Cuestionario de práctica de aplicaciones de integrales con una lección interactiva paso a paso

Área bajo una curva y significado de una integral definida

Idea clave

La integral definida \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) mide acumulación neta en \([a,b]\). Geométricamente, es el área con signo entre la gráfica de \(y=f(x)\) y el eje \(x\):

• El área sobre el eje \(x\) cuenta como positiva.
• El área bajo el eje \(x\) cuenta como negativa.

Si \(f(x)\ge 0\) en \([a,b]\), entonces la integral es el área usual (positiva): \[ A=\int_a^b f(x)\,dx. \] Si la gráfica cruza el eje y quieres área total, divide el intervalo en los ceros de \(f\) y suma las áreas absolutas.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(\int_a^b f(x)\,dx\) es área/acumulación neta (con signo) en \([a,b]\).
• Si \(f(x)\ge 0\), coincide con el área geométrica bajo la curva.

Área entre curvas: arriba menos abajo, con límites correctos

Idea clave

Para encontrar el área encerrada entre dos curvas \(y=f(x)\) y \(y=g(x)\) en \([a,b]\), bosqueja o compara valores para decidir cuál está arriba. Luego usa: \[ A=\int_a^b \bigl(\text{arriba} - \text{abajo}\bigr)\,dx. \] La parte más difícil suele ser elegir los límites correctos \(a\) y \(b\). Normalmente se encuentran resolviendo \(f(x)=g(x)\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• El área entre curvas usa \(\int(\text{arriba}-\text{abajo})\,dx\) en los límites correctos de intersección.
• Un bosquejo (aunque sea rápido) ayuda a elegir arriba/abajo y evitar errores de signo.

Volúmenes de revolución: método de discos y método de arandelas

Idea clave

Cuando una región rota alrededor de un eje, las secciones transversales perpendiculares a ese eje son círculos. Si rotas una región alrededor del eje \(x\), el radio es una distancia vertical desde la curva hasta el eje:

• Método de discos (sin hueco): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx\)
• Método de arandelas (con hueco): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\)

Lista confiable:

• Bosqueja la región y el eje de rotación.
• Escribe \(R(x)\) (radio externo) y \(r(x)\) (radio interno) como distancias al eje.
• Eleva radios al cuadrado, resta si es necesario, multiplica por \(\pi\) e integra en los límites correctos.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Disco: \(V=\pi\int R^2\). Arandela: \(V=\pi\int(R^2-r^2)\).
• Define siempre los radios como distancias al eje de rotación.

Volumen con cascarones cilíndricos: \(2\pi\int (\text{radio})(\text{altura})\)

Idea clave

El método de cascarones usa cascarones cilíndricos en lugar de discos. Un planteo típico (rotando alrededor del eje \(y\) con rebanadas verticales) es: \[ V=2\pi\int_a^b (\text{radio})(\text{altura})\,dx. \] Para cascarones alrededor del eje \(y\):

• radio \(=x\) (distancia desde la rebanada en \(x\) hasta el eje \(y\)),
• altura \(=\text{arriba}-\text{abajo}\) (longitud vertical de la región en ese \(x\)).

Los cascarones suelen ser mejores al rotar alrededor del eje \(y\) pero tus funciones están escritas como \(y=f(x)\), porque las arandelas podrían requerir reescribir en términos de \(x\) como función de \(y\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Cascarones: \(V=2\pi\int (\text{radio})(\text{altura})\).
• Elige cascarones cuando te permitan mantener el problema en \(x\) (o en \(y\)) sin despejar la otra variable.

Área de superficie de una superficie de revolución

Idea clave

Cuando rotas una curva \(y=f(x)\) alrededor del eje \(x\), generas una superficie. El área de superficie se encuentra combinando circunferencia \(2\pi f(x)\) con un factor de longitud de arco: \[ S=2\pi\int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] (suponiendo \(f(x)\ge 0\) en \([a,b]\)).

Para rotación alrededor del eje \(y\), una forma común es: \[ S=2\pi\int_{a}^{b} x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] al rotar \(y=f(x)\) alrededor del eje \(y\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• El área de superficie usa circunferencia \(\times\) longitud de arco: \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).
• El factor de raíz cuadrada viene de convertir \(dx\) en una pequeña longitud de curva \(ds\).

Errores comunes: límites equivocados, "arriba" equivocado y radio equivocado

Idea clave

La mayoría de errores en aplicaciones de integrales no son errores de álgebra, sino errores de planteo. Usa esta lista antes de integrar:

• Dibuja un bosquejo rápido. Identifica la región y el eje de rotación.
• Encuentra límites. Usa el intervalo dado o resuelve intersecciones como \(f(x)=g(x)\).
• Elige un método. Discos/arandelas para rebanadas perpendiculares; cascarones para rebanadas paralelas.
• Escribe radio/altura como distancias. Si rotas alrededor de \(y=c\), el radio es \(|f(x)-c|\).
• Revisa unidades. Área \(\to\) unidades cuadradas, volumen \(\to\) unidades cúbicas.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• La mayoría de errores son de planteo: límites, arriba/abajo y definiciones de radio.
• Usa un bosquejo + radio/altura como distancias para que tus integrales sean correctas.

Por qué importan las aplicaciones de integrales

Dónde aparecen las aplicaciones de integrales

• Geometría: áreas, volúmenes y áreas de superficie exactos difíciles de obtener solo con fórmulas.
• Física: trabajo, presión de fluidos, masa con densidad variable y centros de masa.
• Ingeniería: volúmenes y áreas de superficie para diseño y uso de materiales.
• Economía: cambio acumulado y valor total a partir de funciones marginales.

Ejemplo resuelto: un "patrón" limpio que puedes reutilizar

Inténtalo

Repaso final

• Área bajo una curva: \(A=\int_a^b f(x)\,dx\) cuando \(f(x)\ge 0\).
• Área entre curvas: \(A=\int_a^b(\text{arriba}-\text{abajo})\,dx\).
• Volumen por discos/arandelas: \(V=\pi\int R^2\,dx\) o \(V=\pi\int(R^2-r^2)\,dx\).
• Volumen por cascarones: \(V=2\pi\int (\text{radio})(\text{altura})\,dx\) (o \(dy\)).
• Área de superficie: \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\) (alrededor del eje \(x\)).
• Planteo primero: bosquejo, límites, distancias, luego integra.