समाकल अनुप्रयोग अभ्यास क्विज़

निश्चित समाकल का क्षेत्रफल अर्थ

मुख्य विचार

\(\int_a^b f(x)dx\) अंतराल \([a,b]\) पर शुद्ध संचय या चिह्नित क्षेत्रफल मापता है।

• \(x\)-अक्ष के ऊपर क्षेत्रफल धनात्मक गिना जाता है।
• \(x\)-अक्ष के नीचे क्षेत्रफल ऋणात्मक गिना जाता है।

कुल क्षेत्रफल चाहिए तो शून्य पर अंतराल तोड़ें और निरपेक्ष क्षेत्रफल जोड़ें।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

सारांश

• निश्चित समाकल शुद्ध चिह्नित क्षेत्रफल देता है।
• अऋणात्मक फलन में यह ज्यामितीय क्षेत्रफल है।

ऊपर घटा नीचे और सही सीमाएँ

मुख्य विचार

दो वक्र \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) के बीच क्षेत्रफल है \(A=\int_a^b(\text{ऊपर}-\text{नीचे})dx\)। सीमाएँ अक्सर \(f(x)=g(x)\) हल करके मिलती हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

सारांश

• वक्रों के बीच क्षेत्रफल में ऊपर-नीचे करें।
• रेखाचित्र से चिह्न-गलतियाँ कम होती हैं।

घूर्णन ठोसों का आयतन

मुख्य विचार

क्षेत्र को अक्ष के चारों ओर घुमाने पर लंबवत अनुप्रस्थ काट वृत्त बनते हैं।

• डिस्क: \(V=\pi\int_a^b R(x)^2dx\)
• वॉशर: \(V=\pi\int_a^b(R(x)^2-r(x)^2)dx\)

विश्वसनीय जाँच-सूची:

• क्षेत्र और अक्ष का रेखाचित्र बनाएँ।
• बाहरी और आंतरिक त्रिज्या दूरी के रूप में लिखें।
• वर्ग करें, जरूरत हो तो घटाएँ, \(\pi\) से गुणा करें और समाकलित करें।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

सारांश

• डिस्क: \(V=\pi\int R^2\)।
• वॉशर: \(V=\pi\int(R^2-r^2)\)।

बेलनाकार शेल: \(2\pi\int(\text{त्रिज्या})(\text{ऊँचाई})\)

मुख्य विचार

शेल विधि में \(V=2\pi\int_a^b(\text{त्रिज्या})(\text{ऊँचाई})dx\)। \(y\)-अक्ष के चारों ओर ऊर्ध्वाधर पट्टियों में त्रिज्या \(x\) होता है।

• त्रिज्या: पट्टी से अक्ष तक दूरी।
• ऊँचाई: ऊपर-नीचे या दाएँ-बाएँ लंबाई।

जब वॉशर के लिए \(x\) को \(y\) के रूप में हल करना पड़े, तो शेल अक्सर आसान होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

सारांश

• शेल: \(V=2\pi\int त्रिज्या\cdot ऊँचाई\)।
• त्रिज्या हमेशा अक्ष तक दूरी है।

घुमाने से बनी सतह का क्षेत्रफल

मुख्य विचार

\(y=f(x)\) को \(x\)-अक्ष के चारों ओर घुमाने पर \(S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}dx\)।

\(y\)-अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए सामान्य रूप \(S=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}dx\) है।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

सारांश

• पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिधि \(\times\) चाप लंबाई।
• वर्ग-मूल गुणनखंड वक्र लंबाई से आता है।

गलत सीमाएँ, गलत ऊपर वाला वक्र और गलत त्रिज्या

मुख्य विचार

अधिकतर गलतियाँ समाकलन में नहीं, स्थापना में होती हैं।

• त्वरित रेखाचित्र बनाएँ।
• सीमाएँ खोजें।
• विधि चुनें: डिस्क/वॉशर या शेल।
• त्रिज्या और ऊँचाई को दूरी के रूप में लिखें।
• इकाइयाँ जाँचें।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

सारांश

• स्थापना त्रुटियाँ सबसे आम हैं।
• रेखाचित्र, सीमाएँ और दूरियाँ स्थापना को भरोसेमंद बनाती हैं।

समाकल अनुप्रयोग क्यों महत्वपूर्ण हैं

कहाँ उपयोग होते हैं

• ज्यामिति में सटीक क्षेत्रफल और आयतन।
• भौतिकी में कार्य, दाब और द्रव्यमान।
• अभियांत्रिकी में सामग्री उपयोग।
• अर्थशास्त्र में संचित मान।

पुनः उपयोग योग्य पैटर्न उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

अंतिम पुनरावृत्ति

• वक्र के नीचे क्षेत्रफल: \(\int_a^b f(x)dx\)।
• वक्रों के बीच क्षेत्रफल: \(\int(\text{ऊपर}-\text{नीचे})dx\)।
• डिस्क/वॉशर आयतन: \(\pi\int R^2dx\) या \(\pi\int(R^2-r^2)dx\)।
• शेल आयतन: \(2\pi\int त्रिज्या\cdot ऊँचाई\)।
• पृष्ठीय क्षेत्रफल में चाप-लंबाई गुणक आता है।