaran: Bekerja dengan percaya diri pada \(U\cap W\), \(U+W\), dan pahami mengapa \(U\cup W\) biasanya bukan subruang.
Irisan \(U\cap W\)
Jika \(U\) dan \(W\) adalah subruang dari \(V\), maka \(U\cap W\) selalu merupakan subruang dari \(V\). Alasannya: ia memuat \(0\) dan tertutup terhadap penjumlahan/perkalian skalar karena \(U\) dan \(W\) keduanya demikian.
Jumlah \(U+W\)
Jumlah subruang adalah \[ U+W=\{u+w: u\in U,\; w\in W\}. \] Ini adalah subruang terkecil yang memuat keduanya \(U\) dan \(W\).
Gabungan \(U\cup W\)
Secara umum, gabungan dua subruang bukan subruang. Ia hanya menjadi subruang dalam kasus khusus ketika salah satu subruang memuat yang lain: \[ U\cup W \text{ is a subspace } \Longleftrightarrow U\subseteq W \text{ or } W\subseteq U. \]
Contoh dikerjakan
Contoh: Apa jumlah \(U+W\) dari bidang \(x\text@@P2@@y\) dan bidang \(y\text@@P3@@z\) di \(\mathbb@@P4@@^3\)?
Bidang \(x\text@@P0@@y\) adalah \(U=\{(x,y,0)\}\). Bidang \(y\text@@P1@@z\) adalah \(W=\{(0,y,z)\}\). Jumlahkan vektor umum dari masing-masing: \[ (x,y_1,0)+(0,y_2,z)=(x,\, y_1+y_2,\, z). \] Ini dapat menghasilkan setiap \((x,y,z)\in\mathbb@@P2@@^3\), jadi \(U+W=\mathbb@@P3@@^3\).
Coba
Ringkasan
- \(U\cap W\) dan \(U+W\) selalu merupakan subruang.
- \(U\cup W\) biasanya bukan subruang (kecuali salah satu memuat yang lain).
Dimensi dalam praktik: kendala, derajat kebebasan, dan dimensi tak hingga
Tujuan pembelajaran: Hitung dimensi dari parameter bebas atau kendala, dan kenali kapan suatu ruang berdimensi tak hingga.
Ide utama
Dimensi adalah hitungan “derajat kebebasan”. Setiap kendala linear independen biasanya mengurangi dimensi sebesar \(1\) (dalam konteks berdimensi hingga). Contoh, satu persamaan linear homogen di \(\mathbb@@P2@@^3\) mendefinisikan subruang 2D (bidang melalui titik asal).
Dimensi hingga vs tak hingga
Ruang vektor berdimensi hingga jika memiliki basis hingga. Jika tidak ada basis hingga, ruang itu berdimensi tak hingga (misalnya, \(P\) = semua polinom, atau \(C[0,1]\)). Jika subruang \(S\) berdimensi tak hingga, maka ia tidak dapat dibentang oleh sejumlah vektor hingga (setiap himpunan pembentang harus tak hingga).
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah himpunan semua matriks segitiga atas \(3\times 3\) subruang dari \(M_{3\times 3}(\mathbb@@P2@@)\)? Berapa dimensinya?
Matriks segitiga atas tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, dan matriks nol adalah segitiga atas, jadi ini subruang. Matriks segitiga atas \(3\times 3\) memiliki entri bebas pada posisi \((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\): ada 6 parameter bebas. Jadi dimensinya \(6\).
Coba
Ringkasan
- Dimensi menghitung parameter bebas (derajat kebebasan).
- Berdimensi tak hingga berarti tidak ada himpunan pembentang hingga.
Ruang hasil bagi \(V/W\): vektor modulo subruang
Tujuan pembelajaran: Pahami ruang hasil bagi secara konseptual: “anggap vektor yang berbeda oleh sesuatu dalam \(W\) sebagai sama.”
Ide utama
Misalkan \(W\) subruang dari \(V\). Dua vektor \(v\) dan \(u\) dianggap ekuivalen modulo \(W\) jika \[ v-u \in W. \] Kelas ekuivalensi dari \(v\) adalah koset \[ v+W = \{v+w : w\in W\}. \] Ruang hasil bagi \(V/W\) adalah himpunan semua koset: \[ V/W = \{v+W : v\in V\}. \]
Cara memikirkan \(V/W\)
- Anda “meruntuhkan” seluruh subruang \(W\) agar bertindak seperti elemen nol dalam hasil bagi.
- Vektor yang berbeda oleh elemen \(W\) menjadi titik yang sama dalam \(V/W\).
- Ini berguna untuk fokus pada arah yang “tidak berada dalam \(W\)” dan menyederhanakan struktur.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(V=\mathbb@@P2@@^2\) dan \(W=\text@@P3@@\{(1,0)\}\) (sumbu-\(x\)). Seperti apa \((0,3)+W\)?
\(W=\{(t,0): t\in\mathbb@@P0@@\}\). Maka \[ (0,3)+W=\{(0,3)+(t,0): t\in\mathbb@@P1@@\}=\{(t,3): t\in\mathbb@@P2@@\}, \] yaitu garis horizontal pada tinggi \(y=3\). Dalam \(\mathbb\[ (0,3)+W=\{(0,3)+(t,0): t\in\mathbb@@P1@@\}=\{(t,3): t\in\mathbb@@P2@@\}, \]^2/W\), semua titik pada garis itu merepresentasikan koset yang sama.
Coba
Ringkasan
- \(V/W\) adalah himpunan koset \(v+W\), yaitu vektor modulo subruang \(W\).
- Hasil bagi “meruntuhkan” arah dalam \(W\) sehingga Anda fokus pada yang tersisa.
Mengapa ruang vektor dan subruang penting
Tujuan pembelajaran: Hubungkan sudut pandang subruang dengan bagian lain aljabar linear - dan akhiri dengan cek final.
Di mana ruang vektor dan subruang muncul
- Sistem linear: himpunan solusi \(Ax=0\) adalah subruang (null space).
- Transformasi linear: kernel dan image adalah subruang; dimensi berkaitan dengan rank dan nullity.
- Geometri: garis/bidang melalui titik asal adalah subruang; jumlah dan irisan sesuai intuisi geometri.
- Data dan ML: subruang memodelkan struktur berdimensi rendah dalam data berdimensi tinggi (PCA).
- Fungsi: banyak ruang fungsi adalah ruang vektor; kendala seperti \(f(0)=0\) mendefinisikan subruang.
Contoh dikerjakan: hitungan dimensi rapi dalam matriks
Contoh: Hitung \(\dim\{A\in M_{2\times3}(\mathbb@@P2@@):A_{1,\ast}=0\}\).
Matriks \(2\times 3\) memiliki 6 entri. Syarat \(A_{1,\ast}=0\) memaksa seluruh baris pertama nol, sehingga menetapkan 3 entri. Baris kedua \((a_@@P0@@,a_@@P1@@,a_@@P2@@)\) bebas, memberi 3 derajat kebebasan. Jadi dimensinya \(3\).
Coba
Rekap akhir
- Uji subruang: cek \(0\in U\), tertutup terhadap penjumlahan, tertutup terhadap perkalian skalar.
- Span: semua kombinasi linear; \(\text@@P24@@(S)\) selalu merupakan subruang.
- Basis: membentang + independen; memberi koordinat unik.
- Dimensi: jumlah vektor basis; menghitung derajat kebebasan.
- Operasi: \(U\cap W\) dan \(U+W\) adalah subruang; \(U\cup W\) biasanya bukan.
- Hasil bagi: \(V/W\) adalah koset \(v+W\), yaitu vektor modulo \(W\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan ruang vektor atau subruang yang Anda butuhkan (uji subruang, span, basis/koordinat, dimensi, jumlah/irisan, atau ruang hasil bagi).