Kuis Latihan Aplikasi integral dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah

Luas di bawah kurva dan makna integral tentu

Ide utama

integral tentu \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) mengukur akumulasi netto pada \([a,b]\). Secara geometri, ini adalah luas bertanda antara grafik \(y=f(x)\) dan sumbu \(x\):

• Luas di atas sumbu \(x\) dihitung positif.
• Luas di bawah sumbu \(x\) dihitung negatif.

Jika \(f(x)\ge 0\) pada \([a,b]\), maka integral sama dengan luas biasa (positif): \[ A=\int_a^b f(x)\,dx. \] Jika grafik memotong sumbu dan Anda ingin luas total, pecah interval pada nol dari \(f\) dan jumlahkan luas absolutnya.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(\int_a^b f(x)\,dx\) adalah luas/akumulasi netto (bertanda) pada \([a,b]\).
• Jika \(f(x)\ge 0\), integral itu sama dengan luas geometri di bawah kurva.

Luas antara kurva: atas dikurangi bawah, dengan batas yang benar

Ide utama

Untuk mencari luas daerah tertutup antara dua kurva \(y=f(x)\) dan \(y=g(x)\) pada \([a,b]\), sketsa atau bandingkan nilai untuk menentukan mana yang di atas. Lalu gunakan: \[ A=\int_a^b \bigl(\text{atas} - \text{bawah}\bigr)\,dx. \] Bagian tersulit biasanya memilih batas \(a\) dan \(b\) yang benar. Biasanya batas ditemukan dengan menyelesaikan \(f(x)=g(x)\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Luas antara kurva memakai \(\int(\text{atas}-\text{bawah})\,dx\) pada batas titik potong yang benar.
• Sketsa (meskipun cepat) membantu memilih atas/bawah dan menghindari kesalahan tanda.

volume benda putar: metode cakram dan metode cincin

Ide utama

Ketika suatu daerah diputar terhadap sumbu, penampang yang tegak lurus terhadap sumbu itu berbentuk lingkaran. Jika Anda memutar daerah terhadap sumbu \(x\), jari-jari adalah jarak vertikal dari kurva ke sumbu:

• Metode cakram (tanpa lubang): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx\)
• Metode cincin (ada lubang): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\)

Daftar cek yang andal:

• Sketsa daerah dan sumbu rotasi.
• Tulis \(R(x)\) (jari-jari luar) dan \(r(x)\) (jari-jari dalam) sebagai jarak ke sumbu.
• Kuadratkan jari-jari, kurangkan jika perlu, kalikan dengan \(\pi\), lalu integralkan pada batas yang benar.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Cakram: \(V=\pi\int R^2\). Cincin: \(V=\pi\int(R^2-r^2)\).
• Selalu definisikan jari-jari sebagai jarak ke sumbu rotasi.

Volume dengan kulit tabung: \(2\pi\int (\text{jari-jari})(\text{tinggi})\)

Ide utama

Metode kulit memakai kulit tabung alih-alih cakram. Penyusunan umum (memutar terhadap sumbu \(y\) dengan irisan vertikal) adalah: \[ V=2\pi\int_a^b (\text{jari-jari})(\text{tinggi})\,dx. \] Untuk kulit terhadap sumbu \(y\):

• jari-jari \(=x\) (jarak dari irisan di \(x\) ke sumbu \(y\)),
• tinggi \(=\text{atas}-\text{bawah}\) (panjang vertikal daerah pada \(x\) itu).

Kulit sering paling baik saat memutar terhadap sumbu \(y\) tetapi fungsi Anda ditulis sebagai \(y=f(x)\), karena cincin dapat mengharuskan menulis ulang \(x\) sebagai fungsi dari \(y\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Kulit: \(V=2\pi\int (\text{jari-jari})(\text{tinggi})\).
• Pilih kulit ketika itu memungkinkan Anda tetap memakai \(x\) (atau \(y\)) tanpa menyelesaikan variabel lain.

Luas permukaan dari permukaan putar

Ide utama

Saat Anda memutar kurva \(y=f(x)\) terhadap sumbu \(x\), terbentuk permukaan. Luas permukaan diperoleh dengan menggabungkan keliling \(2\pi f(x)\) dengan faktor panjang busur: \[ S=2\pi\int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] (dengan asumsi \(f(x)\ge 0\) pada \([a,b]\)).

Untuk rotasi terhadap sumbu \(y\), bentuk umum adalah: \[ S=2\pi\int_{a}^{b} x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] saat memutar \(y=f(x)\) terhadap sumbu \(y\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Luas permukaan memakai keliling \(\times\) panjang busur: \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).
• Faktor akar berasal dari mengubah \(dx\) menjadi panjang kurva kecil \(ds\).

Kesalahan umum: batas salah, "atas" salah, dan jari-jari salah

Ide utama

Sebagian besar kesalahan dalam aplikasi integral bukan kesalahan aljabar — melainkan kesalahan penyusunan. Gunakan daftar periksa ini sebelum mengintegralkan:

• Buat sketsa cepat. Identifikasi daerah dan sumbu rotasi.
• Cari batas. Gunakan interval yang diberikan, atau selesaikan titik potong seperti \(f(x)=g(x)\).
• Pilih metode. Cakram/cincin untuk irisan tegak lurus; kulit untuk irisan sejajar.
• Tulis jari-jari/tinggi sebagai jarak. Jika memutar terhadap \(y=c\), jari-jari adalah \(|f(x)-c|\).
• Periksa satuan. Luas \(\to\) satuan persegi, volume \(\to\) satuan kubik.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Sebagian besar kesalahan adalah kesalahan penyusunan: batas, atas/bawah, dan definisi jari-jari.
• Gunakan sketsa + jari-jari/tinggi berbasis jarak agar integral Anda benar.

Mengapa aplikasi integral penting

Di mana aplikasi integral muncul

• Geometri: luas, volume, dan luas permukaan eksak yang sulit diperoleh hanya dengan rumus.
• Fisika: usaha, tekanan fluida, massa dengan kerapatan berubah, dan pusat massa.
• Teknik: volume dan luas permukaan untuk desain dan penggunaan material.
• Ekonomi: perubahan terakumulasi dan nilai total dari fungsi marginal.

Contoh dikerjakan: "pola" bersih yang dapat Anda gunakan ulang

Coba

Rekap akhir

• Luas di bawah kurva: \(A=\int_a^b f(x)\,dx\) saat \(f(x)\ge 0\).
• Luas antara kurva: \(A=\int_a^b(\text{atas}-\text{bawah})\,dx\).
• volume cakram/cincin: \(V=\pi\int R^2\,dx\) atau \(V=\pi\int(R^2-r^2)\,dx\).
• volume kulit: \(V=2\pi\int (\text{jari-jari})(\text{tinggi})\,dx\) (atau \(dy\)).
• Luas permukaan: \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\) (terhadap sumbu \(x\)).
• penyusunan dulu: sketsa, batas, jarak, lalu integralkan.